函數(shù)與幾何綜合問題-2020年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編【全國】

2020年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編(全國通用)

專題30函數(shù)與幾何綜合問題

一.解答題(共30小題)

1.(2020?揚州)如圖，已知點A(1,2)、B(5,”)(〃>0),點P為線段AB上的一個動點，反比例函數(shù)

)=[(x>0)的圖象經(jīng)過點P.小明說：“點P從點A運動至點3的過程中，％值逐漸增大，當(dāng)點尸在點

A位置時k值最小，在點B位置時k值最大.”

(1)當(dāng)n—\時.

①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式.

②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的

k的最小值和最大值.

(2)若小明的說法完全正確，求〃的取值范圍.

【分析】(1)①把〃=1代入確定出8的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出線段A8所在直線的解析式即可；

②若〃=1,完全同意小明的說法，求出正確我的最大值與最小值即可；

(2)若小明的說法完全正確，把4與B坐標(biāo)代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可確定出〃

的范圍.

【解析】(1)①當(dāng)”=1時，B(5,1),

設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y^kx+b,

把A(I,2)和8(5,1)代入得：也

解得：\。4,

\b

則線段48所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=

②不完全同意小明的說法，理由為：

1919

-X+-=--，81

4442'+16

???當(dāng)x=l時，kmin=2;

29H,_81

當(dāng)2^'J，kmax-yg.

則不完全同意;

(2)當(dāng)〃=2時，A(1,2),B(5,2),符合;

當(dāng)時，尸竽x+10-n

4

、2

n-210-n\一九-2zn-10.2?(10-n)

k=x(---x+

44)~~g而二T16(2-71)*

981

先增大當(dāng)x取W時'k為藐,為最大’到8為5時減小,

即在直線上4到五=2時增大，到5時減小，

9

當(dāng)a《小時’”在減小,

72—10

當(dāng)〃<2時，人隨x的增大而增大，則有高二2

10

此時一<n<2；

9

當(dāng)。2時’上隨、的增大而增大,則有公§，

此時”>2,

氏綜上L，n、>百1~0?

2.（2020?泰州）如圖，在△ABC中，NC=90°，AC=3,BC=4,尸為3c邊上的動點（與8、。不重合）,

PD//AB,交4C于點。，連接AP,設(shè)CP=尤，△AD尸的面積為5.

（1）用含x的代數(shù)式表示AO的長;

（2）求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)S隨x增大而減小時x的取值范圍.

【分析】（1）由平行線分線段成比例定理，用x表示C。，進(jìn)而求得結(jié)果；

（2）根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出S隨x增大而減小時的取值范圍.

【解析】（1）'JPD//AB,

?CPCD

CBCA

VAC=3,BC=4,CP=x,

,xCD

.?一=，

43

3

：.CD=^x,

3

：.AD=AC-CD=3-^x,

即AD=-^X+3；

(2)根據(jù)題意得，S=1/lD.CP=ix(-1x+3)=-1(X-2)2+1,

.?.當(dāng)xN2時，S隨x的增大而減小，

V0<x<4,

.?.當(dāng)5隨x增大而減小時x的取值范圍為2WxV4.

3.(2020?濱州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線產(chǎn)-%-1與直線y=-2x+2相交于點P,并分別與x

軸相交于點A、B.

(1)求交點P的坐標(biāo)；

(2)求△肉B的面積；

(3)請把圖象中直線y=-2x+2在直線y=-1x-1上方的部分描黑加粗，并寫出此時自變量x的取值

【分析】(1)解析式聯(lián)立，解方程組即可求得交點P的坐標(biāo);

(2)求得A、8的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可;

(3)根據(jù)圖象求得即可.

【解析】(1)由卜=一/*一1解得匕：2

ly=-2x+2U—-z

：.P(2,-2)；

14,1

(2)直線y=-2匯-1與直線y=~2x+2中，令y=0,貝巾一彳丫一1=。與-2x+2=0,

解得x=-2與x=1,

???A(-2,0),B(1,0),

?"8=3,

**?S^PAB=^AB-\yP\=-x3x2=3；

自變量1的取值范圍是xV2.

4.(2020?襄陽)如圖，反比例函數(shù)yi=￡(x>0)和一次函數(shù)”=丘+6的圖象都經(jīng)過點A(1,4)和點B

(〃，2).

(1)〃?=4,n=2；

(2)求一次函數(shù)的解析式，并直接寫出yiV”時的取值范圍；

(3)若點P是反比例函數(shù)yi=*(x>0)的圖象上一點，過點尸作PMLx軸，垂足為M,則△POM的

面積為2.

【分析】(1)把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出m,得出反比例函數(shù)的解析式，把8的坐標(biāo)代入

反比例函數(shù)的解析式，能求出〃，即可得出8的坐標(biāo)；

(2)分別把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式得出方程組，求出方程組的解，即可得出一次函數(shù)的解

析式；根據(jù)圖象求得時x的取值范圍；

(3)根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得.

【解析】(1)1?把A(1,4)代入(x>0)得："=1X4=4,

...把8(?,2)代入y=3導(dǎo)：2=*

解得n=2；

故答案為4,2；

(2)把A(1,4)、B(2,2)代入￥2=履+〃得：氏+乙=4

解得：k=-2,b=6,

即一次函數(shù)的解析式是丁=-2T+6.

由圖象可知：巾<”時X的取值范圍是lVx<2；

(3)?.?點P是反比例函數(shù)yi=￡(x>0)的圖象上一點，過點P作PMLx軸，垂足為M,

S^POM=3ml=x4=2,

故答案為2.

3

5.(2020?連云港)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點A(4,-),

x2

點8在〉軸的負(fù)半軸上，A3交x軸于點C,C為線段A8的中點.

(1)m=6,點C的坐標(biāo)為(2,0)；

(2)若點O為線段AB上的一個動點，過點。作OE〃y軸，交反比例函數(shù)圖象于點E,求△OOE面積

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得，”的值，根據(jù)A點的坐標(biāo)即可求得C的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)待定系數(shù)法求得直線48的解析式，設(shè)出O、E的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式得到SAOOE=-:

(X-1)2+行，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論.

【解析】(I)???反比例函數(shù)y=￡(x>0)的圖象經(jīng)過點A(4,-),

3

m=4x2=6,

???A8交x軸于點C,C為線段48的中點.

：.C(2,0)；

故答案為6,(2,0)：

(2)設(shè)直線/W的解析式為

3(3(k=-

把A(4,-),C(2,0)代入得妹+6="解得14

2(2k+b=0

直線AB的解析式為>>=看—|；

??,點。為線段A3上的一個動點，

37

，設(shè)。(x,-V—?)(0<x^4),

4乙

軸，

6

(x,一)，

x

163a2o33o27

S^0DE=-jX<---x+5)=一4尸+/+3=一五(X-1)~+b，

Zx4oT,Oo

27

?,.當(dāng)x=l時，△OQE的面積的最大值為丁.

6.(2020?遂寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4的坐標(biāo)為(0,2),點B的坐標(biāo)為(1,0),連結(jié)

k

AB,以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形A8C3,直線8。交雙曲線廠q;(kWO)于。、E兩點，連結(jié)CE,

交x軸于點F.

(1)求雙曲線)，=[*W0)和直線OE的解析式.

(2)求△￡>g7的面積.

【分析】(1)作軸于M,通過證得△A02也(A4S),求得。的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)

法即可求得雙曲線y=((左#0)和直線OE的解析式.

(2)解析式聯(lián)立求得E的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求得和進(jìn)而求得CN的長，即可根據(jù)三角

形面積公式求得△OEC的面積.

【解析】???點A的坐標(biāo)為(0,2),點8的坐標(biāo)為(1,0),

；.OA=2,08=1,

作DMly軸于M,

???四邊形4BCO是正方形，

AZBAD=90°,AB=AD,

：.ZOAB+ZDAM=90°,

'：ZOAH+ZAfiO=90",

：.ZDAM=ZABO,

在△AOB和△OM4中

"ZABO=NDAM

Z.AOB=4DMA=90°，

=DA

.?.△AOB絲△OM4(A4S),

：.AM=OB^\,DM=OA^2,

：.D(2,3),

k

?二雙曲線j1=-awo)經(jīng)過￡)點，

，攵=2義3=6,

.?.雙曲線為)=1

設(shè)直線DE的解析式為

把8(1,0),D(2,3)代入得解得(血=3

直線DE的解析式為y=3x-3；

(2)連接4C,交80于M

;四邊形ABC。是正方形，

垂直平分AC,AC=BD,

喉廠喉越：4

：.E(-1,-6),

Vfi(1,0),D(2,3),

:.DE=J(2+1)2+(3+6)2=3g,DB=V(2-l)2+32=V10,

.,.CN=%Q=咽

7.（2020?牡丹江）如圖，已知直線A8與x軸交于點A,與y軸交于點B,線段。4的長是方程--7x-18

=0的一個根，請解答下列問題：

（1）求點4,B的坐標(biāo)；

（2）直線交工軸負(fù)半軸于點E,交y軸正半軸于點F,交直線A8于點C.若。是石尸的中點，OE

=6,反比例函數(shù)尸號圖象的一支經(jīng)過點C,求女的值；

（3）在（2）的條件下，過點C作C￡>J_OE,垂足為。，點〃在直線A8上，點N在直線C￡>上.坐標(biāo)

平面內(nèi)是否存在點P，使以O(shè),M,N,P為頂點的四邊形是正方形？若存在，請寫出點P的個數(shù)，并直

【分析】（1）解一元二次方程，得到點A的坐標(biāo)，再根據(jù)08=^04可得點8坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，根據(jù)點C是EF的中點，得到點C橫坐標(biāo)，代入可得點C

坐標(biāo)，根據(jù)點C在反比例函數(shù)圖象上求出k值；

(3)畫出圖形，可得點P共有5個位置，分別求解即可.

【解析】(1)???線段的長是方程的一個根，

解得：x=9或-2(舍)，而點A在x軸正半軸，

(9,0),

'：OB=^OA,

9

：.B(0,-),

2

(2)VOE=6,

：.E(-6,0),

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y^kx+b,將點A和B的坐標(biāo)代入,

(0=9k+b(k=

得：9=，解得：92,

(2-伍=]

19

-X+-

?"?AH的表達(dá)式為：y=22

?.?點C是EF的中點，

.?.點C的橫坐標(biāo)為-3,代入AB中，y=6,

則C(-3,6),

?反比例函數(shù)y=(經(jīng)過點C,

則k=-3X6=-18；

(3)存在點尸，使以。，M,N,P為頂點的四邊形是正方形,

如圖，共有5種情況，

在四邊形。MIPIM中，

Mi和點A重合，

：.M\(9,0),

此時Pi(9,12)；

在四邊形￡>P38M中，點B和M重合，

可知M在直線y=x+3匕

ry=x+3

聯(lián)立：]19,

(y=-2x+2

解得:

：.M(1,4),

：.P3(1,0),

同理可得：Pi(9,-12),(-7,4),P5(-15,0).

故存在點P使以。，M,N,P為頂點的四邊形是正方形，

點P的坐標(biāo)為尸1(9,12),P2(9,-12),(1,0),PA(-7,4),P5(-15,0).

8.(2020?廣元)如圖所示，一次函數(shù)、=h+匕的圖象與反比例函數(shù))=￡的圖象交于4(3,4),B(〃,-1).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)在x軸上存在一點C,使△AOC為等腰三角形，求此時點C的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

【分析】(1)先把A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得反比例函數(shù)的解析，再把8點坐標(biāo)代入所求得的

反比例函數(shù)的解析式，求得8點坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式便可；

(2)分三種情況：OA=OC,AO=AC,CA=CO,分別求解即可；

(3)根據(jù)圖象得出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時x的取值范圍即可.

【解析】(1)把A(3,4)代入y=羨，

??m=12,

反比例函數(shù)是y=芋；

把8(〃，-1)代入y=苧得n—-12.

把A(3,4)、8(-12,-1)分別代入產(chǎn)履+力中,

俎f3k+8=4

M-12fc+h=一/

解得k=3,

5=3

，一次函數(shù)的解析式為y=1%+3；

(2)TA(3,4),

/.OA=732+42-5,

???△40C為等腰三角形，

分三種情況：

①當(dāng)OA=OC時，OC=5,

此時點C的坐標(biāo)為(5,0),(-5,0)；

②當(dāng)AO=AC時，VA(3,4),點C和點。關(guān)于過A點且垂直于軸的直線對稱,

此時點C的坐標(biāo)為(6,0)；

③當(dāng)C4=CO時，點C在線段OA的垂直平分線上，

過A作AO_Lx軸，垂足為。，

山題意可得：OD=3,AD=4,AO=5,設(shè)OC=x,則AC=x,

在△ACO中，42+(x-3)2=/,

解得：

此時點C的坐標(biāo)為(得，0)；

綜上：點C的坐標(biāo)為：(6,0),(5,0),償，0),(-5,0)；

(3)由圖得：

當(dāng)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時，

-12<x<0或x>3,

即使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍是：-12<xV0或x>3.

9.(2020?常州)如圖，正比例函數(shù)y=Ax的圖象與反比例函數(shù))='(x>0)的圖象交于點A(a,4).點B

為x軸正半軸上一點，過8作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點C,交正比例函數(shù)的圖象于點D

(1)求。的值及正比例函數(shù)y=質(zhì)的表達(dá)式；

(2)若80=10,求△ACO的面積.

【分析】(1)把把點A(a,4)代入反比例函數(shù)關(guān)系式可求出a的值，確定點A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出正比

例函數(shù)的關(guān)系式；

(2)根據(jù)8/)=10,求出點8的橫坐標(biāo)，求出代入求出8C,根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算即可.

【解析】(1)把點A(a,4)代入反比例函數(shù))，=[(x>0)得，

8

-=2

4

工點4(2,4),代入y=Ax得,k=2,

???正比例函數(shù)的關(guān)系式為y=2x,

答：。=2,正比例函數(shù)的關(guān)系式為y=2x；

(2)當(dāng)8￡)=10=y時，代入y=2x得，x=5,

:.08=5,

當(dāng)x=5代入尸[得，y=l，BPBC=I，

：.CD=BD-BC=10-18=芳42,

ASAACD=1^X-4y2X(5-2)=12.6,

10.(2020?荊州)九年級某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)y=后的

圖象與性質(zhì)共探究過程如下：

(1)繪制函數(shù)圖象，如圖1.

列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中加=1:

X...-3-2-111123???

~22

.?????

y212442m2

33

描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值(x,y),在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點；

連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象.請你把圖象補充完整；

(2)通過觀察圖1,寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；

①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

②當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減?。?/p>

(3)①觀察發(fā)現(xiàn)：如圖2.若直線y=2交函數(shù))，=備的圖象于4,B兩點，連接04,過點B作8C〃

0A交x軸于C.則S四邊形OABC=4；

②探究思考：將①中“直線y=2”改為“直線y=a(?>0),;其他條件不變，則S四邊形OABC=±;

③類比猜想：若直線y=“(a>0)交函數(shù))=備儀>0)的圖象于A,B兩點,連接04,過點B作BC

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)的變化規(guī)律得出當(dāng)x<0時，◎=-2,而當(dāng)x>0時，外=2,求出，"的

值；補全圖象;

(2)根據(jù)(1)中的圖象，得出兩條圖象的性質(zhì);

（3）由圖象的對稱性，和四邊形的面積與k的關(guān)系，得出答案.

【解析】（1）當(dāng)x<0時，xy=-2,而當(dāng)x>0時，孫=2,

?*/w==1,

故答案為：1；補全圖象如圖所不：

（2）故答案為：①函數(shù)的圖象關(guān)于），軸對稱，②當(dāng)xVO時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>0時，y隨x

的增大而減?。?/p>

（3）如圖，①由A,B兩點關(guān)于y軸對稱，由題意可得四邊形OABC是平行四邊形，且S四邊形OMC=4S

1

△OAM=4X/1=2因=4,

②同①可知：S四邊形2|川=4,

③S四邊形OABC=2飲|=2攵，

故答案為：4,4,2k.

11.（2020?攀枝花）如圖，過直線尸質(zhì)+；上一點P作POLc軸于點。，線段交函數(shù)產(chǎn)費（x>0）的

圖象于點C,點C為線段PC的中點，點C關(guān)于直線y=x的對稱點C的坐標(biāo)為（1,3）.

（1）求攵、機(jī)的值；

（2）求直線y=H+/與函數(shù)（x>0）圖象的交點坐標(biāo)；

m1

（3）直接寫出不等式一〉依+得（x>0）的解集.

【分析】（1）根據(jù)點C'在反比例函數(shù)圖象上求出加值，利用對稱性求出點C的坐標(biāo)，從而得出點P坐

標(biāo)，代入一次函數(shù)表達(dá)式求出“值；

（2）將兩個函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立，得到一元二次方程，求解即可；

（3）根據(jù)（2）中交點坐標(biāo)，結(jié)合圖象得出結(jié)果.

【解析】（1）-：C的坐標(biāo)為（1,3）,

代入.y=f（x>0）中，

得：”?=1X3=3,

???C和C'關(guān)于直線y=x對稱，

.?.點C的坐標(biāo)為（3,I）,

；點C為PC中點，

.".點P（3,2）,

將點。代入產(chǎn)去+會

??.解得：

1

:.k和m的值分別為:3,一；

2

（1,1

y=5%+56

（2）聯(lián)立一§，得：/+工-6=0,

I，y=-x

解得：X1=2,X2=-3（舍），

直線y=^+￡與函數(shù)）=與（x>0）圖象的交點坐標(biāo)為（2,1）；

,x2

3

（3）???兩個函數(shù)的交點為：（2,-）,

2

由圖象可知：當(dāng)0VxV2時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上面，

一TH1

?,?不等式一>kx4--（x>0）的解集為：0Vx<2.

X2

12.（2020?岳陽）如圖，一次函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)），=［（左為常數(shù)且M0）的圖象相交于A（-

1,m）,8兩點.

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）將一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移分個單位（6>0）,使平移后的圖象與反比例函數(shù)y=（的

圖象有且只有一個交點，求匕的值.

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)），=x+5的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)且ZWO）的圖象相交于A（-b

〃?），可得膽=4,進(jìn)而可求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移匕個單位（匕>0）,可得y=x+5-6根據(jù)平移后的圖

象與反比例函數(shù)y=（的圖象有且只有一個交點，聯(lián)立方程根據(jù)判別式=0即可求出b的值.

【解析】（1）?.?一次函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)）=（（k為常數(shù)且k#0）的圖象相交于A（-1,

??m=4,

：.k=-1X4=-4,

反比例函數(shù)解析式為：）=-%

（2）:一次函數(shù)y=x+5的圖象沿），軸向下平移〃個單位（^>0）,

.\y=x+5-b,

???平移后的圖象與反比例函數(shù)丁=（的圖象有且只有一個交點，

??x+5-b-,

x

；./+（5-b）x+4=0,

:△=（5-b）2-16=0,

解得6=9或1,

答：b的值為9或1.

13.(2020?江西)如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90°,頂點A,8都在反比例函數(shù)尸左(x>0)的圖象上,

直線ACLx軸，垂足為。，連結(jié)OA,OC,并延長OC交AB于點E,當(dāng)AB=2O4時，點E恰為A3的

中點，若NAOD=45°,OA=2夜.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求NEO。的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)題意求得4(2,2),然后代入)，=(求得k的值，即可求得反比例函數(shù)的解

析式；

(2)根據(jù)A8=2OA時，點E恰為A8的中點，得出。4=AE=8E,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得

出CE=AE=BE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)越久三角形外角的性質(zhì)即可得出NAOE=2NEOQ,從而求得/

EOD=15<,.

【解析】(1)直線AC_Lx軸，垂足為力，乙400=45°,

...△AOQ是等腰直角三角形，

???OA=2&,

.\OD=AD=2,

：.A(2,2),

???頂點A在反比例函數(shù)y=[(x>0)的圖象上，

"=2X2=4,

???反比例函數(shù)的解析式為y=%

(2),?工3=2。4點七恰為43的中點，

：.OA=AE,

???RtZ\A3C中，ZACB=90°,

:.CE=AE=BE,

：.ZAOE=ZAEO,/ECB=NEBC,

,/NAEO=NECB+NEBC=2NEBC,

；BC〃x軸，

NEOD=NECB,

：.ZAOE=2ZEOD,

VZAOD=45°,

AZEOD=15°.

14.(2020?泰安)如圖，已知一次函數(shù)>=履+匕的圖象與反比例函數(shù))，=/的圖象交于點A(3,a),點3(14

-2a,2).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若一次函數(shù)圖象與y軸交于點C,點。為點C關(guān)于原點O的對稱點，求△AC。的面積.

【分析】(1)點A(3,a),點8(14-2a,2)在反比例函數(shù)上，貝i]3Xa=(14-2a)X2,即可求解;

(2)a=4,故點A、8的坐標(biāo)分別為(3,4)、(6,2),求出一次函數(shù)的表達(dá)式為：)=一歹+6,則點C

(0,6),故OC=6,進(jìn)而求解.

【解析】(1)??,點A(3,a),點B(14-2a,2)在反比例函數(shù)上，

；.3Xa=(14-2a)X2,解得：“=4,則m=3X4=12,

故反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=~

X

(2)'：a=4,故點A、8的坐標(biāo)分別為(3,4)、(6,2),

設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y^kx+b,則匕=蟄*么解得卜=一1，

故一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-|x+6；

當(dāng)元=0時，y=6,故點C(0,6),故OC=6,

而點。為點。關(guān)于原點。的對稱點，則S=2OC=12,

11

△ACD的面積=/CD?XA=/12X3=18.

15.(2020?棗莊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=%+5和y=-2x的圖象相交于點A,反比例函

數(shù)y=［的圖象經(jīng)過點A.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)設(shè)一次函數(shù)產(chǎn)方+5的圖象與反比例函數(shù)尸號的圖象的另一個交點為B,連接。B,求△ABO的面

【分析】(1)聯(lián)立產(chǎn)3+5①和y=-2x并解得：｛；二丁，故點4(-2.4),進(jìn)而求解;

11

(2)SAA0B=S4A0C-SMOC=>OC?AM-W)C*BN,即可求解.

【解析】(1)聯(lián)立尸%+5①和y=-2x并解得：「：丁，故點A(-2.4),

將點4的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：4=與，解得：女=-8,

一Z

故反比例函數(shù)表達(dá)式為：)=

(2)聯(lián)立①②并解得：x=-2或-8,

當(dāng)x=-8時，y=；x+5=l,故點8(-8,1),

設(shè)產(chǎn)1+5交x軸于點C(-10,0),過點4、8分別作x軸的垂線交于點M、N,

/L

1111

則SA40B=SA40C-S&BOC=今XOUAM-汐C?BN=X4x10-x10X1=15.

16.(2020?徐州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點4(0,-4)、B(2,0),

交反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象于點C(3,。)，點P在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為w(0V〃V3),

「?！ā⑤S交直線48于點。，。是y軸上任意一點，連接P。、QD.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△OPQ面積的最大值.

【分析】(1)由A(0,-4),B(2,0)的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出點C的坐標(biāo)，確定

反比例函數(shù)的關(guān)系式；

(2)根據(jù)題意，要使三角形PZJQ的面積最大，可用點P的橫坐標(biāo)小表示三角形PQQ的面積，依據(jù)二

次函數(shù)的最大值的計算方法求出結(jié)果即可.

【解析】(1)把A(0,-4)、B(2,0)代入一次函數(shù)y=fcv+6得，

g=°，解得，｛”2

12k+b=03=-4

工一次函數(shù)的關(guān)系式為y=2x-4,

當(dāng)x=3時，y=2X3-4=2,

:.點、C(3,2),

???點C在反比例函數(shù)的圖象上，

???&=3X2=6,

...反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=1,

答：一次函數(shù)的關(guān)系式為y=2r-4,反比例函數(shù)的關(guān)系式為)=]

(2)點P在反比例函數(shù)的圖象上，點Q在一次函數(shù)的圖象上，

6-

J點尸(%一)，點。(小2〃-4),

n

；.pQ=g-⑵-4),

」n

S^PDQ=尹L-(2n-4)]=-/+2〃+3=--1)2+4,

工當(dāng)〃=1時，S最大=4,

答：△OPQ面積的最大值是4.

17.(2020?天水)如圖所示，一次函數(shù)y=〃ir+/t("K0)的圖象與反比例函數(shù)y=((人#0)的圖象交于第

二、四象限的點A(-2,〃)和點B(b,-1),過4點作x軸的垂線，垂足為點CZVIOC的面積為4.

(1)分別求出〃和力的值；

(2)結(jié)合圖象直接寫出蛆+〃>［中x的取值范圍；

(3)在y軸上取點尸，使PB-必取得最大值時，求出點P的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)△AOC的面積為4和反比例函數(shù)圖象的位置，可以確定k的值，進(jìn)而確定反比例函數(shù)

的關(guān)系式，代入可求出點A、8的坐標(biāo)，求出〃、〃的值：

(2)根據(jù)圖象直接寫出，>+〃>5的解集；

(3)求出點4(-2,4.)關(guān)于)，軸的對稱點A'(2,4),根據(jù)題意直線A'8與y軸的交點即為所求的

點P,求出直線A'8的關(guān)系式，進(jìn)而求出與y軸的交點坐標(biāo)即可.

【解析】(1)???△AOC的面積為4,

1

「?yi=4，

解得，k=-8,或攵=8(不符合題意舍去)，

反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=-p

把點A(-2,a)和點B(b,-1)代入尸一?得，

67=4,〃=8；

答：〃=4,6=8；

(2)根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可知，不等式的解集為-2或0<x<8；

(3)I?點A(-2,4)關(guān)于y軸的對稱點A'(2,4),

又8(8,-I),則直線A'8與)，軸的交點即為所求的點P,

設(shè)直線A'8的關(guān)系式為y=cx+d,

則有僚普工

???直線川8的關(guān)系式為產(chǎn)―.葉學(xué)，

.?.直線尸一1r+踩與y軸的交點坐標(biāo)為（0,y）,

17

即點尸的坐標(biāo)為（0,y）.

18.（2020?青海）如圖1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線產(chǎn)一?2+法+c經(jīng)過反。兩點，與*軸

的另一個交點為A,與y軸相交于點C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）設(shè)拋物線的頂點為M,求四邊形ABMC的面積.（請在圖1中探索）

（3）設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上.要使以點4、B、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求所

（2）求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點4、。坐標(biāo)及拋物線頂點M的坐標(biāo)，再將四邊形A8MC的面積分為三

角形的面積的和，進(jìn)行計算便可；

（3）分兩種情況：A8為平行四邊形的邊；A8為平行四邊形的對角線.分別解答便可.

【解析】（1）把8（3,0）和。（-2,-f）代入拋物線的解析式得，

；?拋物線的解析式為：y=-1x2+x+

1

(2)令x=0,得、=一尹2+%+=2

3

."(0，》

令y=0,得y=+%+2=0,

解得，x=-1,或x=3,

?"(-1,0),

Vy=-1x24-X+|=-1(X-1)24-2,

：.M(1,2),

?二S四邊形ABMC=SAAOC+SZ\COM+SZJWOM

1八1八1

—。4,OC+2OC,+2OB,y^j

=?xlx?4-^x^xl4-^x3x2=-x；

（3）設(shè)。（0,〃），

①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，^AB//PQ,AB=PQ,

?）.。點在P點左邊時，則。（-4,〃），

把。（-4,〃）代入y=-1x2+x+^,得

21

n=--2'

P（-4,—冬）；

②。點在P點右邊時，則。（4,〃），

把Q（4,n）代入y=-9?+x+|,得

5

n=-2'

：.P（4,-p；

③當(dāng)A8為平行四邊形的對角線時，如圖2,AB與PQ交于點、E,

則E(1,0),

.PE=QE,

：.P(2,-H),

1Q

把尸(2,-〃)代入y=—a%2+%+］，得

3

"下

,3

??〃=一下

3

：.P(2,-).

2

圖2

21q3

綜上，滿足條件的P點坐標(biāo)為：（-4,—2）或（4,—J）或（2,-）.

19.（2020?山西）綜合與探究

如圖，拋物線y=#-x-3與x軸交于A,B兩點（點4在點8的左側(cè)），與），軸交于點C.直線/與拋

物線交于A,O兩點，與y軸交于點E,點。的坐標(biāo)為（4,-3）.

（1）請直接寫出A,B兩點的坐標(biāo)及直線/的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點P是拋物線上的點，點尸的橫坐標(biāo)為相（機(jī)20）,過點「作/5“，》軸，垂足為M.與直

線/交于點M當(dāng)點N是線段尸M的三等分點時，求點尸的坐標(biāo)；

（3）若點。是y軸上的點，且NAZ）Q=45°,求點Q的坐標(biāo).

【分析】(1)令y=0,便可由拋物線的解析式求得A、3點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線A。的解析式；

1c

(2)設(shè)p(〃3-Z7?2-W-3),用m表示N點坐標(biāo)，分兩種情況：PM=3MN；PM=3PN.分別列出加

4

的方程進(jìn)行解答便可；

(3)分兩種情況，。點在y軸正半軸上時；。點在)，軸負(fù)半軸上時.分別解決問題.

【解析】(1)令y=0,得y=#-x-3=0,

解得，X--2,或x=6,

(-2,0),B(6,0),

設(shè)直線/的解析式為y—kx+b(AW0),則

(-2k+b=0

Uk+b=-3'

解得，卜=一2,

U=-1

直線/的解析式為y=

(2)如圖1,根據(jù)題意可知，點戶與點N的坐標(biāo)分別為

1I1)1

：?PM——彳廿9+/n+3,MN=產(chǎn)+1,NP=—甲獷+2加+2?

分兩種情況：

①當(dāng)PM=3MN時，得一和72+優(yōu)+3=3(-m+1),

解得，/?=0,或,"=-2(舍)，

：.P(0,-3)；

②當(dāng)PM=3NP時，得一熱2+加+3=3(-獷+3+2),

解得，加=3,或"7=-2（舍），

P（3,一學(xué)）;

當(dāng)點N是線段的三等分點時，點尸的坐標(biāo)為（3,-苧）或（0,-3）；

（3）;?直線/y=-亍刀一1與y軸于點E,

???點E的坐標(biāo)為（0,-1）,

分再種情況：①如圖2,當(dāng)點。在y軸的正半軸上時，記為點Qi，

圖2

過。作于點從^ZQE=ZAOE=90°,

NQ1EH=NAEO,

:‘XQ'EHsXAEO、

QAHEHQIHEH

A-=—，即上」=—

AOEO21

:,Q\H=2HE,

?.?NQQ”=45°,ZQiHD=90°,

:.Q\H=DH,

:.DH=2EH,

:.HE=ED,

連接CQ,

VC(0,-3),D(4,-3),

軸，

：.ED=y/CE2+CD2=V224-42=2遮，

：.HE=ED=2V5,Q)H=2EH=4V5,

:QE=JQ/2+EH?=10,

：.Q\O=Q\E-OE=9,

：.Qi(0,9)；

②如圖3,當(dāng)點。在y軸的負(fù)半軸上時.，記為點Q2,過Q2作Q2GLA。于G,則NQ2GE=/AOE=90°,

圖3

■:NQ2EG=NAEO,

：./\Q2GE^/\AOE,

.Q2GEGQGEG

??-----=—,即---2---=—,

AOOE21

Q2G=2EG,

VZQ2DG=45°,NQ2Go=90°,

???/OQG=N02OG=45°,

:?DG=Q2G=2EG,

:.ED=EG+DG=3EG,

由①可知，ED=2瓜

.,.3EG=2后

._275

..EG-—,

.4；5

??Qn2Gr=

■-EQ2=JEG2+Q2G2=孚

13

：.0Q2=OE+EQ2=學(xué)，

???(22(0，一韻，

綜上，點。的坐標(biāo)為(0.9)或(0,-印.

20.(2020?通遼)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7+bx+c與x軸交于點A,8,與y軸交于點C.且

直線y=x-6過點3,與y軸交于點。，點C與點￡＞關(guān)于x軸對稱，點尸是線段OB上一動點，過點產(chǎn)

作x軸的垂線交拋物線于點M,交直線8。于點M

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點Q,使得以Q,M,N三點為頂點的三角形是直角三角形？

若存在，直接寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【分析】(1)由一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點8、。的坐標(biāo)，再由對稱求得C點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求

拋物線的解析式；

(2)設(shè)P("?,0),則M(m，-/M2+5W+6),NCm,m-6),由三角形的面積公式求得的面積

關(guān)于〃?的二次函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的最大值的求法，求得山的值，進(jìn)而得P點的坐標(biāo)：

(3)分三種情況：M為直角頂點；N為直角頂點；。為直角頂點.分別得出。點的坐標(biāo).

【解析】(1)令y=0,得y=x-6=0,

解得x=6,

：.B(6,0),

令x=0,得y=x-6=-6,

：.D(0,-6),

:點C與點。關(guān)于x軸對稱，

：.C(0,6),

把8、C點坐標(biāo)代入y--jr+bx+c中，得

J—36+6b+c=0

(C=6，

解得，fU，

=6

???拋物線的解析式為：y=-/+5x+6；

(2)設(shè)尸(m,0),則M("?,-/n2+5w+6)>N(.m,m-6),

貝ijMN=-i^+Am+n,

：.的面積=*MN-OB=-3/n2+12/n+36---3(.m-2)2+48,

...當(dāng)〃?=2時，△M￡>3的面積最大，

此時，P點的坐標(biāo)為(2,0)；

圖1

（3）由（2）知，M（2,12）,N（2,-4）,

當(dāng)NQMN=9O°時，QM〃x軸，則。（0,12）；

當(dāng)/MNQ=90°時，N0〃x軸，則。（0,-4）；

當(dāng)/A/QN=90°時，設(shè)。（0,?）,則。加2+。祐="解，

BP4+（12-n）2+4+（〃+4）2=（12+4）2,

解得，n=4+V55,

：.Q（0,4+V55）或（0,4-V55）.

綜上，存在以Q,M,N三點為頂點的三角形是直角三角形.其Q點坐標(biāo)為（0,12）或（0,-4）或（0,

4+V55）或（0,4-V55）.

21.（2020?衢州）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的頂點A,C分別是直線），=一表+4與坐標(biāo)軸的交

點，點8的坐標(biāo)為（-2,0）,點。是邊AC上的一點，OEJL8C于點E,點F在邊AB上，且。，F(xiàn)兩

點關(guān)于)，軸上的某點成中心對稱，連結(jié)。F,EF.設(shè)點。的橫坐標(biāo)為E產(chǎn)為/,請?zhí)骄浚?/p>

①線段EF長度是否有最小值.

②△BE尸能否成為直角三角形.

小明嘗試用“觀察-猜想-驗證-應(yīng)用”的方法進(jìn)行探究，請你一起來解決問題.

(1)小明利用“幾何畫板”軟件進(jìn)行觀察，測量，得到/隨機(jī)變化的一組對應(yīng)值，并在平面直角坐標(biāo)系

中以各對應(yīng)值為坐標(biāo)描點(如圖2).請你在圖2中連線，觀察圖象特征并猜想/與機(jī)可能滿足的