北京版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第十八章相似形》單元測(cè)試卷（附答案）

第第頁北京版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第十八章相似形》單元測(cè)試卷（附答案）一、單選題(共10題；共40分)1．（4分）若a：b＝2：3，則下列各式中正確的式子是（）A．2a＝3b B．3a＝2b C． D．2．（4分）已知是線段AB的黃金分割點(diǎn))，則下列結(jié)論中，正確的有（）.①；②；③A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．（4分）如圖，下列條件：①；②；③；④；其中單獨(dú)能夠判定的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（4分）如圖是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A． B．2 C． D．55．（4分）如圖，身高1.6米的小慧同學(xué)從一盞路燈下的B處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE的長是2米，則路燈AB的高為（）A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米6．（4分）如圖，在矩形中，，．對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．7．（4分）可以判定△ABC∽△A'B'C'的條件是（）A．∠A=∠A' B．，且∠C=∠C'C． D．，且∠B=∠B'8．（4分）如圖，已知，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，正方形中，點(diǎn)E，G是的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F，H是的三等分點(diǎn)．記陰影部分面積為，正方形面積為，則的值為（）A． B． C． D．10．（4分）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上任意點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接相交于點(diǎn)G，連接與相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①；②的大小為定值；③與一定不垂直；④若，則，其中正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④二、填空題(共4題；共20分)11．（5分）如圖，在中．、分別是、上的點(diǎn)，，且．則．12．（5分）如圖，美術(shù)素描課堂上有很多關(guān)于黃金分割比的元素，比如臉部素描就需要考慮黃金分割比的問題，按照如下要求作出的人臉圖像比較美觀：（1）眉頭、眼頭、鼻翼在一條豎直直線上；（2）眉頭和眉峰的水平距離（圖中直線①和直線②的距離）和眼長大致相等（設(shè)此長度為a），眉頭和眉尾的水平距離（圖中直線①和直線③的距離）設(shè)為b，a與b的比例為黃金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直線上．某同學(xué)按照以上要求進(jìn)行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距離為，則眼梢到鼻翼的距離為．（，結(jié)果保留兩位小數(shù)）13．（5分）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)．若，則的長是．14．（5分）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接、，分別交、于點(diǎn)P、Q，過點(diǎn)P作交的延長線于F，下列結(jié)論：①，②，③，④若四邊形的面積為4，則該正方形的面積為36，⑤．其中正確的結(jié)論有．三、解答題(共4題；共32分)15．（8分）如圖，一位同學(xué)通過調(diào)整自己的位置，設(shè)法使三角板的斜邊保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知兩條邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測(cè)得邊DF離地面AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高．16．（8分）如圖，點(diǎn)分別在三邊上，且，．（1）（4分）求的長；（2）（4分）若的面積為4，求四邊形的面積．17．（8分）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，．

（1）（4分）求證：；（2）（4分）若，，求的長．18．（8分）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，點(diǎn)E在線段BA的延長線上，聯(lián)結(jié)DE，交AC于點(diǎn)G，且∠E＝∠C．（1）（4分）求證：AD2＝AF?AB；（2）（4分）求證：AD?BE＝DE?AB．四、綜合題(共5題；共48分)19．（10分）如圖，已知是等邊三角形，分別是邊上的點(diǎn)，且．在的延長線上取點(diǎn)F，使得，聯(lián)結(jié)．（1）（5分）求證：；（2）（5分）求證：．20．（12分）如圖，在△ABC中，BD是△ABC的角平分線，且∠ABC＝2∠C.（1）（6分） 求證：△ABC∽△ADB.

（2）（6分） 已知AB＝5，AD＝4，求BD.

21．（12分）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）（6分）求證：DE=BD+CE；（2）（6分）若AD=3，BD=CE=2，求BC的值．22．（14分）（1）（6分）【問題探究】

如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，EF⊥AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為邊CD上一點(diǎn)，連接AG，過點(diǎn)E作EH⊥AG于點(diǎn)P，交AD于點(diǎn)H，求證：△EFH∽△ADG；（2）（8分）【問題解決】

如圖②，矩形ABCD為某開發(fā)區(qū)的一片空地，點(diǎn)E、F分別為邊CD、BC上的點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，AD=2AB=480米，DE=200米，開發(fā)商現(xiàn)欲在AD邊上找一點(diǎn)G，使得四邊形AGEF的面積為67600平方米，設(shè)計(jì)人員的設(shè)計(jì)過程如下：①以點(diǎn)F為圓心，任意長為半徑畫弧，交AE于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③連接FP并延長，分別交AE、AD于點(diǎn)H、G．請(qǐng)問：若按上述作法，得到的點(diǎn)G是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．參考答案1．【答案】B2．【答案】C【解析】【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（PA＞PB），

∴PA2=PB·AB，故①正確；

∴，故②錯(cuò)誤

∴PA2=PB·（PA+PB）

解之：即，故③正確；

∴正確結(jié)論有2個(gè).

故答案為：C.

【分析】利用黃金分割點(diǎn)可知PA2=PB·AB，可對(duì)①②作出判斷；由此可推出PA2=PB·（PA+PB），解方程可得到PB與PA的比值，可對(duì)③作出判斷；綜上所述可得到正確結(jié)論的個(gè)數(shù).3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C【解析】【解答】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CDAB，則BE＝BC+CE＝10米，∵CDAB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝8（米），即路燈的高AB為8米．故答案為：C．

【分析】先證明△ECD∽△EBA，再利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，再將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可。6．【答案】C7．【答案】C【解析】【解答】解：∵兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，

∴當(dāng)∠A=∠A'，∠B=∠B'或∠A=∠A'，∠C=∠C'或∠B=∠B'，∠C=∠C'時(shí)，△ABC∽△A'B'C'；A選項(xiàng)不符合題意；

∵兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，

∴當(dāng)∠A=∠A'，或∠B=∠B'，或∠C=∠C'，時(shí)，△ABC∽△A'B'C'；B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意；

∵三邊成比例的兩個(gè)三角形相似，

∴當(dāng)時(shí)，△ABC∽△A'B'C'；C選項(xiàng)符合題意；故答案為：C.【分析】根據(jù)兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；進(jìn)行分析即可求解.8．【答案】D【解析】【解答】解：，，，故A不符合題意；，故D符合題意；根據(jù)平行線分線段成比例定理無法判定B，C，故答案為：D．【分析】根據(jù)，，再結(jié)合圖形對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。9．【答案】D10．【答案】B【解析】【解答】解：①∵四邊形ABCD是菱形.∴，又，∴，∴是等邊三角形，∴，在與中，，∴，∴，∴①符合題意；②由①得，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴②符合題意；③當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB、AD中點(diǎn)時(shí)，由（1）知，△ABD為等邊三角形，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是中點(diǎn)，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴③不符合題意；④過點(diǎn)F作FP∥AE交DE于P點(diǎn)，如圖，∴△DPF∽△DEA，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，

∴△FPG∽△BEG，∴，即，故本選項(xiàng)符合題意：∴正確的結(jié)論是①②④.故答案為：B.【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)并結(jié)合已知易得△ABD是等邊三角形，則∠A=∠ADB=60°，從而利用SAS判斷出△AED≌△DFB，得DE=BF，∠ADE=∠DBF，進(jìn)而根據(jù)三角形外角性質(zhì)及等量代換得∠BGE=60°，據(jù)此可判斷①與②；當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB、AD中點(diǎn)時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)得∠BDE=∠DBG=30°，由等角對(duì)等邊得DG=BG，從而用SSS判斷出△GDC≌△GBC，得∠DCG=∠BCG，根據(jù)等邊三角形的三線合一得CH⊥BD，即CG⊥BD，據(jù)此可判斷③；過點(diǎn)F作FP∥AE交DE于P點(diǎn)，推出△DPF∽△DEA，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例及菱形的性質(zhì)可推出BE=2AE，再證出△FPG∽△BEG，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出BG=6GF，據(jù)此可判斷④.11．【答案】【解析】【解答】解：∵，，

∴，

故答案為：

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合題意即可求解。12．【答案】3.2413．【答案】614．【答案】①②③⑤15．【答案】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴，∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴，∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．答：樹高為5.5米．【解析】【分析】根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似得△DEF∽△DCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，求得CB，再加上AC即可.16．【答案】（1）解：，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，且，，，，∴．【解析】【分析】（1）利用平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，再結(jié)合BC的長求出BF的長，最后利用線段的和差求出CF的長即可；

（2）先證出可得，再求出，再證出可得，再求出，最后利用割補(bǔ)法求出即可.17．【答案】（1）證明：，，

；（2）解：，

，

，，

．【解析】【分析】（1）直接利用三角形相似的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形時(shí)相似三角形，即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求解.18．【答案】（1）證明：AD平分∠BAC，DF//BE，，（2）證明：又≌【解析】【分析】（1）由AD平分∠BAC，可得到結(jié)合已知條件可得再由DF//BE，進(jìn)一步證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）由可證明進(jìn)一步得到結(jié)合條件可證明≌利用全等三角形的性質(zhì)得到利用等量代換即可求解.19．【答案】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴；（2）證明：如圖，聯(lián)結(jié)，∵，且，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．【解析】【分析】（1）先證出，可得，再結(jié)合，，求出即可；

（2）連接AF，先證出，可得，再結(jié)合，，求出，即可得到。20．【答案】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠ABC，∴∠C＝∠ABD，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB.（2）解：∵△ABC∽△ADB，

∴，∵AB＝5，AD＝4，∴AC＝＝，∴CD＝AC﹣AD＝﹣4＝，∵∠DBC＝∠ABC，∠C＝∠ABC，∴∠DBC＝∠C，∴BD＝CD＝，∴BD的長為.

【解析】【分析】（1）由角平分線定義得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，再由∠ABC＝2∠C，進(jìn)而得∠C＝∠ABD，再結(jié)合∠A為公共角，即可證明△ABC∽△ADB；

（2）根據(jù)三角形相似性質(zhì)得，求得AC=，進(jìn)而求得CD=；由∠DBC＝∠ABC，∠C＝∠ABC，得∠DBC＝∠C，進(jìn)而得BD＝CD，即可求出BD的長.21．【答案】（1）證明：∵在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC；（2）解：∵BD=CE=2，∴由（1）可知，DE=BD+EC=4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴．【解析】【分析】（1）先證明∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，可得DB=DO，OE=EC，再利用線段的和差及等量代換可得答案；

（2）先證明△ADE∽△ABC，可得，即，再求出即可。22．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°．∵EH⊥AG于點(diǎn)P，

∴∠HPA=90°，∴∠D=∠HPA=90°，

∴．又∵∠EFH=∠ADG=90°，

∴△EFH∽△ADG；（2）解：得到的點(diǎn)G符合要求，理由如下：過點(diǎn)F作FK⊥AD于點(diǎn)K，如圖②．∴∠AKF=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABF=∠BAK=∠AKF=90°，

∴四邊形ABFK是矩形，

∴FK=AB．∵AD=2AB=480米，DE=200米，

∴FK=AB=240米，米．由作圖過程可知，F(xiàn)G⊥AE于點(diǎn)H，即∠AHG=90°，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，∴．又∵∠FKG=∠D=90°，

∴△FKG∽△ADE．

∵，

∴，即，

解得FG=260米，∴（平方米），∴得到的點(diǎn)G符合