2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學試題含答案

黑龍江省龍東地區(qū)2024年初中畢業(yè)學業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學試題考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列計算正確的是（）A. B. C. D.2.下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）A.3 B.4 C.5 D.64.一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B. C. D.5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且6.已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（）A.或 B. C.或 D.7.國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現(xiàn)突出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（）A.5 B.4 C.3 D.28.如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點，連接、，過點B作軸，垂足為D，交于點E，且E為的中點，則的面積是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.59.如圖，菱形中，點是的中點，，垂足為，交于點，，，則的長為（）

A. B. C. D.10.如圖，在正方形中，點H在邊上（不與點A、D重合），，交正方形外角的平分線于點F，連接交于點M，連接交于點G，交于點N，連接．則下列結(jié)論：①；②點G是的中點；③若點H是的中點，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11.國家統(tǒng)計局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是億斤，將億用科學記數(shù)法表示為________．12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．13.已知菱形中對角線相交于點O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是________．16.如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．17.若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________．18.如圖，在中，，，，，線段繞點旋轉(zhuǎn)，點為的中點，則的最大值是________．19.矩形中，，，將沿過點A的一條直線折疊，折痕交直線于點（點P不與點B重合），點的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則長為________．20.如圖，在平面直角坐標系中，正方形頂點M的坐標為，是等邊三角形，點B坐標是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向為）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應(yīng)點記為，的坐標是；第二次滾動后，的對應(yīng)點記為，的坐標是；第三次滾動后，的對應(yīng)點記為，的坐標是；如此下去，……，則的坐標是________．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．（1）畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點的坐標；（2）畫出繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標；（3）在（2）的條件下，求點B旋轉(zhuǎn)到點的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中，．（1）求拋物線的解析式．（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點P，使得的面積最大．若存在，請直接寫出點P坐標和的面積最大值；若不存在，請說明理由．24.為貫徹落實教育部辦公廳關(guān)于“保障學生每天校內(nèi)、校外各一小時體育活動時間”的要求，某學校要求學生每天堅持體育鍛煉．學校從全體男生中隨機抽取了部分學生，調(diào)查他們的立定跳遠成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計圖，結(jié)合下圖解答下列問題：組別分組（cm）頻數(shù)A3BmC20D14E5（1）頻數(shù)分布表中，扇形統(tǒng)計圖中．（2）本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在組別．（3）該校有600名男生，若立定跳遠成績大于200cm為合格，請估計該校立定跳遠成績合格的男生有多少人？25.甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時到達B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達配貨站之前的速度是，乙貨車的速度是；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26.已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點M、N在上，點M在點N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當時，探究如下：由，可知，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當時，如圖②：當時，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進行證明．27.為了增強學生的體質(zhì)，某學校倡導(dǎo)學生在大課間開展踢毽子活動，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．（1）購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購買甲乙兩種品牌毽子共花費1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？（3）若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？28.如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形的邊在x軸上，點A在第一象限，的長度是一元二次方程的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線運動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動．設(shè)運動時間為t秒（），的面積為S．（1）求點A的坐標；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當時，點M在y軸上，坐標平面內(nèi)是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1.【答案】C【解析】解：A、，故選項A計算錯誤，此選項不符合題意；B、，故選項B計算錯誤，此選項不符合題意；C、，此選項計算正確，符合題意；D、，故選項D計算錯誤，此選項不符合題意；故選：C．2.【答案】B【解析】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D、軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不合題意．故選：B．3.【答案】B【解析】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個幾何體的底層最少有1+1+1=3個小正方體，第二層最少有1個小正方體，因此組成這個幾何體的小正方體最少有3+1=4個．故選B．4.【答案】D【解析】平均數(shù)為：方差為：故選：D．5.【答案】D【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且，即，解得：，的取值范圍是且．故選：D．6.【答案】A【解析】解：去分母得，，整理得，，當時，方程無解，當時，令，解得，所以關(guān)于x的分式方程無解時，或．故選：A．7.【答案】B【解析】解：設(shè)購買支筆記本，個碳素筆，依題意得：，．又，均為正整數(shù)，或或或，共有4種不同的購買方案．故選：B．8.【答案】A【解析】如圖，過點A作，垂足為F，設(shè)，，∵軸，，∴軸，，∴，∴，∵E為的中點，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．9.【答案】C【解析】解：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點是的中點，∴A、O、C三點在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．10.【答案】A【解析】連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴點B、H、D、F四點共圓，∴，，∴，故①正確，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點G是的中點，故②正確，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確，∴，若，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤錯誤，如圖，③若點H是的中點，設(shè)，即，∴，∴，同理可證明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正確，則正確的有：①②③④，故選：A．二、填空題（每小題3分，共30分）11.【答案】【解析】億，億故答案為：12.【答案】##【解析】解：根據(jù)題意得，，且，解得，，故答案為：．13.【答案】或【解析】解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：；根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的條件為：或．14.【答案】【解析】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有12種，∴選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的概率為：，故答案為：．15.【答案】【解析】解：由，得：，由，得：，不等式組恰有3個整數(shù)解，這3個整數(shù)解是0，1，2，，解得，故答案為：．16.【答案】【解析】解：如圖所示，連接，∵內(nèi)接于，是直徑，∴，∵,，∴∴，故答案為：．17.【答案】【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，可得解得：，，解得，側(cè)面展開圖的圓心角是．故答案為：．18.【答案】【解析】解：取的中點M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點，∴．如圖，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．19.【答案】或或10【解析】解：①點的對稱點落在矩形對角線上，如圖1，∵在矩形中，，，由折疊性質(zhì)可知：，∴∴∴，∴∴；②點的對稱點落在矩形對角線上，如圖2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；③點的對稱點落在矩形對角線延長線上，如圖3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；綜上所述：則長為或或10．故答案為：或或10．20.【答案】【解析】解：正方形頂點M的坐標為，,是等邊三角形，點B坐標是，等邊三角形高為，由題知，的坐標是；的坐標是；的坐標是；繼續(xù)滾動有，的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；的坐標是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個為一組，，的坐標與的坐標一樣為，故答案為：．三、解答題（滿分60分）21.【答案】，【解析】解：原式，當時原式．22.【答案】（1）作圖見解析，（2）作圖見解析，（3）【解析】【小問1詳解】解：如圖，為所求；點的坐標為，【小問2詳解】如圖，為所求；，【小問3詳解】，點B旋轉(zhuǎn)到點的過程中所經(jīng)過的路徑長．23.【答案】（1）（2）存在，點P的坐標是，的面積最大值是【解析】【小問1詳解】解：將，代入得，解得：【小問2詳解】解：對于，令則解得，，∴，∴∵，∴，過點P作軸于點E，如圖，設(shè)，且點P在第二象限，∴∴∵，∴有最大值，∴當時，有最大值，最大值為，此時點P的坐標為24.【答案】（1）8，40（2）C（3）估計該校立定跳遠成績合格的男生有228人【解析】【小問1詳解】解：被抽取的學生數(shù)為：(人)故（人），，即，故答案為：，；【小問2詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，，，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個數(shù)據(jù)都在C組，故本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在C組，答案為：C；【小問3詳解】解：（人）答：該校立定跳遠成績合格的男生有人．25.【答案】（1）30，40（2）的函數(shù)解析式是（3）經(jīng)過1.5h或或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等【解析】【小問1詳解】解：由圖象可知甲貨車到達配貨站路程為105km，所用時間為3.5h，所以甲貨車到達配貨站之前的速度是（）∴乙貨車到達配貨站路程為，到達配貨站時接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，總路程為240km，總時間是6h，∴乙貨車速度，故答案為：30；40【小問2詳解】甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，由圖象可知和點設(shè)∴解得：，∴甲貨車距A地的距離與行駛時間之間的函數(shù)解析式【小問3詳解】設(shè)甲貨車出發(fā)，甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等，①兩車到達配貨站之前：，解得：,②乙貨車到達配貨站時開始返回，甲貨車未到達配貨站：，解得：，③甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地時：，解得：，答：經(jīng)過或或甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26.【答案】圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見解析【解析】解：圖②的結(jié)論是：證明：∵∴是等邊三角形，∴，以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得圖③的結(jié)論是：證明：以點B為頂點在外作，在上截取，連接，過點Q作，垂足為H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得27.【答案】（1）購買一個甲種品牌毽子需15元，購買一個乙種品牌毽子需10元（2）共有3種購買方案（3）學校購買甲種品牌毽子60個，購買乙種品牌毽子10個，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元【解析】【小問1詳解】解：設(shè)購買一個甲種品牌毽子需a元，購買一個乙種品牌毽子需b元．由題意得：，解得：，答：購買一個甲種品牌毽子需15元，購買一個乙種品牌毽子需10元；【小問2詳解】解：設(shè)購買甲種品牌毽子