2025屆安徽省黃山市屯溪第二中學高二上數(shù)學期末監(jiān)測試題含解析

2025屆安徽省黃山市屯溪第二中學高二上數(shù)學期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為O，點M在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.2．直線x+y﹣1＝0被圓（x+1）2+y2＝3截得的弦長等于（）A. B.2C.2 D.43．已知橢圓的左，右兩個焦點分別為，若橢圓C上存在一點A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．命題p：存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為假命題B.：任意實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是負數(shù)，為真命題5．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．如圖，過拋物線的焦點的直線依次交拋物線及準線于點，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.8．已知點是橢圓方程上的動點，、是直線上的兩個動點，且滿足，則（）A.存在實數(shù)使為等腰直角三角形的點僅有一個B.存在實數(shù)使為等腰直角三角形的點僅有兩個C.存在實數(shù)使為等腰直角三角形的點僅有三個D.存在實數(shù)使為等腰直角三角形的點有無數(shù)個9．一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.10．數(shù)列1，，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.11．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）.A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點D到平面ACE的距離為________14．橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標原點，則以下說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B.橢圓上存在點，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為315．某次國際會議為了搞好對外宣傳工作，會務(wù)組選聘了50名記者擔任對外翻譯工作，在如表“性別與會外語”的列聯(lián)表中，______.會外語不會外語合計男ab20女6d合計185016．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標準方程為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線交拋物錢C于A，B兩點，O為坐標原點，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在時的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.19．（12分）某項目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補貼額x（單位：百萬元）與該項目的經(jīng)濟回報y（單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：補貼額x（單位：百萬元）23456經(jīng)濟回報y（單位：千萬元）2.5344.56（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程；（2）為高質(zhì)量完成該項目，決定對負責該項目的7名工程師進行考核.考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3人合格.現(xiàn)從這7名工程師中隨機抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望.參考公式：20．（12分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值21．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)平行六面體的幾何特點，結(jié)合空間向量的線性運算，即可求得結(jié)果.【詳解】因為平行六面體中，點M在上，且故可得故選：D.2、B【解析】如圖,圓(x＋1)2＋y2＝3的圓心為M(?1,0)，圓半徑|AM|=，圓心M(?1,0)到直線x+y?1=0的距離：|，∴直線x+y?1=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長：.故選B.點睛:本題考查圓的標準方程以及直線和圓的位置關(guān)系.判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：1．代數(shù)法：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，但是計算量較大.2．幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點是計算量較小．當直線與圓相交時,可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長和半徑的勾股關(guān)系.3、C【解析】根據(jù)題意可知當A為橢圓的上下頂點時，即可滿足橢圓C上存在一點A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當A為橢圓的上下頂點時，最大，故只需即可滿足題意，設(shè)O為坐標原點，則只需,即有，所以，解得，故選：C4、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因為命題p“存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，因為，所以為假命題；故選：A5、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.6、A【解析】由定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)不等式恒能成立的性質(zhì)得出，從而得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】任取，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，使得，則即故選：A【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化時要注意全稱量詞與存在量詞對題意的影響．等價轉(zhuǎn)化如下：(1)，，使得成立等價于(2)，，不等式恒成立等價于(3)，，使得成立等價于(4)，，使得成立等價于7、D【解析】如圖根據(jù)拋物線定義可知，進而推斷出的值，在直角三角形中求得，進而根據(jù)，利用比例線段的性質(zhì)可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點，作準線的垂線，分別交準線于點，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D8、B【解析】求出點到直線的距離的取值范圍，對點是否為直角頂點進行分類討論，確定、的等量關(guān)系，綜合可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點，則點到直線的距離為.因為橢圓與直線均關(guān)于原點對稱，①若為直角頂點，則.當時，此時，不可能是等腰直角三角形；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有兩個；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有四個；②若不是直角頂點，則.當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點不存在；當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形非直角頂點有四個.綜上所述，當時，滿足是等腰直角三角形的點有八個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有六個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有四個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形的點不存在.故選：B.9、D【解析】根據(jù)點到直線的距離與點到點之間距離的關(guān)系化簡即可.【詳解】定圓的圓心，半徑為2，設(shè)動圓圓心P點坐標為（x，y），動圓的半徑為r，d為動圓圓心到直線的距離，即r，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，所以，化簡得：∴動圓圓心軌跡方程為故選：D10、A【解析】根據(jù)各項的分子和分母特征進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以該數(shù)列的一個通項公式可以是；對于選項B：，所以本選項不符合要求；對于選項C：，所以本選項不符合要求；對于選項D：，所以本選項不符合要求，故選：A11、B【解析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件，重點考查計算，理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.12、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立合適空間直角坐標系，分別表示出點的坐標，然后求解出平面的一個法向量，利用公式求解出點到平面的距離.【詳解】以AB的中點O為坐標原點，分別以O(shè)E，OB所在的直線為x軸、y軸，過垂直于平面的方向為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點D到平面ACE的距離.故答案：.14、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結(jié)合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設(shè)，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD15、24【解析】根據(jù)題意列方程組求解即可【詳解】由題意得所以，，.故答案為：2416、；【解析】設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據(jù)弦長列出方程組求出即可.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點代入拋物線方程即可求解；（2）當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理即可求出的值;當直線AB的斜率不存在時，由過點即可求出點和點的坐標,即可求出的值.【小問1詳解】將點代入得，，∴拋物線的標準方程為.【小問2詳解】當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達定理得：，，，當直線AB的斜率不存在時，由直線過點,則，，，，綜上所述可知，為定值為.18、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定在的極值、端點值，比較它們的大小即可知最值.（2）討論參數(shù)a的符號，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合已知區(qū)間的極值情況求參數(shù)a的范圍即可.【小問1詳解】由題，時，，則，令，得或1，則時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.∴在時取極大值，在時取極小值，又，，綜上，在區(qū)間上取得的最大值為9，最小值為.小問2詳解】，且，當時，單調(diào)遞增，函數(shù)沒有極值；當時，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，則；當時，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，由得：.綜上，函數(shù)在區(qū)間存在極小值時a的取值范圍是.19、（1）（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式直接求解即可，（2）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，然后求各自對應(yīng)的概率，從而可求得分布列和期望【小問1詳解】.，...【小問2詳解】由題意可知，的可能取值為0，1，2，3.，，分布列為0123.20、（1）證明見解析（2）【解析】建立空間直角坐標系，計算出相關(guān)點的坐標，進而計算出相關(guān)向量的坐標；（1）計算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零，證明線線垂直，進而證明線面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，