函數(shù)的最大值與最小值.ppt

2.5函數(shù)的最大值與最小值 聯(lián)盛中學(xué) 劉貴有,一、復(fù)習(xí)引入,如果在x0附近的左側(cè) f/（x）0 ,右側(cè)f/(x)0 ,那么,f(x0) 是極小值.,2.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充 分條件.極值只能在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零且在其附近左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)取到.,3.在某些問題中,往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上, 哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小,而不是極值.,1.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0附近有定義,判別f(x0)是極大(小)值的方法是:,二、新課函數(shù)的最值,觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上的最大值、最小值嗎？,發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，_是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值是_。,問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,三、例題選講,例1:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小 值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,當(dāng)x變化時(shí), 的變化情況如下表:,從上表可知,最大值是13,最小值是4.,一般地，求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：,:求y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值(極大值與極小值);,:將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b) 比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.,求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):,(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)局部概 念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍 內(nèi)討論問題,是一個(gè)整體性的概念.,(2)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間(a,b)內(nèi) 的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極 值必是函數(shù)的最值.,四、實(shí)際應(yīng)用,1.實(shí)際問題中的應(yīng)用.,在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的 最大(小)值的問題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.,在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域.,在實(shí)際問題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使 的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值, 那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值. 這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.,滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.,例1:在邊長為60cm的正 方形鐵皮的四角切去相等 的正方形,再把它的邊沿虛 線折起(如圖),做成一個(gè)無 蓋的方底箱子,箱底邊長為 多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?,解:設(shè)箱底邊長為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.,答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.,類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底半徑 應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?,解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,則,令 ,解得 ,從而 ,即h=2r.,由于S(r)只有一個(gè)極值,所以它是最小值.,答:當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí),所用的材料最省.,練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓 錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).,答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3 時(shí), 圓柱體的體積最大.,2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用.,解:設(shè)B(x,0)(0x2), 則 A(x, 4x-x2).,從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積 為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以當(dāng) 時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為 時(shí),矩形的最大面積是,五、小結(jié),1.求在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在a,b上的 最值的步驟: (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè) 是最大值,最小的一個(gè)是最小值.,2.求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):,(1)要正確區(qū)分極值與最值這兩個(gè)概念.,(2)在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)未 必有最大值與最小值.,(3)一旦給出的函數(shù)在(a,b)上有個(gè)別不可導(dǎo)點(diǎn)的話,不 要忘記在步驟(2)中,要把這些點(diǎn)的函數(shù)值與各極值 和f(a)、f(b)放在一起比較.,3.應(yīng)用問題要引起重視.,(1)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在求函數(shù)的值域、 不等式的證明及解法中有廣泛的作用。,(2)在