2025屆江蘇省揚州市蔣王中學高二數學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆江蘇省揚州市蔣王中學高二數學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，且對，，且總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.2．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標是（）A. B.C. D.3．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.4．函數f(x)＝－1＋lnx，對?x0，f(x)≥0成立，則實數a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)5．在等差數列中，已知，，則使數列的前n項和成立時n的最小值為（）A.6 B.7C.9 D.106．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.8．拋物線的焦點到準線的距離（）A.4 B.C.2 D.9．已知曲線C的方程為，則下列結論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實數k使得曲線C為雙曲線，其離心率為10．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.11．甲、乙、丙、丁共4名同學進行黨史知識比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無重復），其中前2名將獲得參加市級比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的資格.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.1212．已知函數，要使函數有三個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的表面積為,則該球的體積為______.14．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數列記為，則___________（填數值）.15．已知正項數列的前n項和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數為__________16．曲線在點處的切線方程為_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號分組頻數頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學生進行面試，則每組應各抽多少名學生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學生中再隨機抽取2名被甲考官面試，求這2名學生來自同一組的概率.18．（12分）在對某老舊小區(qū)污水分流改造時，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價為248元/平方米，池底的建造單價為80元/平方米，池蓋的建造單價為100元/平方米，建造此污水處理池相關人員的勞務費以及其他費用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關規(guī)定執(zhí)行，計算時忽略不計）（1）現有財政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設計污水處理池的長和寬，使總費用最低？最低費用為多少萬元？19．（12分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于？20．（12分）2021年國務院政府工作報告中指出，扎實做好碳達峰、碳中和各項工作，制定2030年前碳排放達峰行動方案，優(yōu)化產業(yè)結構和能源結構.汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，若現對CO2排放量超過130g/km的MI型新車進行懲罰(視為排放量超標)，某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進行CO2排放量檢測，記錄如下(單位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160經測算發(fā)現，乙類品牌車CO2排放量的均值為乙＝120g/km.（1）求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差；（2）若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩(wěn)定性好，求x的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值22．（10分）公差不為零的等差數列中，已知其前n項和為，若，且成等比數列（1）求數列的通項；（2）當時，求數列的前n和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點睛】本題考查以數學文化為背景，導數的幾何意義，根據函數的單調性比較函數值的大小，屬于中檔題型.2、C【解析】根據空間里面點關于面對稱的性質即可求解.【詳解】在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標是.故選：C.3、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.4、B【解析】由導數求得的最小值，由最小值非負可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調遞增，，不合題意；若，則時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B5、D【解析】根據等差數列的性質及等差中項結合前項和公式求得，,從而得出結論.【詳解】，，，，，，,使數列的前n項和成立時n的最小值為10，故選：D.6、B【解析】先判定兩圓的位置關系為相離的關系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.7、C【解析】先由cosA的值求出，進而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因為cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C8、A【解析】寫出拋物線的標準方程，即可確定焦點到準線的距離.【詳解】由題設，拋物線的標準方程為，則，∴焦點到準線的距離為4.故選：A.9、C【解析】根據橢圓、雙曲線的定義及簡單幾何性質計算可得；【詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示橢圓，所以A錯誤；對于B中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的雙曲線時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對于C中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的橢圓時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對于D中，當曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時，此時雙曲線的實半軸長等于虛半軸長，此時，解得，此時方程表示圓，所以不正確.故選：C.10、C【解析】設正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C11、C【解析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C12、A【解析】要使函數有三個解，則與圖象有三個交點，數形結合即可求解.【詳解】要使函數有三個解，則與圖象有三個交點，因為當時，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時，，當趨向于負無窮時，趨向于0，但始終小于0，當時，單調遞減，由圖像可知：所以要使函數有三個零點，則.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結果14、992【解析】列舉數列的前幾項，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數的項共有個，因為，所以是中的第5項，所以.故答案為：992.15、①.##②.【解析】由得到，即可得到數列是首項為1，公差為1的等差數列，從而求出，再根據求出，令，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當時，，即因此，數列是首項為1，公差為1的等差數列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數為；故答案為：；；16、【解析】求導，求出切線斜率，進而寫出切線方程.【詳解】，則，故切斜方程為：，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，（2）第三組應抽人，第四組應抽人，第五組應抽人（3）【解析】（1）根據頻率分布表的數據求出b，c，d的值；（2）三個組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學生第三組應抽3人，第四組應抽2人，第五組應抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結合概率公式得出答案.【小問1詳解】由題意得，，【小問2詳解】三個組共有60人，所以第三組應抽人，第四組應抽人，第五組應抽人.【小問3詳解】記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，從這6人中隨機抽取2人，基本事件包含，共15個基本事件.其中2人來自同一組的情況有，共4種.所以，2人來自同一組的概率為.18、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.【解析】（1）根據題意結合單價直接計算即可得出；（2）設污水處理池的寬為米，表示出總費用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長為（米），建造總費用為：（元）因為，所以如果污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設污水處理池的寬為米，建造總費用為元，則污水處理池的長為米.則因為，等號僅當，即時成立，所以時建造總費用取最小值90000，所以將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.19、（1）詳解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股定理證得，結合線面垂直的判定定理即可證得結論；（2）以A為原點建立空間直角坐標系，設點，，求得平面的法向量，利用已知條件建立關于的方程，進而得解.【小問1詳解】取中點為，連接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小問2詳解】以A為坐標原點，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設點，因為點F在線段上，設，，，設平面的法向量為，，，則，令，則，設直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時點F是的三等分點，所以在線段上是存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于.20、（1），600（2）【解析】用平均數及方差公式計算即可.用平均值得、之間的關系，再由，解不等式可得解.【小問1詳解】甲類品牌汽車的排放量的平均值，甲類品牌汽車的排放量的方差.【小問2詳解】由題意知乙類品牌汽車的排放量的平均值＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙類品牌汽車的排放量的方差，因為乙類品牌汽車比甲類品牌汽車的排放量穩(wěn)定性好，所以，解得.21、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點可得c，再根據離心率可得a，即得b；（2）先設直線方程x=ty+m，根據向量數量積表示，將直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據面積公式可得關于t的函數，最后根據基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，∴c=1，又橢圓E的離心率為，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓Γ的標準方程為：（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy