【數(shù)列極限的求解方法及其應(yīng)用探究（論文）8900字】

]：數(shù)列收斂的充要條件是對?ε>0，總存在自然數(shù)，使當都大于,都有an?am<ε.上述定義中，我們需要注意到的一個問題是，在實數(shù)域中，該準則只是數(shù)列極限的一個充分不必要條件。在運用柯西收斂準則求極限時，我們可以不用確定該數(shù)列的極限是否存在，它在理論上就可以大致反映出數(shù)列極限的存在問題，通過分析，我們可以知道：對于一個收斂的數(shù)列來看，收斂數(shù)列的各項值越到后面，各項便越是接近，直至達到這樣一種收斂的狀態(tài)，也就是后面的任何兩項之差的絕對值都可小于給定的一個任意正數(shù)，所以，我們在使用該準則時，首先可以用該準則判斷所給的數(shù)列的收斂性，如果可以證明最好給出相應(yīng)的證明，最后在考慮求解該數(shù)列的極限。在實數(shù)域中，我們經(jīng)常運用到下面六個基本定理，即確界定理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，聚點定理，柯西收斂準則，我們只要知道任意一個定理，就可以推出另外的五個定理。因此，柯西收斂準則在求取數(shù)列極限的方式上與單調(diào)有界定理求取數(shù)列極限有相似之處，即都是先要確定數(shù)列的極限是存在的，再利用相應(yīng)的定理去求解它。在這里，我們需要注意一點，有的數(shù)列的極限不一定存在，即數(shù)列的極限可能不是一個具體的數(shù)值，但是，當我們在運用柯西收斂準則時，我們就能夠很容易的判斷出數(shù)列是否收斂或者發(fā)散，這樣的話，我們就可以知道該數(shù)列存在與否。下面我們來看看在下列題型中如何應(yīng)用柯西收斂準則在數(shù)列中的計算。例1.用柯西收斂準則證明收斂.先來分析這個例題，顯然我們經(jīng)過其它的一些方法來嘗試證明其收斂時，都無法解答，由此我們想到了用柯西收斂準則來進行證明，但在使用該準則進行證明時，柯西收斂的準則的要求是對?ε>0，總存在自然數(shù)，使得都大于,都有an?am<ε當時，此題的問題就得以證明了，下面是其具體的證明過程：證明：對?ε>0，取則對?n≥m>N,有而由知，故由柯西收斂準則可知數(shù)列收斂。4.3數(shù)列極限在幾何問題中的應(yīng)用4.3.1利用極限法求解圓的面積在我國古代劉徽發(fā)現(xiàn)了在《九章算術(shù)》中“周三徑一”的方法來計算圓周沒有精準度，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)來計算圓的面積，這個方法是劉徽利用逐步二分的方法來分割圓周，最后來求圓的面積。首先他是把這個圓周平均的分成了6份，再連接各個頂點以后構(gòu)成了圓內(nèi)接正六邊形，又接著把這6段相等的圓弧又均等的分為了兩份，這就便形成了圓的正十二邊形，照這樣下去，就會割得越來越細，正多邊形和圓周的誤差就會越來越小，直到和圓的周長重合，這就是“割圓術(shù)”具體做法，其實這也就是極限中的思想，在具體的求解過程中實際上也就是得到了這樣的一組數(shù)列：S6為了簡便計算可以設(shè)圓的半徑為，圓內(nèi)接的一個正邊形中它的任意一條邊所對應(yīng)的圓心角為，我們可以先算出其中的一個三角形的面積（用三角形求面積的兩邊夾角的其中一個公式，即:），然后就可以得到這個正六邊形的面積，面積如下：.當無限的增大時，經(jīng)過了無數(shù)次的切割之后，這個內(nèi)接正邊形的形狀就會無限的接近于圓的形狀，這個時候它的面積也是在無限的接近于圓的面積。也即就是用有限的去表示無限的思想，無論這個有多么的大，很明顯得到的結(jié)果其實也就是一個近似值，但是隨著無限增大的時候，我們就可以得到了圓面積的一個精確值，得到的正是我們想要的結(jié)果，這也是極限的思想的獨特的一點。這個極限的求法需要用到函數(shù)的極限來輔助求解，當時，有即當無限減小時，的圖像與直線是重合的，在這種情況下，我們可以用的值來代替,以在某些領(lǐng)域做近似計算，那么我們可以得到：,于是，當時，此時，即上式，則可得到圓的面積：.4.3.2利用數(shù)列極限求拋物線與直線所圍成的面積在解決下述問題的前提下，首先得知道微元法，所謂的微元法也就是將要所要研究的對象不斷的進行一個無限的細分，然后接著從其中抽取某一段微小的部分來著重進行討論和研究。再通過我們對圖像的分析，找出其中被研究對象整體變化規(guī)律的一種方法。很顯然，這種方法體現(xiàn)的就是一種極限的思想，然后通過我們所學的數(shù)學知識的思想方法來解決實際問題，其中，我們最常用的方法也就是分割，近似求和，取極限，來求解問題，最后將問題簡單化。有了這個方法，下面我們將以實例來求解這種類型的幾何問題，在解決幾何應(yīng)用問題時，我們最好通過數(shù)形結(jié)合的辦法來解決。求解此類幾何問題時，我們最好通過數(shù)形結(jié)合的辦法來解決，如求與y=0和x=1圍成的面積時，首先我們根據(jù)題意畫出相關(guān)的圖形（見圖1）。圖1在這個問題中將其在將區(qū)間等分為個小區(qū)間0,1n，1n,2n，…,n?1n,1n,以這些小區(qū)間為底邊，分別以0，1n這個小矩形的面積之和是我們不妨就定義這樣的一個數(shù)列，可以看到對于每個，它都小于需要求得的“面積”，而且這兩者之間的差別都不會大于長為1，寬為的矩形面積，也即，所以，當隨著越來越大的時候，也將會無限接近于我們想要求的“面積”，因此，我們可以定義此面積為：.可以看到使用這種定義面積并求解面積的方法既樸素又很簡單，是數(shù)列極限在數(shù)學解題中的一大應(yīng)用.4.4利用數(shù)列極限求方程的數(shù)值解我們都知道，2是一個無理數(shù)，那么我們?nèi)绾蝸磉\用有理數(shù)來無限逼近2，以此來達到事先就指定的精確度是我們現(xiàn)在所需要解決的問題，而2是二次方程的一個正根，所以這個問題也就是“求解方程的數(shù)值解”。想要解決這個問題，首先，我們得將這個問題重新描述，如下：設(shè)任意給定的，求的近似值，對給定的的一個近似值，在以下的兩個正數(shù)，中，肯定其中有一個大于，而另外一個小于，當正好就是的時候，我們就有理由指望這兩個數(shù)的算術(shù)平均值，即：當時，它的值可能更加靠近，這就便得到了一個更好的近似值，不妨我們先來看下列式子就比較清楚了?？梢钥闯觯翰徽撨@個初值如何，很明顯得出的第一次近似值就是過剩近似值，我們不妨就設(shè)這個初值本身就是一個過剩近似值，則有x0>x0?a>.由這個不等式我們可以知道：第一次近似值到的距離至多是初值到的距離的一半。當我們再接著重復(fù)上述的步驟以后，便會產(chǎn)生一系列的數(shù)列其中由此.可見這個結(jié)果就是，不論有多大，這個數(shù)值與的距離我們要多小就有多小。讓我們來觀察實際應(yīng)用起來的便利性，設(shè)想我們要求的是2的近似值，我們不妨就隨機取其初值（但是這是一個相當粗糙的近似值），不過想要達到一個比較精確的近似值，還得運用迭代法，而迭代法就是通過利用遞推公式或循環(huán)算法來構(gòu)造序列求解問題近似解的一種方法，通過反復(fù)進行計算的過程，來逐次無限的逼近近似值，如此下去就可以得到一個非常理想的近似值，下面我們具體來看一下反復(fù)運用迭代法產(chǎn)生的結(jié)果如下：通過分析上述內(nèi)容，可以看到上述式子和很是接近，所以當?shù)降谖宕尉鸵呀?jīng)很接近真實值了，很明顯其收斂的速度整體令人滿意，從文獻調(diào)研來看，只要上述方程所對應(yīng)的函數(shù)是連續(xù)的，且對應(yīng)零點是孤立的，則存在一個區(qū)間范圍，只要選取的初始迭代值在該區(qū)間范圍，通過迭代法求解的近似解序列則一定逐步收斂到真實值，所以迭代到第五次已是相當精確的近似值。5.總結(jié)數(shù)列極限作為數(shù)學分析中?？疾斓幕A(chǔ)概念之一，不僅需要我們掌握數(shù)列極限的概念、性質(zhì)和計算方法，也需要我們能靈活巧妙的應(yīng)用數(shù)列極限的相關(guān)知識，只有扎實的掌握數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，我們才能很好的解決函數(shù)極限及微積分的相關(guān)問題，那么我們遇到的一些看似困難的問題就可以迎刃而解了。本文主要以數(shù)列極限的求法為出發(fā)點，通過研究數(shù)列極限的定義、性質(zhì)等簡單介紹了求解時常用到的解題方法，再由相關(guān)的方法例題引申到數(shù)列極限在生活中的具體應(yīng)用上。用定義法證明極限值比較抽象，存在很大的局限性。而用單調(diào)有界定理來證明數(shù)列的收斂性時，我們在應(yīng)用中可以不用考慮其極限，但是必須保證其是單調(diào)的。。用迫斂定理求解數(shù)列,應(yīng)用時局限性更大，因為迫斂定理是數(shù)列收斂的充分條件.所以在對待不同類型的極限問題時，我們要根據(jù)極限題型的實際情況，來選擇合適的求解方法來求值，對于解決哪些過程比較復(fù)雜的數(shù)列極限問題時，我們盡量將數(shù)列化簡到最簡形式，在結(jié)合不同的方法求出對應(yīng)的極限值，對此，我們要具體問題具體分析，活學活用。本文主要從數(shù)列極限的理論角度概述了數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)求解數(shù)列極限的類型歸納總結(jié)了數(shù)列極限的方法技巧，同時，引用具體的實例分析了數(shù)列極限在數(shù)學分析中的實際應(yīng)用，分析數(shù)列極限的求解方法可以培養(yǎng)學生的極限思維能力，進而運用不同的定理來理解數(shù)列極限在解題中的應(yīng)用參考文獻[1]林潘能.數(shù)列極限不同求解方法及應(yīng)用[J].報刊薈萃,2018,000(007):P.244-244.[2]景慧麗.極限求解方法研究[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,2015,31(05):16-22.[3]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第四版)上冊[M].高等教育出版社，2010,7：23-260.[4]葛喜芳.數(shù)列極限的幾種計算方法[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院學報,2013(03):63-65.[5]李婧祎.數(shù)列極限在實際中的應(yīng)用研究[J].赤子(下旬),2016[6]唐燕武.極限的幾種求解方法[J].自然科學版,2009,15(3):86-87.[7]周淑娟，郭曉沛，李澎濤.淺談N項和數(shù)列極限的幾種求法[J].高等數(shù)學研究,2019,22(5):45-47.[8]李素峰.談數(shù)列極限證明中的“放大法”[J].衡水學院學報,2009,11(04):4-7.[9]花中東.淺談高等數(shù)學中幾種數(shù)列的求法[J].池州學院學報,2007,21(5):127-128.[10]王淑芳.數(shù)列極限的求解方法研究[J].高教學刊,2015,16:199-200.[11]但仲康,張亞，朱偉.數(shù)列極限的求解方法與技巧探討[J].教育教學論壇,2018,16:202[12]塔懷鎖.數(shù)列極限的幾種特殊求解方法[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院學報,2011(02):72-74[13]李陽.定積分中微元法及其應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代鹽化工,