重慶西南大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析_第1頁(yè)
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重慶西南大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知圓的圓心在軸上,半徑為2,且與直線相切,則圓的方程為A. B.或C. D.或2.已知是空間的一個(gè)基底,若,,若,則()A B.C.3 D.3.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用,在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定:多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如:正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角,每個(gè)面角是,所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為,故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論:①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為;②任意四棱錐總曲率均為;③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù),棱數(shù),面數(shù)滿足,則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.①③C.②③ D.①②③4.在數(shù)列中,,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()A.102 B.C. D.1085.如圖,在長(zhǎng)方體中,,E,F(xiàn)分別為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.6.已知雙曲線,則“”是“雙曲線的焦距大于4”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一,他從幾何問(wèn)題出發(fā),引進(jìn)微積分概念.在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到,求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值,以及當(dāng)此差值變成無(wú)限小時(shí)它們的比值,這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若,且對(duì),,且總有,則下列選項(xiàng)正確的是()A. B.C. D.8.已知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列滿足.若對(duì)任意的,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A., B.C., D.9.“,”的否定是A., B.,C., D.,10.過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)作圓O:x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P,若E為線段FP的中點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A. B.C.+1 D.11.如圖,函數(shù)的圖象在P點(diǎn)處的切線方程是,若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是5,則()A. B.1C.2 D.012.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且,,成等比數(shù)列,則的最小值為_(kāi)_____14.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.15.函數(shù)滿足,且,則的最小值為_(kāi)__________.16.在數(shù)列中,,且,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn),且與直線:相切(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng)度18.(12分)設(shè)函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.(1)若,求的最小值;(2)若,證明:恒成立.19.(12分)已知數(shù)列滿足(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和20.(12分)已知直線,,分別求實(shí)數(shù)的值,使得:(1);(2);(3)與相交.21.(12分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,是1和的等差中項(xiàng)(1)求角;(2)若的平分線交于點(diǎn),且,求的面積22.(10分)已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交點(diǎn),且與直線x+y﹣2=0垂直(1)求直線l的方程;(2)若圓C過(guò)點(diǎn)(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo),由點(diǎn)到直線距離公式可得或,進(jìn)而求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo),因?yàn)閳A與直線相切,所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得,解得或.因此圓的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程,屬于一般題2、C【解析】由,可得存在實(shí)數(shù),使,然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】,,因?yàn)?,所以存在?shí)數(shù),使,所以,所以,所以,得,,所以,故選:C3、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為,故①正確;②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和,因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn),5個(gè)面,分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,所以任意四棱錐的總曲率為,故②正確;③設(shè)每個(gè)面記為邊形,則所有的面角和為,根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù),故③正確.故選:D.4、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù),其對(duì)稱軸為,開(kāi)口向下,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),取得最大值,故選:D5、A【解析】利用平行線,將異面直線的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問(wèn)題,再解三角形.【詳解】取BC中點(diǎn)H,BH中點(diǎn)I,連接AI、FI、,因?yàn)镋為中點(diǎn),在長(zhǎng)方體中,,所以四邊形是平行四邊形,所以所以,又因?yàn)镕為的中點(diǎn),所以,所以,則即為異面直線與所成角(或其補(bǔ)角).設(shè)AB=BC=4,則,則,,根據(jù)勾股定理:,,,所以是等腰三角形,所以.故B,C,D錯(cuò)誤.故選:A.6、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件,再進(jìn)行判斷即可【詳解】若的焦距,則;若,則故選:A7、D【解析】由,得在上單調(diào)遞增,并且由的圖象是向上凸,進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由,得在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,故A不正確;對(duì),,且,總有,可得函數(shù)的圖象是向上凸,可用如圖的圖象來(lái)表示,由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率,由函數(shù)圖象可知,隨著的增大,的圖象越來(lái)越平緩,即切線的斜率越來(lái)越小,所以,故B不正確;,表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,由圖可知,所以D正確,C不正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,屬于中檔題型.8、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增,且滿足,,即,再解不等式即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意:數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,所以,由于數(shù)列滿足,所以對(duì)任意的都成立,故數(shù)列單調(diào)遞增,且滿足,,所以,解得故選:9、D【解析】通過(guò)命題的否定的形式進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,故“,”的否定是“,”.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn),連接OE,PF′,根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|=a,|PF′|=2a,利用雙曲線的定義求得|PF|=4a,得到|EF|=2a,在Rt△OEF中,利用勾股定理建立關(guān)系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設(shè)E在x軸上方,F(xiàn)′為雙曲線的右焦點(diǎn),連接OE,PF′,如圖所示:因?yàn)镻F是圓O的切線,所以O(shè)E⊥PE,又E,O分別為PF,F(xiàn)F′的中點(diǎn),所以|OE|=|PF′|,又|OE|=a,所以|PF′|=2a,根據(jù)雙曲線的定義,|PF|-|PF′|=2a,所以|PF|=4a,所以|EF|=2a,在Rt△OEF中,|OE|2+|EF|2=|OF|2,即a2+4a2=c2,所以e=,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法,聯(lián)想到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn),作輔助線,利用雙曲線的定義是求解離心率問(wèn)題的有效方法.11、C【解析】函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是,所以,在P處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率,2,故選C考點(diǎn):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義點(diǎn)評(píng):簡(jiǎn)單題,切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值12、A【解析】設(shè)出直線方程,利用待定系數(shù)法得到結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為,將點(diǎn)代入直線方程可得,解得則所求直線方程為.故A正確【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的平行問(wèn)題,屬容易題.兩直線平行傾斜角相等,所以斜率相等或均不存在.所以與直線平行的直線方程可設(shè)為二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d,進(jìn)而寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè),,則,整理得,又,解得,故,,所以,故當(dāng)時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為:14、【解析】討論和兩種情況,進(jìn)而利用求得答案.【詳解】由題意,時(shí),,時(shí),,則,于是,故答案為:15、6【解析】化簡(jiǎn)得出,由化簡(jiǎn)后根據(jù)均值不等式建立不等式,求解二次不等式即可得解.【詳解】,由得:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),所以的最小值為6.故答案為:616、##【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,即數(shù)列為周期數(shù)列,然后求出即可【詳解】根據(jù)題意可得:,,,故數(shù)列為周期數(shù)列可得:故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)由題意分析圓心符合拋物線定義,然后求軌跡方程;(2)直接聯(lián)立方程組,求出弦長(zhǎng).【詳解】解:(1)圓過(guò)點(diǎn),且與直線相切點(diǎn)到直線的距離等于由拋物線定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線,依題意,設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為,則,解得,所以,動(dòng)圓圓心的軌跡方程是(2)依題意可知直線,設(shè)聯(lián)立,得,則,所以,線段的長(zhǎng)度為【點(diǎn)睛】(1)待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法,可以解決直線與二次曲線相交的問(wèn)題.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)當(dāng)時(shí),,求出,可得答案;(2)設(shè),,,,,設(shè),求出利用單調(diào)性可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè),若,則,若,則,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,所以,綜上,恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問(wèn)題,一般都需要通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來(lái)處理,特別的要根據(jù)所求問(wèn)題,適時(shí)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),再利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問(wèn)題是常用方法,考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.19、(1)證明見(jiàn)解析,(2)【解析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,進(jìn)而求解得答案;(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】解:數(shù)列滿足,∴數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,,即;∴【小問(wèn)2詳解】解:,,,,20、(1)或(2)或(3)且【解析】(1)根據(jù)直線一般式平行的條件列式計(jì)算;(2)根據(jù)直線一般式垂直的條件列式計(jì)算;(3)根據(jù)相交和平行的關(guān)系可得答案.【小問(wèn)1詳解】,,解得或又時(shí),直線,,兩直線不重合;時(shí),直線,,兩直線不重合;故或;【小問(wèn)2詳解】,,解得或;【小問(wèn)3詳解】與相交故由(1)得且.21、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)是1和的等差中項(xiàng)得到,再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系,兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到求解;(2)由和求得b,c的關(guān)系,再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】(1)由已知得,在中,由正弦定理得,化簡(jiǎn)得,因?yàn)?,所以,所以;?)由正弦定理得,又,即,由余弦定理得,所以,所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在解有關(guān)三角形的題目時(shí),要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定

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