西藏拉薩市那曲第二高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

西藏拉薩市那曲第二高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.2．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知空間向量，則（）A. B.C. D.4．某家庭準(zhǔn)備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個(gè)網(wǎng)站關(guān)于四家餐館的好評(píng)率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評(píng)率，他們應(yīng)選擇（）網(wǎng)站①評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站①好評(píng)率網(wǎng)站②評(píng)價(jià)人數(shù)網(wǎng)站②好評(píng)率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁5．已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、H兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個(gè)人解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.7．函數(shù)，若實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.無(wú)法確定8．已知直線交圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是（）A.3 B.2C. D.49．某高校甲、乙兩位同學(xué)大學(xué)四年選修課程的考試成績(jī)等級(jí)（選修課的成績(jī)等級(jí)分為1，2，3，4，5，共五個(gè)等級(jí)）的條形圖如圖所示，則甲成績(jī)等級(jí)的中位數(shù)與乙成績(jī)等級(jí)的眾數(shù)分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，410．在正方體中，下列幾種說(shuō)法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為11．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.12．已知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，圖形中的圓是正方形的內(nèi)切圓，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為對(duì)角線與圓的交點(diǎn)，若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為_(kāi)________14．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測(cè)一般性的結(jié)論為_(kāi)_____.15．若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.16．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓與軸相切，圓心在直線上，且到直線的距離為（1）求圓的方程；（2）若圓的圓心在第一象限，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程18．（12分）已知橢圓，其上頂點(diǎn)與左右焦點(diǎn)圍成的是面積為的正三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(的斜率存在)交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，問(wèn)：是否是定值？若是，求出定值：若不是，說(shuō)明理由.19．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)O，點(diǎn)P在棱SD上，且△SAC的面積為1（1）若點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，求證：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一點(diǎn)P使得二面角P?AC?D的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由20．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱21．（12分）在△ABC中，(1)求B的大??；(2)求cosA＋cosC的最大值22．（10分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.3、C【解析】A利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實(shí)數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可判斷；D利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求即可.【詳解】因?yàn)?，所以A不正確：因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)使，所以B不正確；因?yàn)椋?，所以C正確；因?yàn)?，所以，所以D不正確故選：C4、D【解析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評(píng)率，再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評(píng)率為：，餐館乙的總好評(píng)率為：，餐館丙的好評(píng)率為：，餐館丁的好評(píng)率為：，顯然，所以餐館丁的總好評(píng)率最高.故選：D5、B【解析】根據(jù)是等腰三角形且為銳角三角形，得到，即，解得離心率范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，不妨取，，是等腰三角形且為銳角三角形，則，即，，即，，解得，故.故選：B.6、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項(xiàng)分布的知識(shí)計(jì)算出，再計(jì)算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問(wèn)題，涉及到利用二項(xiàng)分布公式求解概率的問(wèn)題.7、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，又實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，故選：A8、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進(jìn)而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長(zhǎng).【詳解】∵點(diǎn)為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是2故選：B9、C【解析】將甲的所有選修課等級(jí)從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級(jí)的眾數(shù).【詳解】由條形圖可得，甲同學(xué)共有10門選修課，將這10門選修課的成績(jī)等級(jí)從低到高排序后，第5，6門的成績(jī)等級(jí)分別為3，4，故中位數(shù)為，乙成績(jī)等級(jí)的眾數(shù)為5.故選：C.10、D【解析】在正方體中，利用線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，連接AC，則AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正確；對(duì)于B，∵B1C∥D，即B1C與BD所成的角為∠DB，連接△DB為等邊三角形，∴B1C與BD所成的角為60°，故B正確；對(duì)于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B?平面A1BC，AB?平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正確；對(duì)于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D錯(cuò)誤故選D【點(diǎn)睛】本題考查了線面的空間位置關(guān)系及空間角，做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力11、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.12、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算得所求概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則陰影部分的面積為，故若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)概率為故答案為：.14、【解析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論【詳解】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)，第個(gè)不等式左端有項(xiàng)，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第個(gè)不等式（）故答案為：（）15、【解析】當(dāng)圓的直徑介于橢圓長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)度范圍之間時(shí)，橢圓和圓有四個(gè)不同的焦點(diǎn)，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個(gè)焦點(diǎn)，故圓的直徑介于橢圓長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，即①.由得，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得②.由①②得.故填.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關(guān)系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.16、【解析】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時(shí)構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項(xiàng)公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）或【解析】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則該圓的半徑長(zhǎng)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的值，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用勾股定理可求得圓心到的距離，分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則該圓的半徑長(zhǎng)為，因?yàn)閳A心到直線的距離為，解得，所以圓心的坐標(biāo)為或，半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.【小問(wèn)2詳解】解：若圓的圓心在第一象限，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)?，所以圓心到直線的距離.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，所以，直線的方程為或，即或.18、（1）；（2）是定值，定值為4【解析】（1）根據(jù)正三角形性質(zhì)與面積可求得即可求得方程；（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程代入橢圓方程利用韋達(dá)定理求得兩根關(guān)系式，進(jìn)而求得的表達(dá)式，最后求比值即可；當(dāng)直線斜率為0時(shí)直接求解即可【詳解】（1）為正三角形，，可得，且，∴橢圓的方程為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，且，聯(lián)立，消去得，則，且，∴弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則弦的垂直平分線為，令，得，，又，；②當(dāng)直線斜率為0時(shí)，則，，則.綜合①②得是定值且為4【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值19、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)【解析】（1）由的面積為1，得到，，由，點(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面PAC，再由面面垂直的判斷定理可得答案；（2）存在，分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P，設(shè)，求出平面PAC、平面ACD的一個(gè)法向量，由二面角的向量法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)S在底面ABCD上的射影為O，所以平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，又因?yàn)榈拿娣e為1，所以，，所以，因?yàn)椋c(diǎn)P為SD的中點(diǎn)，所以，同理可得，因?yàn)?，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小問(wèn)2詳解】存在，連接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得兩兩垂直，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，假設(shè)在棱SD上存在點(diǎn)P使二面角的余弦值為，設(shè)，，，所以，，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)?，，所以，令，得，，因?yàn)槠矫鍭CD的一個(gè)法向量為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以存在P點(diǎn)符合題意，點(diǎn)P為棱SD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對(duì)稱.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱21、（1）（2）1【解析】（1）由余弦定理及題設(shè)得；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最大值試題解析：（1）由