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23.3相似三角形第23章圖形的相似23.3.2相似三角形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2由角的關(guān)系判定三角形相似由邊角關(guān)系判定三角形相似由三邊關(guān)系判定三角形相似知識(shí)點(diǎn)由角的關(guān)系判定三角形相似知1-講11.相似三角形的判定定理1
兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.特別地,兩個(gè)直角三角形,若有一對(duì)銳角相等,則它們一定相似.數(shù)學(xué)語(yǔ)言:如圖23.3-9,在△ABC和△DEF中,∵∠A=∠D,且∠B=∠E,∴△ABC∽△DEF.知1-講特別提醒由兩組角分別相等判定兩個(gè)三角形相似,其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般地,相等的角是對(duì)應(yīng)角.如:公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)等都是相等的角,解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知1-講2.常見(jiàn)的相似三角形的類型(1)平行線型:如圖23.3-10①,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC.(2)斜交線型:如圖23.3-10②,若∠AED=∠B,則△AED∽△ABC.知1-講(3)子母型:如圖23.3-10③,若∠ACD=∠B,則△ACD∽△ABC.(4)“K”型:如圖23.3-10④,若∠A=∠D=∠BCE=90°,則△ACB∽△DEC,整體像一個(gè)橫放的字母K,所以稱為“K”型相似.知1-練例1如圖23.3-11,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:△ABF∽△CAF.知1-練解題秘方:緊扣“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明,由于∠BFA是公共角,因此只需利用圖形的相關(guān)性質(zhì)說(shuō)明∠B=∠4即可證明.知1-練證明:∵EF垂直平分AD,∴AF=DF.∴∠FAD=∠3.又∵∠B=∠3-∠1,∠4=∠FAD-∠2,∠1=∠2,∴∠B=∠4.又∵∠BFA=∠AFC,∴△ABF∽△CAF.知1-練1-1.[中考·菏澤]如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是邊AC上一點(diǎn),且BE=BC,過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證:△ADE∽△ABC.知1-練證明:∵BE=BC,∴∠C=∠BEC.又∵∠BEC=∠AED,∴∠AED=∠C.∵AD⊥BD,∴∠D=90°.又∵∠ABC=90°,∴∠D=∠ABC.
∴△ADE∽△ABC.知2-講知識(shí)點(diǎn)由邊角關(guān)系判定三角形相似2
知2-講特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí),一定要注意邊角的關(guān)系,相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS方法.知2-練如圖23.3-13,在正方形ABCD中,P是BC上一點(diǎn),且BP=3PC,Q是CD的中點(diǎn).求證:△ADQ∽△QCP.例2解題秘方:緊扣“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”證明.知2-練
知2-練2-1.如圖,在△ABC中,D,E分別在AB與AC上,且AD=5,DB=7,AE=6,EC=4.求證:△ADE∽△ACB.知2-練知3-講知識(shí)點(diǎn)由三邊關(guān)系判定三角形相似3
知3-講特別提醒●由三邊成比例判定兩三角形相似的方法與三邊對(duì)應(yīng)相等判定三角形全等的方法類似,只需把三邊對(duì)應(yīng)相等改為三邊成比例即可.●應(yīng)用時(shí)要注意比的順序性,即分子為同一個(gè)三角形的三邊,分母為另一個(gè)三角形的三邊,同時(shí)要注意邊的對(duì)應(yīng)情況.知3-練圖23.3-15與圖23.3-16中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則圖23.3-16中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖23.3-15中的△ABC相似?例3知3-練解題秘方:利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求各邊的長(zhǎng),緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”判斷.知3-練
知3-練
知3-練3-1.如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上.(1)填空:∠ABC=
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