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文檔簡介
2025屆北京市十五中數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在中,,是上一點(diǎn),若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.2333.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B. C. D.4.已知平面,,直線滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件5.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法錯誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對稱中心是D.函數(shù)的對稱軸是6.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(
)A. B. C.或 D.或7.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.9.等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中,,,現(xiàn)將沿BD折起,則當(dāng)直線AD與平面BCD所成角為時,直線AC與平面ABD所成角的正弦值為()A. B. C. D.10.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.11.雙曲線的一條漸近線方程為,那么它的離心率為()A. B. C. D.12.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進(jìn)行抽樣測試,先將600個零件進(jìn)行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.578二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_________.14.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,,則__________.15.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實數(shù)的值為_____.16.已知雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實數(shù)的值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在①,②,③這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在,求的值;若不存在,說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項和為,是等差數(shù)列,__________,,,,是否存在正整數(shù),使得成立?18.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為證明:.19.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).20.(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;(2)求點(diǎn)C1到平面B1MC的距離.21.(12分)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A=(k≠0)的一個特征向量為α=,A的逆矩陣A-1對應(yīng)的變換將點(diǎn)(3,1)變?yōu)辄c(diǎn)(1,1).求實數(shù)a,k的值.22.(10分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長度;(2)在線段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問點(diǎn)P在何處時,α+β最???
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.3、D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.4、A【解析】
,是相交平面,直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:已知直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力.5、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點(diǎn)代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯誤;令,得,故函數(shù)的對稱中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對稱軸是,故D正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.6、D【解析】
由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練.7、B【解析】
求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.8、D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.9、A【解析】
設(shè)E為BD中點(diǎn),連接AE、CE,過A作于點(diǎn)O,連接DO,得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量,分析得到即為直線AC與平面ABD所成角,進(jìn)而求得其正弦值,得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點(diǎn),連接AE、CE,由題可知,,所以平面,過A作于點(diǎn)O,連接DO,則平面,所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,所以,可得,在中可得,又,即點(diǎn)O與點(diǎn)C重合,此時有平面,過C作與點(diǎn)F,又,所以,所以平面,從而角即為直線AC與平面ABD所成角,,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題,涉及到的知識點(diǎn)有線面角的正弦值的求解,在解題的過程中,注意空間角的平面角的定義,屬于中檔題目.10、A【解析】
由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、D【解析】
根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,列出方程,求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為,可得,∴,∴雙曲線的離心率.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
因為要對600個零件進(jìn)行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因為535重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,此時.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問題,內(nèi)切球問題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.14、【解析】
由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件,列出方程組,求得的值,利用求和公式,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,即,解得,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,及前n項和公式的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,正確求解首項和公比是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解:復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
求出雙曲線的漸近線方程,右準(zhǔn)線方程,得到交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求解即可.【詳解】解:雙曲線的右準(zhǔn)線,漸近線,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn),交點(diǎn)在拋物線上,可得:,解得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,是基本知識的考查,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、,可求得等差數(shù)列的通項公式,由即可求得的值;根據(jù)等式,變形可得,分別討論?、佗冖壑械囊粋€,結(jié)合等比數(shù)列通項公式代入化簡,檢驗是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中,,∴,∴公差,∴,∴,若存在正整數(shù),使得成立,即成立,設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為,若選①,∵,∴,∴,∴,∴當(dāng)時,滿足成立.若選②,∵,∴,∴,∴,∴方程無正整數(shù)解,∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③,∵,∴,∴,∴,∴解得或(舍去),∴,∴當(dāng)時,滿足成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法,等比數(shù)列通項公式及前n項和公式的應(yīng)用,遞推公式的簡單應(yīng)用,補(bǔ)充條件后求參數(shù)的值,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)因為,所以,所以,即,又因為,所以數(shù)列為等差數(shù)列,且公差為1,首項為1,則,即.設(shè)的公差為,則,所以(),則(),所以,因此,綜上,.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,則兩式相減得,所以,設(shè)則,所以.19、(1);(2)極小值;(3)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.【解析】
(1)求出和的值,利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值;(3)由當(dāng)時,以及,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【詳解】(1)因為,所以.所以,.所以曲線在點(diǎn)處的切線為;(2)因為,令,得或.列表如下:0極大值極小值所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以,當(dāng)時,函數(shù)有極小值;(3)當(dāng)時,,且.由(2)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.20、(1)證明見解析.(2)【解析】
(1)連接AC1,BC1,結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1,再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求證直線MN⊥平面ACB1;(2)作交于點(diǎn),通過等體積法,設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,則有,結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】(1)證明:連接AC1,BC1,則N∈AC1且N為AC1的中點(diǎn);∵M(jìn)是AB的中點(diǎn).所以:MN∥BC1;∵A1A⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1A⊥AC,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1∥CC,∴AC⊥CC1,∵∠ACB=90°,BC∩CC1=C,BC?平面BB1C1C,CC1?平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C,BC?平面BB1C1C,∴AC⊥BC1;又MN∥BC1∴AC⊥MN,∵CB=C1C=1,∴四邊形BB1C1C正方形,∴BC1⊥B1C,∴MN⊥B1C,而AC∩B1C=C,且AC?平面ACB1,CB1?平面ACB1,∴MN⊥平面ACB1,(2)作交于點(diǎn),設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,因為MP,所以?MP,因為CM,B1C;B1M,所以所以:CM?B1M.
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