北京市朝陽陳經(jīng)綸中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

北京市朝陽陳經(jīng)綸中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線，則它的焦點坐標為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或3．在平行六面體中，點P在上，若，則（）A. B.C. D.4．在正四面體中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為A. B.1C. D.5．關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為A. B.C. D.6．繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺 B.圓臺或兩個圓錐的組合體C.圓錐或兩個圓錐的組合體 D.圓柱7．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.8．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）9．已知A，B，C是橢圓M：上三點，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點D，交BC于點E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.10．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.2511．設(shè)雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.812．橢圓的焦點坐標為（）A.和 B.和C.和 D.和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的一個焦點為，則p的值為______14．已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.15．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.16．已知數(shù)列滿足，則_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實際需要在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術(shù)7門科目中自選3門參加考試．下面是某校高一200名學生在一次檢測中的物理、化學、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學、生物三科總分成績的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學、生物、政治、技術(shù)”五門學科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率18．（12分）某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關(guān)系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當k＝1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在上的最小值m和最大值M.20．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù).（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測試成績不低于60分的學生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21．（12分）已知等差數(shù)列前n項和為，，，若對任意的正整數(shù)n成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知拋物線：（）的焦點為，點在上，點在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為（1）求的方程；（2）過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，直線，（為坐標原點）分別交直線于點，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將拋物線方程化標準形式后得到焦準距，可得結(jié)果.【詳解】由得，所以，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將拋物線方程化為標準形式是解題關(guān)鍵.2、B【解析】分雙曲線的焦點在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點位置不確定的情況下，要對雙曲線的焦點位置進行分類討論，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C4、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點，可得，代入，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點故選：【點睛】本題考查空間向量的線性運算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.5、B【解析】設(shè)，解集為所以二次函數(shù)圖像開口向下，且與交點為，由韋達定理得所以的解集為，故選B.6、C【解析】討論是按直角邊旋轉(zhuǎn)還是按斜邊旋轉(zhuǎn)【詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉(zhuǎn)可得下圖的兩個圓錐的組合體：故選：C7、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標準方程為.故選：D8、A【解析】設(shè)出切點，對函數(shù)求導得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【詳解】設(shè)切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【點睛】這個題目考查了函數(shù)的導函數(shù)的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應(yīng)用到導數(shù)的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設(shè)切點，求導并且表示在切點處的斜率；二：根據(jù)點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.9、C【解析】設(shè)出點，,的坐標，將點，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點在軸上，且為的中點,則.【詳解】設(shè)，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點在軸上，且為的中點即，則正確.故選：C.10、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.11、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.12、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標.【詳解】，可得焦點坐標為和.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】利用橢圓標準方程概念求解【詳解】因為焦點為，所以焦點在y軸上，所以故答案：314、【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.15、【解析】利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：16、【解析】找到數(shù)列的規(guī)律，由此求得.【詳解】依題意，，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問2詳解】因為(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數(shù)為232【小問3詳解】將物理、化學、生物、政治、技術(shù)5門學科分別記作．則事件A表示小明選中“技術(shù)”，則，所以P(A)=18、（1）；（2）估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2025屆.【解析】（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；（2）代入，可估計2021年的營業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應(yīng)的t的值為121，營業(yè)收入，所以估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為，所以估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號為14，即2025屆.19、（1）增區(qū)間為（2），【解析】（1）求導，由判別式可判斷導數(shù)符號，然后可得；（2）求導，求導數(shù)零點，比較函數(shù)極值和端點函數(shù)值，結(jié)合單調(diào)性可得.【小問1詳解】因為，所以，，因為，所以恒成立所以的增區(qū)間為.【小問2詳解】當時，，令，解得，當時，，當時，，當時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以在區(qū)間上的最大值，最小值為20、（1），中位數(shù)為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學生成績在的頻率為；學生成績在的頻率為.設(shè)這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為，則，解得，故估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由（1）知，學生成績在的頻數(shù)為，學生成績在的頻數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績在的學生被抽取人，分別記為，，成績在的學生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得，解方程得，，進而得，故恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得當或4時，取得最小值，進而得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知，.聯(lián)立方程組，解得，.所以，，由題意，即.令，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，所以當或4時，取得最