《2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法》知識(shí)清單

《2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法》知識(shí)清單復(fù)數(shù)的乘法與除法知識(shí)清單一、復(fù)數(shù)乘法1、定義設(shè)z1＝a+bi，z2＝c＋di（其中a,b,c,d\inR），那么z1\cdotz2=（a＋bi)（c+di)。按照多項(xiàng)式乘法法則展開，得到z1\cdotz2＝ac+adi＋bci+bdi^2。因?yàn)閕^2=1，所以z1\cdotz2=（acbd)＋（ad+bc)i。例如，若z1＝2＋3i，z2＝1+2i，則z1\cdotz2=（2\times1-3\times2)＋（2\times2＋3\times1)i=（26)＋（4＋3)i=－4+7i。2、運(yùn)算律交換律：對(duì)于任意復(fù)數(shù)z1,z2，有z1\cdotz2＝z2\cdotz1。就像普通數(shù)字乘法一樣，比如（1＋2i)（3+4i)＝（3＋4i)（1+2i)。結(jié)合律：對(duì)于任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3，有（z1\cdotz2)＼cdotz3＝z1\cdot(z2\cdotz3)。例如，設(shè)z1＝1＋i，z2＝2＋i，z3＝3＋i，先算（z1\cdotz2)＼cdotz3，z1\cdotz2=（1＋i)（2＋i)＝2＋i+2i+i^2=1＋3i，然后（1＋3i)（3＋i)＝3＋i+9i+3i^2=10i；再算z1\cdot(z2\cdotz3)，z2\cdotz3=（2＋i)（3＋i)＝6+2i+3i+i^2＝5＋5i，z1\cdot(5＋5i)＝5＋5i+5i+5i^2=－10i，兩者相等。分配律：對(duì)于任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3，有z1\cdot(z2＋z3)＝z1\cdotz2+z1\cdotz3。比如z1＝2i，z2＝1＋i，z3＝1i，z2＋z3=（1＋i)＋（1i)＝2，z1\cdot(z2＋z3)＝2i\times2＝4i，而z1\cdotz2=2i\times(1＋i)＝2i+2i^2=－2＋2i，z1\cdotz3=2i\times(1i)＝2i-2i^2＝2+2i，z1\cdotz2+z1\cdotz3=－2＋2i+2+2i＝4i。二、復(fù)數(shù)除法1、定義我們要計(jì)算＼frac{z1}｛z2}（其中z2\neq0），設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di（c,d不同時(shí)為0）。為了把分母變成實(shí)數(shù)，我們給分子分母同時(shí)乘以z2的共軛復(fù)數(shù)＼overline{z2}＝cdi，則＼frac{z1}｛z2}＝＼frac{z1\cdot\overline{z2}｝｛z2\cdot\overline{z2}｝。先計(jì)算z2\cdot\overline{z2}＝（c＋di)（cdi)＝c^2-（di)＾2=c^2＋d^2。再計(jì)算z1\cdot\overline{z2}＝（a＋bi)（cdi)＝acadi＋bcibdi^2=（ac＋bd)＋（bcad)i。所以＼frac{z1}｛z2}＝＼frac{ac＋bd}｛c^2＋d^2}＋＼frac{bcad}｛c^2＋d^2}i。例如，計(jì)算＼frac{1＋i}｛1i}，分子分母同時(shí)乘以1＋i，分母變?yōu)椋?i)（1＋i)＝1i^2＝2，分子變?yōu)椋?＋i)＾2=1+2i+i^2＝2i，所以結(jié)果是i。三、習(xí)題1、計(jì)算（3＋2i)（14i)。2、計(jì)算＼frac{2＋3i}｛1i}。3、已知z1＝2＋i，z2＝32i，求z1\cdotz2和＼frac{z1}｛z2}。四、答案1、首先按照復(fù)數(shù)乘法法則展開：（3＋2i)（14i)＝3\times1-3\times4i+2i\times1-2i\times4i＝312i+2i8i^2因?yàn)閕^2=－1，所以＝312i+2i+8＝1110i。2、給分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)1＋i：＼frac{2＋3i}｛1i}＝＼frac{（2＋3i)（1＋i)｝｛（1i)（1＋i)｝先計(jì)算分母（1i)（1＋i)＝1i^2＝2。再計(jì)算分子（2＋3i)（1＋i)＝2+2i+3i+3i^2=－1＋5i。所以結(jié)果是＼frac{1}｛2}＋＼frac{5}｛2}i。3、計(jì)算z1\cdotz2：設(shè)z1＝2＋i，z2＝32i，按照復(fù)數(shù)乘法法則，z1\cdotz2=（2\times3-1\times2)＋（2\times(－2)＋1\times3)i=（62)＋（－4＋3)i＝4i。計(jì)算＼frac{z1}｛z2}：先求分母z2的共軛復(fù)數(shù)＼overline{z2}＝3＋2i。分子分母同時(shí)乘以＼overline{z2}，＼frac{z1}｛z2}＝＼frac{（2＋i)（3＋2i)｝｛（32i)（3＋2i)｝。