湖南省長郡中學、衡陽八中等十三校重點中學2025屆高二上數學期末統(tǒng)考試題含解析

湖南省長郡中學、衡陽八中等十三校重點中學2025屆高二上數學期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知在直角坐標系xOy中，點Q(4，0)，O為坐標原點，直線l：上存在點P滿足.則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.3．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．已知數列滿足，，數列的前n項和為，若，，成等差數列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.225．一動圓與圓外切，而與圓內切，那么動圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支6．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F分別為SA，BC的中點，點G在EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.7．中共一大會址、江西井岡山、貴州遵義、陜西延安是中學生的幾個重要的研學旅行地.某中學在校學生人，學校團委為了了解本校學生到上述紅色基地研學旅行的情況，隨機調查了名學生，其中到過中共一大會址或井岡山研學旅行的共有人，到過井岡山研學旅行的人，到過中共一大會址并且到過井岡山研學旅行的恰有人，根據這項調查，估計該學校到過中共一大會址研學旅行的學生大約有（）人A. B.C. D.8．記不超過x的最大整數為，如，.已知數列的通項公式，則使的正整數n的最大值為（）A.5 B.6C.15 D.169．已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.310．數列1，，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.11．數列2，，9，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.12．函數y＝x3＋x2－x＋1在區(qū)間[－2,1]上的最小值為()A. B.2C.－1 D.－4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若，則________.14．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.15．寫出一個漸近線的傾斜角為且焦點在y軸上的雙曲線標準方程___________.16．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則該雙曲線的實軸長為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數列中，，且成等比數列（1）證明數列是等差數列，并求的通項公式；（2）設數列滿足，其前項和為，證明：18．（12分）在等比數列{}中，（1），，求；（2），，求的值.19．（12分）已知在時有極值0.（1）求常數，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.20．（12分）在一次重大軍事聯(lián)合演習中，以點為中心的海里以內海域被設為警戒區(qū)域，任何船只不得經過該區(qū)域．已知點正北方向海里處有一個雷達觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東，且與點相距海里的位置，經過小時又測得該船已行駛到位于點北偏東，且與點相距海里的位置（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）該船能否不改變方向繼續(xù)直線航行？請說明理由21．（12分）在平面直角坐標系中，為坐標原點，曲線上點都在軸及其右側，且曲線上的任一點到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線的方程；（2）已知過點的直線交曲線于點，若,求面積22．（10分）在平面直角坐標系中，已知，動點M滿足（1）求M的軌跡方程；（2）設，點N是的中點，求點N的軌跡方程；（3）設M的軌跡與N的軌跡的交點為P、Q，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據給定直線設出點P的坐標，再借助列出關于的不等式，然后由不等式有解即可計算作答.【詳解】因點P在直線l：上，則設，于是有，而，因此，，即，依題意，上述關于的一元二次不等式有實數解，從而有，解得，所以實數m的取值范圍是.故選：A2、A【解析】利用空間向量基本定理進行計算.【詳解】.故選：A3、D【解析】根據題意得出的符號，進而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.4、D【解析】利用累加法求得列的通項公式，再利用裂項相消法求得數列的前n項和為，再根據，，成等差數列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，且，所以當時，，因為也滿足，所以.因為，所以.若，，成等差數列，則，即，得.故選：D.5、A【解析】依據定義法去求動圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設動圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動圓的圓心的軌跡是以為焦點長軸長為9的橢圓.故選：A6、B【解析】利用空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為，所以，因為E，F分別為SA，BC的中點，所以,故選：B7、B【解析】作出韋恩圖，設調查的學生中去過中共一大會址研學旅行的學生人數為，根據題意求出的值，由此可得出該學校到過中共一大會址研學旅行的學生人數.【詳解】如下圖所示，設調查的學生中去過中共一大會址研學旅行的學生人數為，由題意可得，解的，因此，該學校到過中共一大會址研學旅行的學生的人數為.故選：B.【點睛】本題考查韋恩圖的應用，同時也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計算能力，屬于基礎題.8、C【解析】根據取整函數的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】，，，，，，當時，，使的正整數n的最大值為，故選：C9、D【解析】設出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D10、A【解析】根據各項的分子和分母特征進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以該數列的一個通項公式可以是；對于選項B：，所以本選項不符合要求；對于選項C：，所以本選項不符合要求；對于選項D：，所以本選項不符合要求，故選：A11、C【解析】用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數列各項，結合排除法可得【詳解】第一項為正數，BD中求出第一項均為負數，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C12、C【解析】詳解】，令，解得或；令，解得函數在上遞增，在遞減，在遞增，時，取極大值，極大值是時，函數取極小值，極小值是，而時，時，，故函數的最小值為，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出導函數，確定導函數奇函數，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數，∴故答案為：【點睛】本題考查導數的運算，考查函數的奇偶性，確定函數的奇偶性是解題關鍵14、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.15、(答案不唯一)【解析】根據已知條件寫出一個符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).16、2【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得a，b的關系，即可得到的值【詳解】一漸近線x＋ay＝0，被圓(x－2)2＋y2＝4所截弦長為2，所以圓心到直線距為，即，a＝1.所以雙曲線的實軸長為2.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；；（2）證明見解析【解析】（1）利用已知條件推出數列是等差數列，其公差為，首項為1，求出通項公式，結合由，，成等比數列，轉化求解即可．（2）化簡通項公式，利用裂項消項法，求解數列的和即可【詳解】證明：（1）由，得，即，所以數列是等差數列，其公差為，首項為1，因此，，，由成等比數列，得，即，解得或（舍去），故（2）因為，所以因為，所以【點睛】方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.18、（1）（2）【解析】（1）直接利用等比數列的求和公式求解即可，（2）由已知條件結合等比數的性質可得，從而可求得答案，或直接利用等比數列的求和公式化簡求解【小問1詳解】.【小問2詳解】方法1：.∴.方法2：，整理得：又19、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對求導，根據在時有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯(lián)立（1）、（2）有(舍)或.當時在定義域上單調遞增，故舍去；所以，，經檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或由，得或由得，函數的單調增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：.函數在取得極大值，在取極小值；經計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.20、（1）海里/小時；（2）該船要改變航行方向，理由見解析.【解析】（1）設一個單位為海里，建立以為坐標原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立平面直角坐標系，計算出，即可求得該船的行駛速度；（2）求出直線的方程，計算出點到直線的距離，可得出結論.【小問1詳解】解：設一個單位為海里，建立以為坐標原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，則坐標平面中，，且，，則、、，，所以，所以、兩地的距離為海里，所以該船行駛的速度為海里/小時.【小問2詳解】解：直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，所以直線會與以為圓心，以個單位長為半徑的圓相交，因此該船要改變航行方向，否則會進入警戒區(qū)域21、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據拋物線的定義求軌跡方程（2）待定系數法設直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據拋物線的定義，利用韋達定理解出直線方程，再求面積【小問1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設的坐標為，由已知可得，化簡得，曲線的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點到直線的距離等于該點到圓心的距離，由拋物線的定義可得知，點的軌跡為以點為焦點的拋物線，所以曲線的方程為【小問2詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，由，可得的斜率存在，設為，，過的直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，設，的橫坐標分別為，，可得，，由拋物線的定義可得，解得，即直線的