廣東省部分學校2025屆高三上學期10月份聯考數學試題（含解析）

2025屆高三年級10月份聯考數學試題本試卷共4頁，19題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．在中，為邊上靠近點的三等分點，為線段（含端點）上一動點，若，則（）A． B． C． D．6．設等比數列的前項和為，且，則（）A．243 B．244 C．81 D．827．在四面體中，，且四面體的各個頂點均在球的表面上，則球的體積為（）A． B． C． D．8．設曲線，過點的直線與交于兩點，線段的垂直平分線分別交直線和于點，若，則的斜率可以為（）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知曲線，則（）A．的焦點在軸上 B．的短半軸長為2C．的右焦點坐標為 D．的離心率為10．已知正數滿足，則（）A． B． C． D．11．已知定義在上且不恒為0的函數對任意，有，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則（）A．的圖象存在對稱軸 B．的圖象有且僅有一個對稱中心C．是單調函數 D．為一次函數且表達式不唯一三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．樣本數據的極差和第75百分位數分別為______．13．已知函數在區(qū)間上有且僅有1個零點，則最小正周期的最小值為______．14．已知數列中，，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）仙人掌別名老鴉舌，神仙掌，這一獨特的仙人掌科草本植物，以其頑強的生命力和獨特的形態(tài)在自然界中獨樹一幟，以其形似并攏手指的手掌，且?guī)в写痰奶卣鞫妹扇苏撇粌H具有極高的觀賞價值，還具有一定的藥用價值，被譽為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分進行儲藏來提高生存能力，我國某農業(yè)大學植物研究所相關人員為了解仙人掌的植株高度y（單位：cm），與其根莖長度x（單位：cm）之間是否存在線性相關的關系，通過采樣和數據記錄得到如下數據：樣本編號1234根莖長度10121416植株高度6286112132參考數據：．（1）由上表數據計算相關系數，并說明是否可用線性回歸模型擬合與的關系（若，則可用線性回歸模型擬合，計算結果精確到0.001）；（2）求關于的線性回歸方程。附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關系數的公式分別為．16．（本小題滿分15分）已知中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．17．（本小題滿分15分）如圖，五面體中，底面四邊形為邊長為4的正方形，．（1）證明：；（2）已知為線段的中點，點在平面上的投影恰為線段的中點，直線與平面所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數．（1）當時，求的最小值；（2）當時，求零點的個數；（3）當時，，求的取值范圍．19．（本小題滿分17分）現定義：若對于集合滿足：對任意，都有，則稱是可分比集合．（1）證明：是可分比集合；（2）設集合均為可分比集合，且，求正整數的最大值；（3）探究是否存在正整數，對于任意正整數，均存在可分比集合，使得．若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．

2025屆高三年級10月份聯考數學參考答案及解析一、選擇題1．D【解析】由題意可知，故．故選D．2．A【解析】因為，故，故．故選A．3．D【解析】由，故．故選D．4．C【解析】因為，所以，所以，故，解得．故選C．5．B【解析】當不重合時，，即，當重合時，，故，只有B始終成立．故選B．6．B【解析】由等比數列性質可得，設的公比為，則，故．故選B．7．C【解析】如圖，取的中點為，則，連接，則，因為，所以，所以，又，且平面平面，所以平面，又為直角三角形的外心，所以球心在上，設球的半徑為，則在中，，即，解得，所以球的體積為．故選C．8．D【解析】因為曲線，所以是雙曲線的右支，其焦點為，漸近線為．由題意，設，且（故A選項可排除），聯立得，所以的斜率為，．因為，所以，解得．故選D．二、選擇題9．BCD【解析】設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，由題意可得橢圓的標準方程為，所以橢圓的焦點在軸上，故A錯誤；且，故其右焦點坐標為，故B，C正確；橢圓的離心率，故D正確．故選BCD．10．AC【解析】由題意可得，令函數，易知在上單調遞增，由可得，即可得；因此，故，故A正確；取，則，則，故B、D錯誤；因為，由指數函數單調性可知，故C正確。故選AC．11．AC【解析】若時，，則令時，有，同理，令有，兩式相減可得，故，這與假設矛盾，故若時，必有，即是單調函數，C正確；用替換，則等價于，互換后上式等價于，則，令，分別有和，兩式相減則可得，即，設，，則，代入原條件解得，故，解得，即存在唯一表達式，D錯誤；由表達式可知存在無數條對稱軸，且有無數個對稱中心，A正確，B錯誤．故選AC．三、填空題12．18，83.5（填對一個給3分，兩個均正確給5分，順序填錯不得分）【解析】將這組數據從小到大排列為：72，74，77，79，80，82，85，90，共8個，極差為，因為，所以這組數據的第75百分位數為．故答案為．13．【解析】因為當時，，因為在區(qū)間上只有1個零點，故，解得，故最小正周期的最小值為，故答案為．14．1024【解析】由題意得．故，且經檢驗滿足該通項公式，故．故答案為1024。四、解答題15．解：（1）易得，，故．則，故可用線性回歸模型模擬．（2），，故線性回歸方程為．16．解：（1）由正弦定理及倍角公式得，得，即，故．（2）由余弦定理可得，解得，當且僅當時取等號，的面積．故面積的最大值為．17．證明：（1）因為四邊形是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又平面平面平面，所以．（2）記的中點為的中點為上靠近點的四等分點為，連接，則有平面，又平面，所以，故兩兩相互垂直，以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為直線與平面所成的角為，，所以，得，由題意得，，，所以．設平面的一個法向量，則即令，則，故．設直線與平面所成的角為，則．18．解：（1）時，此時，，令，解得，（1分）當時，單調遞減，當時，單調遞增，故有唯一極小值點即為最小值點．則．（2）解法一：令，則，①當時，，則，②當時，，③當時，，當時，，當時，，即為的一個零點，綜上所述，共有2個零點．解法二：令，則或，即或，因為時，，故，故有兩個零點。（3）時，等號兩邊成立，滿足題意，令①當時，，不符合題意；②當時，，不符合題意；③當時，，則必然存在使得，即在上單調遞減，而，則在上為負，不符合題意；④當時，，不符合題意；⑤當時，首先應當滿足，即，令，則在該定義域內恒成立，即單調遞增，又注意到，至此，我們得到了滿足題意的一個必要條件．下面我們證明其充分性：記，即對于一個給定的單調遞增，從而證明的情形即可，此時，令，，解得，得到在上單調遞減，上單調遞增，又可知為的極小值點，又可知對任意恒成立，充分性證畢，綜上所述，的取值范圍是．19．解：（1）當分子比分母小時，比值小于1，顯然不在區(qū)間內，當分子比分母大時，由于，，故是可