2024-2025學年高中數(shù)學第三章推理與證明3.1.1歸納推理學案含解析北師大版選修1-2

PAGE§1歸納與類比1．1歸納推理授課提示：對應學生用書第16頁[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、歸納推理的定義依據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中________都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．三、歸納推理的特征歸納推理是由部分到________，由個別到________的推理．[雙基自測]1．數(shù)列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38B．39C．40D．2．如圖所示，探究以下規(guī)律：依據(jù)規(guī)律，從2015到2017，箭頭的方向依次為()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓3．1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42,1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，….由上述詳細事實可得結論：________________.[自主梳理]一、合情演繹二、每一個事物三、整體一般[雙基自測]1．C前6項從第2項起每一項與前一項的差分別為4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40.2．D視察規(guī)律可得周期T＝4，因此2015到2017的箭頭與3到5的一樣，故選D.3．1＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N＋)．利用歸納推理，第n個等式的左邊應為1＋3＋…＋(2n＋1)，右邊應為(n＋1)2.授課提示：對應學生用書第16頁探究一數(shù)式中的歸納推理[例1](1)視察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．(2)已知函數(shù)y＝f(x)，對隨意的兩個實數(shù)x1，x2都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，且f(0)≠0，則f(－2012)·f(－2011)·…·f(2011)·f(2012)的值是()A．0 B．1C．2011×2012 D．20122[解析](1)視察各等式的右邊，它們分別為1,3,4,7,11，…，發(fā)覺從第3項起先，每一項就是它的前兩項之和，故等式的右邊依次為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，故a10＋b10＝123.(2)當x1＝x2＝0時，f(0)＝f(0)·f(0)，又因為f(0)≠0，所以f(0)＝1，于是有f(－x＋x)＝f(－x)·f(x)＝f(0)＝1.所以f(－2012)·f(2012)＝1，f(－2011)·f(2011)＝1，…，f(－1)·f(1)＝1，f(0)＝1，把上面式子等號兩邊分別相乘，即可得f(－2012)·f(－2011)·…·f(2011)·f(2012)＝f(－2012＋2012)·…·f(－2011＋2011)·…·f(－1＋1)·f(0)＝1.[答案](1)C(2)B利用歸納推理解決問題的留意事項：歸納推理是一種思維工具，解決這類問題要熟識有關的學問，要正確運用從特別到一般的數(shù)學思想，經常借助前n項的共性來推出一般性的命題．本題(2)在求解時，運用了從特別到一般的方法，先找特別狀況f(0)＝1，再歸納出一般結論f(－x)·f(x)＝1.1．視察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為________．解析：由前三個式子可以得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1起先的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個數(shù)依次多1，等號的右邊是一個正整數(shù)的平方，后一個正整數(shù)依次比前一個大3,4，….因此，第五個等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二圖與形的歸納推理[例2]有兩種花色的正六邊形地面磚．按下圖的規(guī)律，拼成若干個圖案，則第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是()A．26 B．31C．32 D．36[解析]解法一有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：圖案123…個數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.解法二由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個有菱形紋正六邊形圍繞(圖案1)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊有菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的有菱形紋正六邊形)，故第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)為6＋5×(6－1)＝31.[答案]B圖形的歸納推理問題，可從圖形的改變規(guī)律入手求解，一般探討圖形中點、線或面等的增加改變數(shù)值，結合數(shù)列的學問得出規(guī)律．2．在平面內視察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N＋)邊形有幾條對角線？解析：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條，凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條，…于是猜想凸n邊形比凸(n－1)邊形多(n－2)條對角線．因此凸n邊形的對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4且n∈N＋)．第三章推理與證明數(shù)學·選修1－2探究三數(shù)列中的歸納推理[例3]已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項公式an.[解析](1)當n＝1時，a2＝2a1＋1＝2×當n＝2時，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a4＝15，a5＝31.(2)由于a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，所以可歸納猜想an＝2n－1(n∈N＋)．數(shù)列的歸納推理問題，可求出數(shù)列的前幾項，然后歸納出數(shù)列的通項公式．3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式．解析：當n＝1時，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；當n＝2時，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；當n＝3時，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；當n＝4時，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N＋.歸納推理在圖表問題中的應用[典例]如圖，一個粒子在第一象限及邊界運動，在第一秒內它從原點運動到(0,1)，然后它接著按圖示在x軸，y軸的平行方一直回運動，且每秒移動一個單位長度，則2014秒時，這個粒子所處的位置對應的點的坐標為()A．(44,10) B．(10,44)C．(11,44) D．(43,46)[解析]考查粒子運動到關鍵點(1,1)用時2秒，運動到點(2,2)用時6秒，運動到點(3,3)用時12秒，運動到點(4,4)用時20秒，…，歸納猜想粒子運動到點(n，n)用時n(n＋1)秒．又當n為奇數(shù)時，此后x秒粒子運動到點(n，n－x)；當n為偶數(shù)時，此后x秒粒子運動到點(n－x，n