平行四邊形（強化-基礎）-解析版初中數(shù)學1

專題15平行四邊形（強化-基礎）

一、單選題（共40分）

1.（本題4分）（2020?浙江八年級期中）下列條件中，能判斷四邊形ABC。是平行四邊形

的是（）

A.AB/1CD、AD=BCB.NA=NB,NC=ND

C.AB=AD,CB=CDD.AB//CD,AB=CD

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行四邊形的判定定理可直接進行排除選項.

【詳解】

解：如圖，

山=不是同一條對應邊的關系，故不一定能判定四邊形ABCD是平行四

邊形，故A選項不符合題意；

由NA=NB,NC=N￡>,NA+4+NC+Z￡>=360°可得：ABHDC,所以不一定能

判定四邊形ABC。是平行四邊形，故B選項不符合題意；

由AB=A￡>,C3=CZ）不符合兩組對應邊相等，所以不一定能判定四邊形A8CD是平行四

邊形，故C選項不符合題意；

山AB!/CD,AB=CD可得四邊形ABC。是平行四邊形，故D選項符合題意;

故選D.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵.

2.（本題4分）（2021?山東威海市?八年級期末）如圖，在口筋。。中，CELAB,E為垂

足，如果NA=120。，那么ZBCE的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】

因為平行四邊形對邊平行，所以由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得「:A+iB=180°,由已知

易證IBEC=90。，所以在RtBEC中，由三角形的內(nèi)角和定理知：BCE=30。；

【詳解】

平行四邊形ABCO中，NA=120。，

AD//BC

ZB=180°-120°=60°,

又CE1AB,

BEC=90°,

ZBCE=9O°—N5=30°.

故選：B.

【點睛】

本題直接通過平行四邊形性質(zhì)的應用，判斷出正確的選項，屬于基礎題；

3.（本題4分）（2021?上海九年級專題練習）四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點。.給

出下列四組條件：

□ABJCD,ADJBC；

□AB=CD,AD=BC；

UAO=CO,BO=DO；

□ABCD,AD=BC.

其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件共有（）

A.1組；B.2組；C.3組；D.4組.

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行四邊形的判定方法對口：」分別作出判斷即可求解.

【詳解】

解：ABCD，ADBC，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到四

邊形是平行四邊形：

AB=CD,A￡>=6C,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是

平行四邊形；；

AO^CO,BO=DO,根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是

平行四邊形；

ABCD.AD=BC，無法判定四邊形是平行四邊形.

故選：C

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的定義和判定定理是解題關鍵.

4.（本題4分）（2021?山東煙臺市?八年級期末）如圖1,平行四邊形紙片ABC。的面積為

120,AO=2（）.今沿兩對角線將四邊形A8CZ）剪成甲、乙、丙、丁四個三角形紙片.若

將甲、丙合并（A。、CB重合）形成一軸對稱圖形（戊），如圖2所示，則圖形戊的兩對

角線長度和為（）

AD

>B（D）

BC

圖1圖2

2

A.26B.29C.24-D.25-

33

【答案】A

【分析】

由題意可得對角線EFAD,且EF與平行四邊形的高相等,進而利用面積與邊的關系求出

BC邊的高即可.

【詳解】

解：如圖，連接AD、EF,

則可得對角線EFAD,且EF與平行四邊形的高相等.

」平行四邊形紙片ABCD的面積為120,AD=20,

BC=AD=20,—EFxAD=—xi20,

22

□EF=6,

又AD=20,

則圖形戊中的四邊形兩對角線之和為20+6=26,

故選：A.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及圖形的對稱問題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關

鍵.

5.（本題4分）（2021?全國九年級專題練習）如圖，E是直線CO上的一點，且=.已

知EABCD的面積為52cm2,則DACE的面積為（）

A.52B.26C.13D.39

【答案】C

【分析】

設平行四邊形AB邊上的高為h,分別表示出DACE的面積和平行四邊形ABCD的面積，從

而求出結果.

【詳解】

解：四邊形ABCD是平行四邊形，CE，CD,

2

設平行四邊形AB邊上的高為h,

ACE的面積為：-CEh,平行四邊形ABCD的面積為2CE7,

2

ACE的面積為平行四邊形ABCD的面積的,，

4

XDABCD的面積為52cm2,

ACE的面積為13cm2.

故選C.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，比較簡單，解答本題的關鍵是根據(jù)圖形的形狀得出ACE的面

積為平行四邊形ABCD的面積的上.

4

6.（本題4分）（2020?蘇州高新區(qū)實驗初級中學七年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，

AB=a,BC=b,AB邊上的高為c,BC邊上的高為d,則下列式子成立的是（）

A.a：c=b：dB.a：b=c：dC.ab=cdD.ac=bd

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，SABCD=BODF=AB?DE,代入數(shù)據(jù)進行計算即可得出結論.

【詳解】

解：因為平行四邊形a邊上的高為b,c邊上的高為d,所以ac=bd,

A、由a：c=b：d,得bc=ad,

與題意ac=bd不符，此選項錯誤;

B、由a：b=c：d,得bc=ad,

與題意ac=bd不符，此選項錯誤；

C、ab=cd,與題意ac=bd不符,此選項錯誤；

D、ac=bd,符合題意，

故選：D.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運用，解題時注意：平行四邊形的面積等于它的底和這個底

上的高的積.

7.（本題4分）（2020?渠縣瑯珊中學九年級月考）如圖，平行四邊形ABC。中，已知

ZAOB=90°,AC=8cm,AD=5cm,則的長為（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

【答案】C

【分析】

由平行四邊形ABCD中，AC=8cm,根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即可求得OA的長,

然后由勾股定理求得OD的長，繼而求得答案.

【詳解】

解：四邊形ABCD是平行四邊形,

OA=—AC=—x8=4(cm),

22

AOB=90°,

AOD=180°-AOB=90°,

A￡)=5cm

OD=VAD2-OA2=452-42=3(cm)

BD=2OD=6cm.

故選：c.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理.注意平行四邊形的對角線互相平分.

8.體題4分)(2019?浙江杭州市?八年級其他模擬)已知平行四邊形ABCD,對角線AC=6、

BD=8,則該平行四邊形四條邊中曩冷邊”的取值范圍是()

A.y/1<a<7B.54a<7C.1<。<7D.^43<a<7

【答案】B

【分析】

根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即可求得OA與OD的值，又由三角形的三邊關系，即

可求得答案.

【詳解】

解：如圖所示：四邊形ABCD是平行四邊形，AD>AB,

-----

0

R

:.OA=-AC=3,OD=-BD=4,

22

在!AOD中，由三角形的三邊關系得：4-3<AD<4+3,

r1<AD<7,

當四邊相等時易得邊長為5,

□5<AD<7.

故選：B.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形三邊關系.熟記平行四邊形的對角線互相平分是解

此題的關鍵.

9.（本題4分）（2021?昆明市?云南師大附中九年級期末）如圖，在DABC。中，AD=6,

ZADB=300,按以下步驟作圖：以點C為圓心，以CO長為半徑作弧，交BD于點F;

口分別以點O,F為圓心，以。。長為半徑作弧，兩弧相交于點G,作射線CG交30于

點￡,則3E的長為（）

5百

D.3g

"V

【答案】D

【分析】

先根據(jù)題目描述可確定CGBD,再由平行確定EBC=30。，從而在RtBEC中計算即可

【詳解】

根據(jù)題意描述，CG垂直平分線段DF,即□BEC=90。，

ZA06=3O°，四邊形ABCD為平行四邊形，

AD//BC,AD=BC=6

LHEBC=30°,

在RtBEC中，CE=工BC=3,

2

BE=yjBC2-CE2=373,

故選：D.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的判定，以及勾股定理，充分理解題中描述的作圖

過程是解題關鍵.

10.（本題4分）（2021?山東臨沂市?九年級一模）如圖，在口488中，ZABC>ZBCD

的平分線5E、CT分別與“。相交于點E、F,5E與b相交于點G,若，AB=6,BC

=10,CF=4,則8E的長為（）

A.472B.8C.8夜D.10

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別平行可得口28。+；38=180。，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

EBC+UFCB=90。,可得AEBCa過/作4WUFC,交8。于“，交BE于O,證明

是等腰三角形，進而得到8O=EO,再利用勾股定理計算出EO的長，進而可得答案.

【詳解】

解：四邊形ABCD是平行四邊形，

JABQCDf

JD^C+L5C￡)=180°,

□□/8C、口8。。的平分線BE、Cb分別與力。相交于點E、F,

EBC+lFCB=-ABC+—DCB=90°

22f

QEBLFC,

□□產(chǎn)G5=90°.

過4作4M二FC,交BC于M,交BE于O,如圖所示：

□JMTFC,

UDAOB=nFGB=90°f

8石平分ABC,

UDABE^EBC,

HADBCf

nOAEB=CBE,

\J\JABE=QAEB,

□4B=AE=6,

DAOBE,

口BO=EO,

在XOE和MO8中，

ZAEO=ZMBO

<EO=BO,

ZAOE=/MOB

UDAOEUUMOB(ASA)f

AO=MO,

3AFUCM,AMJFC,

四邊形/MC/是平行四邊形，

U\AM=FC=4f

□40=2,

EO=yjAE2-AO2=V62-22=4V2，

BE=86.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)

以及勾股定理；證明/O=MO,8O=EO是解決問題的關鍵.

二、填空題（共20分）

11.體題5分）（2019?云南玉溪市?八年級期中）已知必BCD的對角線AC=8,BD=10,

BC邊上的高為6,則6BCD的面積為_.

【答案】24+65/7

【分析】

畫出符合題意的示意圖，過點。作。尸_L5C于點尸，由中位線的性質(zhì)得到8=3，

RrCORC與昭DBR9中，分別利用勾股定理解得ECB廠的長，繼而得到6c的長，最

后根據(jù)平行四邊形的面積公式解題.

【詳解】

解：如圖，過點。作。尸，8c于點尸，

在必BCD中,

AO=OC=^AC=4,BO=OD=^BD=5,AE=6

由題意知OF//AE,。為AC中點，

OF=-AE=-x6=3

22

在及「OFC中，

FC=y]0C2-0F2="—32=#j

在RmBEO中,

BF=4OB1-OF2=V52-32=4

BC=BF+FC=4"

S4gcz)=BC-AE-(4+>/7)x6=24+6^7.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的面積等知識，是重要

考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

12.體題5分)(2019?陜西寶雞市?八年級期末)如圖，在口ABC。中，BELCD于點E,

于點R口￡5尸=60。，貝!］口。=.

【答案】600

【分析】

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360。即可求出。，再根據(jù)平行四邊形的鄰角互補即可求出C.

【詳解】

BECD,BFAD,

□BED=CBFD=9Q：

在四邊形BEDF中,口。=360。一匚BED-QBFD-□￡5F=360o-90o-90o-60°=120°,

在Ei/BCD中，180°-II￡>=180°-120°=60°.

故答案為：60°.

【點睛】

本題考查四邊形內(nèi)角和以及平行四邊形的性質(zhì)，掌握四邊形內(nèi)角和為360。與平行四邊形的

性質(zhì)是解題的關鍵.

13.（本題5分）（2021?長春吉大附中力旺實驗中學九年級月考）如圖，為了測量池塘邊工、

6兩地之間的距離，在線段Z5的同側取一點C,連結C4并延長至點O,連結C8并延長

至點E,使得4、5分別是C。、OE的中點，若。E=16〃?，則線段N5的長度是m.

【答案】8

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【詳解】

解：點/、點8分別是CD、OE的中點，

□48是ICDE的中位線，

UAB=—DE=8（〃?），

2

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了三角形中位線，解題關鍵是熟練運用中位線的性質(zhì)進行計算.

14.（本題5分）（2020?浙江溫州市?實驗中學八年級期中）如圖，在nZBCZ）中，P為4B上

的一點,E、尸分別是。P、CP的中點，G、，為CD上的點，連接EG、FH,若□Z5C0

的面積為24c77，GH=-AB,則圖中陰影部分的面積為.

2

D

E

H

【答案】6cm2?

【分析】

設EG,FH交于點O,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得求解S尸8=12。m2,利用三角形的中位

線可求解SPEF=3cm2?由平行線的性質(zhì)可求解SOEF=SOGH=SPEF=1.5cm2?進而

可求解.

【詳解】

解：如圖，設EG,FH交于點0,

四邊形Z8CQ為平行四邊形，且48co的面積為24cm2,

1)

SPCD=——SABCD=\2cm~>AB=CD,ABCD,

2

□￡>F分別是。尸、。尸的中點，

￡產(chǎn)為」PC。的中位線，

QCD=2EF,EFUCDQAB,

SPEF：SPCD=1：4,

SPEF=3cm2，

GH=—AB,

2

EF=GH,EFGH,

_1_

SOEF=SOGH——SPEF—1.5C77廠，

Smtn—3+2x1.5=6cm2>

故答案為6c"2.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線，三角形的面積等知識的綜合運用.

三、解答題（共90分）

15.（本題8分）（2020?浙江八年級期中）如圖，E、尸是平行四邊形ABCD的對角線BO所

在直線上的兩點，且DE=BF,求證：四邊形AEC戶是平行四邊形.

【答案】見詳解

【分析】

由題意易得AD〃BC，AD^CB,則有NAT>E=NCBF,然后可證VADE且VC3F,進

而可得AE=CF，ZDEA=NBFC，則可得NAEF=NCFE,所以AE〃。/，最后問

題得證.

【詳解】

證明：四邊形ABC。是平行四邊形,

AD!IBC,AD=CB.

ZADE=/CBF,

DE=BF,

NADE^/CBF（SAS）,

AE^CF,NDEA=4BFC,

ZDEA+ZAEF=NMC+NCEE=180。，

ZAEF=ZCFE,

AE//CF,

四邊形AECF是平行四邊形.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

16.（本題8分）（2020?福建廈門市?廈門雙十中學九年級月考）如圖，在二438中，點E,

廠分別在BC,A。上，AC與所相交于點。，且AO=CO.

求證：四邊形AEC6是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析】

先由AS4證明AAO尸烏△"）￡,得出FO=EO,再由AO=CO，即可得出結論.

【詳解】

證明：四邊形A8CD是平行四邊形,

AD!IBC,

ZOAF=ZOCE,

ZOAF=ZOCE

在口4。/和口COE中，|AO=C。，

ZAOF^ZCOE

△AOFmACOE（ASA）

FO=EO,

又LAO-CO,

:四邊形AECF是平行四邊形.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的判定，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵.

17.（本題8分）（2020?浙江杭州市?八年級開學考試）如圖是一個平行四邊形土地ABC。，

后來在其邊緣挖了一個小平行四邊形水塘瓦、G”，現(xiàn)準備將其分成兩塊，并使其滿足：兩

塊地的面積相等，分割線恰好做成水渠，便于灌溉，請你在圖中畫出分界線所在的直線（保

留作圖痕跡）.

AEHD

【答案】見解析

【分析】

由題意分割使兩塊地的面積相等，分割線恰好做成水渠，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知：過平行

四邊形對角線交點的直線等分其面積，從而進行求解.

【詳解】

解：作兩個平行四邊形的兩對對角線，其交點分別為M、N.即AC與BD交于點N,EG

與FH交于點M,

連接MN,直線MN即為所求的分割線.

因為，過平行四邊形對角線交點的直線等分其面積.

如圖：

【點睛】

此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及其面積公式，作圖比較復雜，要認真作圖.

18.（本題8分）（2020?浙江杭州市?八年級月考）如圖，在DABCD中，AE1BCTE,

LCD于尸，若A3與AO的長度之比為3：4,求的值.

【答案】3:4

【分析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD,AD=BC,又由AEBC于E,AFDC于F,

可得平行四邊形ABCD的面積的兩種表示方法，結合AB：AD=3：4可得結果.

【詳解】

解：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,AD=BC,

又匚AEBC,AFDC,

平行四邊形ABCD的面積=BCxAE=CDxAF,即ADxAE=ABxAF,

又AB：AD=3：4,

AE---.AB…—_3

AF~AD~4'

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是利用兩種方法表示平行四邊形的面積.

19.（本題10分）（2021?重慶巴蜀中學九年級月考）已知：如圖，在平行四邊形ABCO中,

E、尸為對角線80上的點，BE=DF.

（1）請用直尺和圓規(guī)作出N3/C的角平分線FH,并標出FH與BC的交點H；（請用2B

鉛筆作圖并保留作圖痕跡）

（2）在（1）的前提下，若NAE3=110。，求NCFH的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）35。.

【分析】

（1）以尸為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交8尸、FC于"、N兩點，再分別以M、N

為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點。，最后作射線尸。與5c的交點H即可解

2

題；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性偵解得AB//CD.AB=CD,再利用平行線的性質(zhì)得到

ZABE=NCDF,接著證明△A5E四△CDF（SAS）,由全等三角形對應角相等的性質(zhì)得

到NA￡8=NCED=110°,再由鄰補角定義解得N8FC=70°,最后根據(jù)角平分線的定

義解題即可.

【詳解】

解：（1）如圖，F(xiàn)H為所作:

(2)四邊形A8CO為平行四邊形，

ABUCD，AB=CD,

ZABE=NCDF,

AB=CD

在AAB￡和口CD/7中,NABE=ZCDF,

BE=DF

△AB￡^ACDF（SAS）,

ZAEB=ZCFD=\10°,

/BFC=180。一ZCFD=70°,

FH平分NBFC，

NCFH=、NBFC=35。.

2

【點睛】

本題考查基本作圖一作角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的

性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

20.（本題1（）分）（2020?吉林長春市?長春外國語學校八年級月考）如圖，點5、F、C、E

在一條直線上，F(xiàn)B=CE,ABUED,ACGFD,4D交BE于點0.

(1)求證：與8E互相平分；

(2)若4BUAC,AC=BF,5E=8,FC=2,求Z5的長.

【答案】(1)見解析；(2)45=4.

【分析】

(1)連接4瓦8。,證明口48。9：。石廠,可得：AB=DE,再證明四邊形4BQE是平行四

邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可得答案；

(2)由2E=8,FC=2,結合BF=CE,AC=BF,求解BRAGBC,再利用48/C,由

勾股定理可得答案.

【詳解】

證明:(1)連接AE,8D,

\-FB=CE,

BC=EF,

AB//DE,AC//DF,

：.ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,

在DABC與口QEE中,

ZABC=ZDEF

<BC=EF

NACB=NDFE

：OABC^]DEF,

：.AB=DE,

AB//DE,

，四邊形A3OE是平行四邊形,

ZD與8E互相平分；

(2)-.-BE=S,FC=2,

/.BF+CE=6,

???BF=CE,

.,.BF=CE=3,

?;AC=BF,

AC=3,

BC=3+2=5,

vAB±AC,

AB=\lBC2-AC2=底吁=4.

【點睛】

本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，掌握

以上知識是解題的關鍵.

21.（本題12分）（2020?四川成都市?八年級期中）在平行四邊形ABC。中，點E為AB邊

的中點，連接CE,將nBCE沿著CE翻折，點3落在點G處，連接AG并延長，交CD于

（1）求證：四邊形AEC尸是平行四邊形.

（2）若。/=5,口8后的周長為20,求四邊形ABC戶的周長.

【答案】（1）證明見解析；（2）30

【分析】

（1）連接BG,根據(jù)題意得到￡3=EG=AE,證明AF7/EC,又根據(jù)

即可證明結論；

（2）先求出4F=CE,AE=CF=5,根據(jù)C^GCE=GE+GC+CE=20,進行線段代換即可

求解.

【詳解】

解：（1）證明：連接BG.

點E為AB邊的中點，口8。石沿著CE翻折得到GCE,

EB=EG=AE，

QDGAE=UAGE,EBGEEGB,

】三角形內(nèi)角和為180。,

ZAGB=90。，

且3GLEC,

AF//EC,

FC//AE,

四邊形AECF是平行四邊形.

(2)四邊形AEC尸是平行四邊形，

QAF=CE,AE=CF=5,

CACCE=GE+GC+CE=2Q,

口BE+BC+EC=20,

□BE+BC+4F=20,

[JCF=AE=5,

C四邊形A“CF=AB+BC+AF+FC=AE+BE+BC+CF+AF=20+5+5=30.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱等知識，熟練掌握平行四邊形的判定定理和性

質(zhì)定理是解題關鍵.

22.（本題12分）（2020?浙江杭州市?八年級期末）操作探究:

（1）現(xiàn)有一塊等腰三角形紙板，8c為底邊，量得周長為32cm,底比一腰多2cm.若把

這個三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個四邊形，請在下列方框中畫出你能拼成的各種

四邊形的示意圖，并在圖中標出四邊形的各邊長;

（2）計算拼成的各個四邊形的兩條對角線長的平方和.

【答案】（1）見解析；（2）200或328或272或192.16

【分析】

（I）正確畫出圖形:

（2）分別根據(jù)勾股定理計算四個圖形中對角線長的平方和.

【詳解】

解：（1）如圖所示:

(2)設N8=/C=xc"?,則8C=(x+2)cm,

由題意得(x+2)+2x=32,解得x=10c7?.

因此C=1Ocm,則BC=\2cm,

過點A作AD8c于D,

BD=CD=6cm,

JAD=Scm.

可以拼成四種四邊形，如上圖所示.

如圖1,兩對角線長的平方和為102+102=200；

如圖2,J<?=4(82+32),

U兩對角線長的平方和為4儂+32)+62=328；

如圖3,5^=122+82.