重慶西南大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

重慶西南大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或2．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.3．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論：①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③4．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.1085．如圖，在長(zhǎng)方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，則“”是“雙曲線的焦距大于4”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無(wú)限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且對(duì)，，且總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.9．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，10．過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.11．如圖，函數(shù)的圖象在P點(diǎn)處的切線方程是,若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是5，則()A. B.1C.2 D.012．過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)_____14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.15．函數(shù)滿足，且，則的最小值為_(kāi)__________.16．在數(shù)列中，，且，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與直線：相切（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度18．（12分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.19．（12分）已知數(shù)列滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：（1）；（2）；（3）與相交.21．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，是1和的等差中項(xiàng)（1）求角；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積22．（10分）已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式可得或，進(jìn)而求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳A與直線相切，所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于一般題2、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C3、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個(gè)面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.4、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D5、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角問(wèn)題，再解三角形.【詳解】取BC中點(diǎn)H，BH中點(diǎn)I，連接AI、FI、，因?yàn)镋為中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補(bǔ)角).設(shè)AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.6、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件，再進(jìn)行判斷即可【詳解】若的焦距，則；若，則故選：A7、D【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來(lái)表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來(lái)越平緩，即切線的斜率越來(lái)越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.8、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對(duì)任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得故選：9、D【解析】通過(guò)命題的否定的形式進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE，PF′，根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關(guān)系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE，PF′，如圖所示:因?yàn)镻F是圓O的切線，所以O(shè)E⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯(lián)想到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問(wèn)題的有效方法.11、C【解析】函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，所以，在P處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，2，故選C考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值12、A【解析】設(shè)出直線方程，利用待定系數(shù)法得到結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，將點(diǎn)代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的平行問(wèn)題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設(shè)為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d，進(jìn)而寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為：14、【解析】討論和兩種情況，進(jìn)而利用求得答案.【詳解】由題意，時(shí)，，時(shí)，，則，于是，故答案為：15、6【解析】化簡(jiǎn)得出，由化簡(jiǎn)后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為6.故答案為：616、##【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可【詳解】根據(jù)題意可得：，，，故數(shù)列為周期數(shù)列可得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯(lián)立方程組，求出弦長(zhǎng).【詳解】解：（1）圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切點(diǎn)到直線的距離等于由拋物線定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線，依題意，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，則，解得，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線，設(shè)聯(lián)立，得，則，所以，線段的長(zhǎng)度為【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問(wèn)題.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出，可得答案；（2）設(shè)，，，，，設(shè)，求出利用單調(diào)性可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，若，則，若，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問(wèn)題，一般都需要通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來(lái)處理，特別的要根據(jù)所求問(wèn)題，適時(shí)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問(wèn)題是常用方法，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.19、（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求解得答案；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】解：數(shù)列滿足，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，即；∴【小問(wèn)2詳解】解：，，，，20、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根據(jù)直線一般式平行的條件列式計(jì)算；（2）根據(jù)直線一般式垂直的條件列式計(jì)算；（3）根據(jù)相交和平行的關(guān)系可得答案.【小問(wèn)1詳解】，，解得或又時(shí)，直線，，兩直線不重合；時(shí)，直線，，兩直線不重合；故或；【小問(wèn)2詳解】，，解得或；【小問(wèn)3詳解】與相交故由（1）得且.21、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)是1和的等差中項(xiàng)得到，再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到求解；（2）由和求得b，c的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以；?）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定