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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：丁**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：江蘇 上傳時(shí)間：2024-10-31 格式：DOCX 頁數(shù)：20 大小：2.88MB 積分：15 舉報(bào) 版權(quán)申訴

第20講平面向量的概念及線性運(yùn)算（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第14題,5分平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示2023年天津卷，第14題,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線(平行)求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握向量的概念，能夠熟練使用三角形法則與平行四邊形法則2.能掌握向量共線的性質(zhì)3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助建系解決線性表示與共線的問題4.會(huì)利用共線定理解決含參問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，運(yùn)用三角形的加減法法則進(jìn)行線性表示，以及求參。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一．向量的有關(guān)概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2.零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．3.單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量．4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量共線．5.相等向量：長度相等且方向相同的向量．6.相反向量：長度相等且方向相反的向量．[注意]1.向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向．2.任意向量a的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即|a|≥0.知識(shí)點(diǎn)二．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb知識(shí)點(diǎn)三．向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa．知識(shí)點(diǎn)四.向量的常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.考點(diǎn)一、平面向量的概念1.（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若a=b，則a=b BC．若a=b，則a//b D．若【答案】C【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.【詳解】對(duì)于A：若a=b，則a,對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若a=b，則a,對(duì)于D：若a//b,b//c，如果b故選：C.2.（22-23高三上·福建廈門·開學(xué)考試）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若a，b都為非零向量，則使aa+bb=D．若a=b，b【答案】A【分析】AB選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)閍a與bb都是單位向量，所以只有當(dāng)aa與bb是相反向量，即a與b是反向共線時(shí)D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.故選：A1.（2018高三·全國·專題練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③若λa=0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa=μb，則a與A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】運(yùn)用向量定義、模、共線向量的定義及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可判斷.【詳解】①錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).②正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.③錯(cuò)誤.因?yàn)棣薬=0，所以λ=0④錯(cuò)誤.當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa=μb，此時(shí)，a與所以錯(cuò)誤命題有3個(gè).故選：C.2.（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B3.（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量.【答案】【分析】利用與共線且方向相反的單位向量為，即可得出答案.【詳解】，，所以與共線且方向相反的單位向量是：.故答案為：考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算1.（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖（1）是八卦模型圖，將其簡化成圖（2）的正八邊形ABCDEFGH，若AB=1，則AB-DB=

A．2 B．3C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理，計(jì)算出OA的值，根據(jù)向量運(yùn)算，把AB-DB化成AD【詳解】

在△AOB中，設(shè)OA=OB=x，∠AOB=45°，則x2+x所以AB-故選：D.2.（2024·四川·模擬預(yù)測）已知非零平面向量a，b，那么“a=μb”是“a+bA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】在向量a,若a+b=即有|a|2又a?b=又a,b∈0,π，所以a即“a=μb”是“a若a=μb，則a,b共線，但所以由a=μb推不出綜上所述，“a=μb”是“a故選：B．1.（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，AE=2EC,A．AF=13C．AF=56【答案】C【分析】運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，結(jié)合線性運(yùn)算法則解題即可.【詳解】如圖，由題意AE=2EC,可知AE=所以AF=12故選：C．2.（2019高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則AF=（

A．34AB+C．12AB+【答案】D【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，所以AF=故選：D.3.（2024·山西呂梁·三模）已知等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，若DF=3EF，則AF=A．12AB+C．12AB+【答案】B【分析】取AC,AB【詳解】在△ABC中，取AC,則AC=因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，DF=3所以EF=所以AF=故選：B.4.（2024·廣東汕頭·三模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE=2EC，DF=FC，則A．-12ABC．-13AB【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量求解即得.【詳解】在?ABCD中，由BE=2EC，得EF=故選：A5.（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，若GM=λAB+μAC，則A．112 B．16 C．-1【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡GM=λAB+μAC【詳解】GM=13所以λ=-1故選：C考點(diǎn)三、向量共線定理的應(yīng)用1.（2024·河北·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A,B,C是直線l上相異的三點(diǎn)，O為直線l外一點(diǎn)，且2OA=3OB+λOCA．-1 B．1 C．-12 D【答案】A【分析】化簡得OA=32OB【詳解】2OA=3OB因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C是直線l上相異的三點(diǎn)，則點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線，則32+λ故選：A.2.（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，命題甲：向量ta+b與a-2b共線；命題乙A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】對(duì)于命題甲，可設(shè)ta+b則t=λ1=-2λ，所以t=λ=-對(duì)于命題乙，t=-12時(shí)，ta+b=-故甲是乙的充要條件.故選：C.1.（2024·廣東·二模）已知向量a與b能作為平面向量的一組基底，若a+kb與k+1a+b共線（k∈A．-1+52 B．-1±52 C．【答案】B【分析】引入?yún)?shù)λ，由平面向量基本定理建立方程組即可求解.【詳解】若a+kb與k+1a因?yàn)橄蛄縜與b能作為平面向量的一組基底，所以1=λk+1k=λ，所以k2故選：B.2.（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量e1，e2是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三點(diǎn)共線 B．A、B、D三點(diǎn)共線C．A、C、D三點(diǎn)共線 D．B、C、D三點(diǎn)共線【答案】C【分析】根據(jù)向量a,b共線則a【詳解】對(duì)A，因?yàn)锳B=e1+2e2，BC=-3e1+2e2，不存在實(shí)數(shù)對(duì)B，因?yàn)锳B=e1+2e2，DA=3e1-6e2，不存在實(shí)數(shù)對(duì)C，因?yàn)锳C=AB+BC=-2e1+4e2，DA=3對(duì)D，因?yàn)锽C=-3e1+2e2，BD=-DA-AB=DA=-3e故選：C3.（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）在△ABC中，BD=2DC，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB、AC于點(diǎn)E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中A．2 B．2 C．3 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意以AB,AC為基底表示出AD，再根據(jù)E,F,D三點(diǎn)共線，利用共線定理可得13m+23n【詳解】如下圖所示：因?yàn)锽D=2DC，易知又AE=mAB,易知E,F,D三點(diǎn)共線，利用共線定理可得13m又m>0，n>0，所以m+2n=m+2n當(dāng)且僅當(dāng)2m3n=2n所以m+2n的最小值為3.故選：C4.（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，直線l分別與AB,AD,AC交于點(diǎn)M,E,N，且AB=43AM，AE=2A．85 B．53 C．74【答案】B【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，利用AM,AN表示AE【詳解】由AE=2ED，得因?yàn)镸,E,N共線，所以49+λ故選：B.5.（2021·江西新余·模擬預(yù)測）如圖，在三角形OPQ中，M、N分別是邊OP、OQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R在直線MN上，且OR=xOP+yOQ（x，y∈RA．22 B．26 C．24【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合共線向量定理的推論可得2x+2y=1，再消元借助二次函數(shù)求出最小值.【詳解】由M、N分別是邊OP、OQ的中點(diǎn)，得OP=2OM,于是OR=2xOM+2yON，又點(diǎn)R在直線MN上，因此則x2所以當(dāng)x=14時(shí)，x2故選：C1．（21-22高三上·山東煙臺(tái)·開學(xué)考試）O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+A．外心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．重心【答案】D【分析】取線段BC的中點(diǎn)E，則AB+AC=2AE【詳解】取線段BC的中點(diǎn)E，則AB+動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+λ(則OP-OA=2λAE，即又AP∩AE=A，所以A,E,P三點(diǎn)共線，則直線AP一定通過△ABC的重心.故選：D.2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AC的中點(diǎn)，則AM=（

A．-BN+2C．-BN+5【答案】D【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算可得.【詳解】作出圖形如圖，則BN=所以AM=AB+故選：D．3．（2020·天津河?xùn)|·模擬預(yù)測）對(duì)于非零向量a、b，“2a=b”是“a，b共線”A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用向量共線定理以及充分條件、必要條件的定義即可求解.【詳解】由2a=b，則a非零向量a、b，當(dāng)a，b共線時(shí)，則b=λa故“2a=b”是“a，b共線故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義、向量共線定理，理解充分條件、必要條件的定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．（23-24高三上·天津紅橋·階段練習(xí)）已知向量b=-3,1，則與b方向相反的單位向量是【答案】(【分析】利用給定向量，結(jié)合單位向量的意義求解.【詳解】向量b=-3,1，則與b方向相反的單位向量是故答案為：(5．（2022·天津河北·模擬預(yù)測）若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：AM=35AB+25AC【答案】25【分析】根據(jù)給定的向量等式，確定點(diǎn)M的位置，再借助面積關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】因AM=35AB+于是得點(diǎn)M在邊BC上，并且|BM|=2所以△ABM與△ABC的面積之比為25故答案為：26．（21-22高三上·山東日照·開學(xué)考試）在三角形OAB中，點(diǎn)P為邊AB上的一點(diǎn)，且AP=2PB，點(diǎn)Q為直線OP上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)O和點(diǎn)Q不重合），且滿足OQ=λ1【答案】1【分析】以O(shè)A,OB為基底，其他向量用基底表示后，結(jié)合【詳解】由已知OP=OA+OQ,OP共線，所以λ1故答案為：121．（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）△ABC是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若AF=3EF，AF=3，且AF=λABA．1519 B．619 C．919【答案】A【分析】由向量加減、數(shù)乘幾何意義用AB,AC表示出AF【詳解】由題設(shè)AF==AB所以1927AF=又AF=λAB+μAC故選：A2．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）在△ABC中，設(shè)，AB=a,AC=b，其夾角設(shè)為θ，平面上點(diǎn)D,E滿足AD=2AB，AE=3AC，BE,DC交于點(diǎn)O，則AO用a【答案】AO=4【分析】由D,O,C和B,O,E三點(diǎn)共線，得到AO=2ta+(1-t)b和AO?=ua?+(3-3u)b?，得出方程組2t=u1-t=3-3u【詳解】因?yàn)镈,O,C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)t使得AO=t又因?yàn)锽,O,E三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)u使得AO?可得2t=u1-t=3-3u，解得t=25由DE=因?yàn)锳O?可得(45a可得48ab又因?yàn)?0a所以cosθ=當(dāng)且僅當(dāng)20a2=9所以cosθ的最小值為5故答案為：AO?3．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱.（i）請(qǐng)用MA,MB表示MO=；（ii）請(qǐng)寫出MA?【答案】12MA【分析】（i）根據(jù)向量線性運(yùn)算可直接得到結(jié)果；（ii）根據(jù)向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，可將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為MO2-4；根據(jù)正六邊形性質(zhì)可求得MO【詳解】（i）∵A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，∴O為AB中點(diǎn)，∴MO（ii）MA?MB=當(dāng)M為正六邊形頂點(diǎn)時(shí)，MO取得最大值；當(dāng)OM與正六邊形的邊垂直時(shí)，MO取得最小值；∵六邊形為正六邊形，∴△ODE為正三角形，∴MO作OF⊥DE，則F為DE中點(diǎn)，∴MO∴MO2-4∈8,12，即故答案為：12MA+4．（23-24高三上·天津河西·期末）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，AB=2AE，AF=λACλ>0，EF=2EM，且【答案】32【分析】根據(jù)平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積定義及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)锳B=2AE，AF=λ所以AM=又AM=72，在△ABC中，∠BAC=所以AC?AM2即2λ2-λ-3=0，解得λ=故λ的值為：32又BF=BA+BF

=1+故BF?CE的值為：故答案為：35．（23-24高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD與BE交于點(diǎn)P，AB=2，AC=4，用AB和AC表示AP，則AP=；過點(diǎn)P的直線l交AB，AC于點(diǎn)M，N，設(shè)AM=mAB【答案】25AB【分析】選取向量AB,AC為基底，利用向量線性運(yùn)算把AP用基底表示出來即可；用AM,AN【詳解】如圖：在△ABC中，AD=12AB，則AP=由D,P,C三點(diǎn)共線，得2-2λ+λ3=1，解得λ=因?yàn)锳M=mAB，AN=nAC，而M,P,N三點(diǎn)共線，因此25m+=15(3+2nm所以當(dāng)m=2+25,n=1+故答案為：25AB6．（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD與BE交于點(diǎn)P，AB=2，AC=4，AP?BC=2，則AB?AC的值為；過點(diǎn)P