二次函數(shù)與面積壓軸問題-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（解析版）-中考數(shù)學備考復習重點資料歸納

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題27二次函數(shù)與面積壓軸問題

‘經(jīng)典例題'

、則I八ZUZ”叨心膽/州統(tǒng)考中考真題)如圖1,平面直角坐標系xO,y中，拋物線y=a%2+

bx+c+(a<0)與x軸分則點A和點8(1,0),與y軸交于點C,對稱軸為直線x=-1,且。4=

OC,尸為拋物線上一動點.

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接AC,當點尸在直線AC上方時，求四邊形以BC面積的最大值，并求出此

時尸點的坐標；

(3)設M為拋物線對稱軸上一動點，當P,M運動時，在坐標軸上是否存在點M使四邊形

PMCN為矩形2若存在，直接寫出點P及其對應點N的坐標：若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-x2-2x+3

⑵S最大=泉尸點的坐標為(號勺

(3)存在，^(-1.4),M(0,4)；七(三警，喑斗帽(上箸,0)；「3(普曳，喑1),

/(胃。)

【分析】(1)根據(jù)已知條件，列出方程組求出a,b,c?的值即可；

(2)方法一：設P(m,n),四邊形附BC的面積S=SAPAO+SAPCO+SABCO,用機表示出5,

并求出S的最大值與此時P點的坐標；

方法二：易知4(一3,0),C(0,3),故直線AC的方程為y=x+3,設P(x,-2x+3)(-3<

%<0),表示出「。，并用x表示出AAPC的面積，再表示出S,并求出S的最大值與此時P

點的坐標；

(3)根據(jù)題目要求，分類討論當當N在)，軸上時；當N在x軸負半軸上時，設N(t,0),用

f表示出點P的坐標，解出r,寫出點尸及其對應點N的坐標.

【詳解】(1)解：丁。?!=0C,

，C(O,c),4(-c,0),

,.,5(1,0),對稱軸為直線X=-1,c>0,

'0=a+b+cm=—1

-5=-1，解得b=-2,

2a

<0=ac2+bc+cyc=3

???拋物線的解析式為：y=-x2-2x^3.

(2)解：方法一：連接OP,

設P(/n,n),易知一3v?nv0,n>0,

*：AO=CO=3,BO=1,

**?四邊形PABC的面積S=S?PAO+S&pco+SXBCO，

.?.S=ix3n+|x3-(-m)+ix3xl

3、

=-(zn-m+1)

又：n=-m2—2m+3,

?*-S=|(-m2_3m+4)=一|(m+1)2+個

.?.當m=一，時，S最大=g,

此時P點的坐標為(-|,自)；

方法二：易知4(一3,0),C(0,3),故直線AC的方程為y=x+3

設P(%,—/—2%+3)(-3<%<0),

???過點尸作PQ_Lx軸，交AC于點Q,

?\O(x,x+3),

???點尸在AC上方，

:?PQ=—x2—2%+3—(%+3)=-x2—3,

?\SA4PC=SRPAQ+SAPCQ=；PQ(XQ-%A)+]PQ(%C-XQ)

=1PQGc=|PQ=1(-X2-3x)=-|x2-|x,

二四邊形面積S=SAAPC+Sg8c=一#一如+3x4x3=—#-gx+6,

.?.當x=-|時，S有最大值言，

???此時尸點的坐標為(一|,日).

(3)存在點M

①當N在y軸上時，

?.?四邊形PMCW為矩形，

此時，P/-1.4),M(0,4)；

②當N在x軸負半軸上時，如圖所示，四邊形PA/CN為矩形，過M作y軸的垂線，垂足為

D,過P作x軸的垂線，垂足為E,設N(t,O),則ON=-t,

：./.MCN=Z.CNP=90°,CM=NP,

??NMCO+NOCN=90。，乙ONC+乙OCN=90。,

工乙MCD=乙ONC,

又?：乙CDM=乙CON=90°,

CMDCNO,

.CD_MD

''ON-oc)

又：點M在對稱軸上，C(0,3),

:,DM=lfOC=3,

.W即CD=一3,

■:4MCD+乙CMD=90°,乙ONC+乙PNE=90°,

AzCMD=乙PNE,

：.△CMDSANPE(/L4S),

：.NE=MD=1,EP=CD=--t,

3

，OE=ON+EN=-t+l,

二.尸點的坐標為(t—1,—

點在拋物線y=-x2-2x+3±,

③當N在x軸正半軸上時，如圖所示，四邊形PA/CN為矩形，過M作)，軸的垂線，垂足為

D,過P作x軸的垂線，垂足為E,設N(t,0),則ON=t,

?.?四邊形尸MCN為矩形時，

AzMC/V=Z.CNP=90°,CM=NP,

:/.MCD+乙OCN=90°,乙ONC+乙OCN=90°,

乙MCD=乙ONC,

又二,乙CDM=乙CON=90°,

???△CM。?△CNO,

.CD_MD

**0N-0C，

又丁點M在對稱軸上，C(0,3),

：.DM=lfOC=3,

；.?=[,即

'.'Z.MCD+Z.CMD=90°,乙ONC+乙PNE=9。。,

:?乙CMD=乙PNE,

：.LCMD三ANPE(AAS),

：.NE=MD=1,EP=CD=-t,

3

：.OE=ON-EN=t-1,

.?.2點的坐標為(i:-1,-3),

點在拋物線y=-/一2x+3上，

=-(t-l)2-2(t-l)+3

解得右=上等（舍）,1+VT^

o6

P3（Z1浮有Zl）,限汽^

綜上：P1（—l,4）,M（0,4）；七（士等,唔1）,想（中,0）；「3（沖，嚕1）,

M呼。）

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、二次函數(shù)綜合問題，矩形的性質(zhì)與判定，二次

函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關

鍵.

【例2】（2022.廣西賀州.統(tǒng)考中考真題）如圖,拋物線y=--+bx+c過點4（-1,0）,8（3,0）,

與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P為拋物線對稱軸上一動點，當△PCB是以8C為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標;

(3)在(2)條件下，是否存在點M為拋物線第一象限上的點，使得，BCM=SABCP?若存在，

求出點M的橫坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=-x2+2x+3；

⑵點尸坐標為(LI);

3+V53-5/5

(3)存在，m[=-----,m=------

2222

【分析】(1)把4(—1,0),8(3,0)代入y=-x2+bx+c即可的得出拋物線解析式；

(2)依題意可得出即尸點在NCOB的平分線上且在拋物線的對稱軸上利用等腰三角形的性

質(zhì)，即可得出尸點的坐標；

(2)利用鉛垂線ME,即可表達出SABCM，再由SABCM=SABCP即可列出方程求解.

【詳解】(1)根據(jù)題意，得

2

f0=-(-l)-6+c

10=-32+36+C'

解得已匕，

C—3

???拋物線解析式為：y=-x2+2x+3.

(2)由(1)得y=—/+2%+3,

.??點C(0,3),且點B(3,0),

???OC=OB=3.

???當△PCB是以BC為底邊的等腰三角形

:.PC=PB,

,:OP=OP,

COP=△BOP,

."COP=乙BOP=ix90°=45°,

2

設拋物線的對稱軸與x軸交于H點，則NOPH=90°,

，乙OPH=乙POH=45°,

：.0H=PH,

??,拋物線對稱軸第==1，

2X(-1)

：.0H=1,

：.PH=1,

???y=1.

?,?點尸坐標為(1,1).

(3)存在.

理由如下：過點M作ME〃y軸，交BC于點、E,交x軸于點尸.

設M(m,-血？+2m+3),則F(m,0),

設直線8C的解析式為：y=kx+b,依題意，得：

.0=3k+b

[3=b'

解得｛￡=:1，

二直線8c的解析式為：y=-%+3,

當％=m時，y=—m+3,

二點E的坐標為(m,-m+3),

??,點M在第一象限內(nèi)，且在8C的上方，

??.ME=-m2+2m+3—(―m+3)

=-m24-3m,

11

S&BCM=S&MEC+S、MEB=?OF+-ME?FB

1

=-ME-OB

=|(-ni2+3m),

1i1q

S〉BCP=jx3x3-ixlx(l+3)-jxlx2=|.

?S^BCM=S^BCP，

???|(-?n2+3m)=

hjjzs3+\/53—\/5

解得巾1=丁",血2=-7"?

【點睛】此題考查了求拋物線的解析式、等腰三角形的存在性問題，三角形的面積，掌握待

定系數(shù)法求拋物線的解析式，等腰三角形與函數(shù)的特征，三角形面積與函數(shù)的做法是解題的

關鍵.

【例3】(2022?河南洛陽?統(tǒng)考二模)如圖，拋物線y=-/一2x+3的圖象與％軸交于4,B兩

點，(點4在點B的左邊)，與y軸交于點C.

(1)直接寫出4,B,C的坐標；

(2)點M為線段4B上一點(點M與點力，點B不重合)，過點M作x軸的垂線，與直線2C交于點

E,與拋物線交于點P,過點P作PQII4B交拋物線于點Q,過點Q作QNlx軸于點N,若點P

在點Q的左側(cè)，當矩形PMNQ的周長最大時，求△力EM的面積.

【答案】(1)4(-3,0),F(1,O),C(0,3)

戲

【分析】(1)通過解析式即可得出C點坐標，令y=0,解方程得出方程的解，即可求得4、

B的坐標；

(2)設M點橫坐標為m,則PM=—巾2一26+3,MN=(-m-1)x2=-2m-2,矩形

PMNQ的周長=-2/-8m+2,將-2/-8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出

m的值，然后求得直線4c的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形

的面積.

【詳解】(1)由拋物線y=-久2-2%+3可知點C(0,3),

令y=0,則0=-x2—2x+3,

解得x=-3或x=1,

二點4(-3,0),B(l,0),C(0,3);

(2)由拋物線y=—/-2x+3=—(x++4可知，對稱軸為直線X=—1,

設點M的橫坐標為m,則PM=—m?—2m+3,MN=(―m-1)x2=—2m—2,

???矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=2(-m2-2m+3-2m-2)=-2m2-8m+2=

-2(m+2)2+10,

當m=-2時矩形的周長最大.

?.?點4(-3,0),6(0,3),

二設直線4C:y=kx+3,

代入(一3,0)得0=-3/c+3=0,

解得/c=l,

???直線4C的函數(shù)表達式為y=x+3,

當％=-2時，y=-2+3=l,則點￡（一2,1）,

???EM=1,AM=1,

AAEM的面積=.EM=1.

【點睛】此題主要考查了求拋物線與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的

性質(zhì)，三角形的面積公式，解本題的關鍵是求出矩形PMNQ的周長為-2（巾+2）2+10.

【例4】（2022?福建?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系xO），中，己知拋物線y=a/+故經(jīng)

過A（4,0）,B（1,4）兩點.P是拋物線上一點，且在直線A8的上方.

（1）求拋物線的解析式；

⑵若△0A8面積是△以8面積的2倍，求點P的坐標；

（3）如圖，OP交AB于點C,PD〃BO交AB于點D.記△CQP,4CPB,△C8。的面積分別為

Si，S2,S3.判斷?+?是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=-|x2+yX

（2）存在，（2譚）或（3,4）

⑶存在，;

O

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=-gx+g,過點P作PMLx軸，垂足為M,

PM交AB于點、N.過點8作垂足為E.可得又「河=SAPNB+SAPNA=lPN'設

P（m,—|m2+ym）（1<?n<4）.則N（?n,—+弓）由「N=（—（7712+當6）—

（一gm+￡）=|,解方程求得m的值，進而即可求解；

（3）由已知條件可得AOBC-PCC,進而可得2+挈=*+登=要，過點分別作x

0203BCOCOB

軸的垂線，垂足分別F,E,PE交AB于點Q,過。作工的平行線，交PE于點G,可得△DPG，

△OBF,設P(m,-gm?+(1VmV4),￡)(n,-；"+果，則G(m,—；n+g),根據(jù)

—=變可得4九=7九2一巾+4根據(jù)％+—=—4--=2—=--(m—-Y+根據(jù)二次

OBOFS2s3BCOCOF2\2)8

函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值.

【詳解】(1)解：(1)將A(4,0),B(1,4)代入y=a%2+h》,

得殂］fl6aa++b4b==40，

4

a=—

解得L163-

b=一

3

所以拋物線的解析式為y=-^x2+jx.

(2)設直線AB的解析式為y=kx+t(kH0),

將A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,

解得

所以直線AB的解析式為y=-ix+y.

過點尸作PM,工軸，垂足為M,PM交AB于點、N.

過點8作BELPM,垂足為￡

所以SMAB=S2PNB+S&PNA

11

=-PNxBE^-PNxAM

22

1

=-P/Vx(BE+AM)

3

=-PN.

2

因為A(4,0),B(1,4),所以S^o力B=5X4x4=8.

因為aOAB的面積是△以3面積的2倍,

所以2x?N=8,PN

23

設P(m,—^m2+T7n)(1<血V4),則N(m,—+?)?

所以PN=(-扣2+_(一刎+?=I，

T

即□rt—4znzH—20m---1-6-=一8,

3333

解得mi=2,m2=3.

所以點尸的坐標為(2,或(3,4).

(3)vPD//BO

OBCPDC

CD_PD_PC

：t~BC=~OB='OC

記ACZJP,4CPB,ACBO的面積分別為SI，S2,S3.則2+*=*+%=翌

$2$3BCOCOD

如圖，過點民P分別作不軸的垂線，垂足分別F,E,PE交AB于點、Q,過。作工的平行線，交PE

于點G

???/(1,0)

???OF=1

???PD//OBfDG//OF

???△DPGs&OBF

/.-P-D-=—PG=--D-G-.

OBBFOF

設P(m,—m24-y(1<m<4)

???直線AB的解析式為y=-J%4-y.

設珥一(九+弓)，則G(m,_(九+弓)

4.16416

PG=--mz+—m+-n——

3333

4

=3-47n—幾+4)

DG=m-n

4

3(m9_4nl-n+4)m-n

J4=1

整理得4九=m2-m4-4

...亙+包=絲+”=陋

S2S3BCOCOB

DG

=2OF

=2(m—n)

=--(m2—5zn+4)

1/5\29

二-23-1+g

=取得最大值，最大值為￡

2s2s3o

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，相似三角形的性質(zhì)與

判定，第三問中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關鍵.

【例5】(2022?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線Fi：y=

x2+bx+c經(jīng)過點4(一3,0)和點3(1,0).

(1)求拋物線a的解析式；

(2)如圖2,作拋物線尸2,使它與拋物線E關于原點。成中心對稱，請直接寫出拋物線B的解

析式；

(3)如圖3,將(2)中拋物線尸2向上平移2個單位，得到拋物線尸3,拋物線Fi與拋物線尸3相

交于C,。兩點(點C在點。的左側(cè)).

①求點C和點。的坐標；

②若點M,N分別為拋物線a和拋物線尸3上c,。之間的動點(點M,N與點C,。不重合)，

試求四邊形CMDN面積的最大值.

［答案］(1)y=/+2x-3

(2)y=-x2+2x+3

⑶①。(-2,-3)或D(2,5)；②16

【分析】(1)將點4(一3,0)和點8(1,0)代入y=/+以+以即可求解：

(2)利用對稱性求出函數(shù)Fi頂點(-1,-4)關于原點的對稱點為(1,4),即可求函數(shù)七的解析

式；

(3)①通過聯(lián)立方程組y=一?+?，求出(?點和0點坐標即可；

②求出直線CO的解析式，過點M作M尸〃y軸交CD于點凡過點N作可后〃、軸交于點E,設

M(m,m2+2m—3),N(n,—n2+2n+5),則產(chǎn)(zn,2m+1),N(n,2n+1),可求M尸=—m2+

2

4,NE=-n+4,由S四邊形CMDN=^CDN+S^CDM=2(MF+NE),分別求出MF的最大值

4,NE的最大值4,即可求解.

(1)

解：將點4(一3,0)和點8(1,0)代入y=x2+bx+c,

??(9i7^C=n'解得｛k2

(l+Z?+c=Olc=-3

.*.y=x24-2%-3.

(2)

Vy=/+2%—3=(x+—4,

???拋物線的頂點(一1,一4),

??,頂點關于原點的對稱點為(1,4),

???拋物線F2的解析式為y=-(%-I)2+4,

Ay=-x2+2x+3.

(3)

由題意可得，拋物線尸3的解析式為y=-(％-+6=-%2+2%+5,

①聯(lián)立方程組憶'

解得x=2或x=-2,

."(一2,-3)或。(2,5)；

②設直線CC的解析式為y=kx+b,

d”解得

lzfc4-o=53=1

.'.y=2%+1,

過點M作MF〃y軸交CD于點F,過點N作可5〃、軸交于點E,如圖所示:

設M(m,m2+2m—3),N(n,-n2+2九+5),

則F(zn,2m+l),N(n,2n4-1),

:?MF=2m+1—(m2+2m-3)=-m2+4,

NE=-n2+2n+5—2n—1=—n2+4,

V—2<m<2,-2<n<2,

工當m=0時,MF有最大值4,

當n=0時,NE有最大值4,

,；S四邊形CMON=S&CDN+S&CDM=鼻x4x(MF+NE)=2(MF+NE),

???當MF+NE最大時，四邊形CMON面積的最大值為16.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖象平移和對

稱的性質(zhì)是解題的關鍵.

培優(yōu)訓練

X_________________/

1.（2022.廣東?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線丫=/+必+。"，c是常數(shù)）的頂點為C,

與x軸交于A,B兩點，4（1,0）,AB=4,點P為線段4B上的動點，過P作PQ//BC交AC于

點Q.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求^CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標.

【答案】(Dy="+2x-3

(2)2；P(-1,0)

【分析】(1)用待定系數(shù)法將A,B的坐標代入函數(shù)一般式中，即可求出函數(shù)的解析式；

(2)分別求出C點坐標，直線AC,BC的解析式，PQ的解析式為：y=-2x+n,進而求出P,

。的坐標以及〃的取值范圍，由SMPQ=SACPA—SUPQ列出函數(shù)式求解即可.

【詳解】(1)解：：點4(1.0),AB=4,

...點B的坐標為(-3,0),

將點A(1,0),B(-3,0)代入函數(shù)解析式中得：

f0=l+b+c

l0=9-3b+c'

解得：h=2,c=-3,

.?.拋物線的解析式為y=x2+2x-3；

(2)解：由(1)得拋物線的解析式為y="+2X-3,

頂點式為：y=(x+I)2-4,

則C點坐標為：(-1,-4),

由8(-3,0),C(-1,-4)可求直線8c的解析式為：y=-2x-6,

由4(1,0),C(-1,-4)可求直線AC的解析式為：y=2x-2,

\'PQ//BC,

設直線PQ的解析式為：y=-2x+〃，與x軸交點尸弓,0),

由｛「葭＞2n解得：Q(掌，等)，

在線段AB上,

?"?一3v-v1,

2

??.〃的取值范圍為?6V〃V2,

則S^CPQ=S&CPA-S&APQ

1n1nn—2

=2X(1-2)X4-2X(1-2)X(--「)

1

=一65+2)0+2

o

...當〃=-2時，即尸(-1,0)時，SACPQ最大，最大值為2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的面積最值問題，二次函數(shù)的圖象與解析式間的關系，一次函數(shù)

的解析式與圖象，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關鍵.

2.(2022?湖南常德?統(tǒng)考中考真題)如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點。(0,0),4(5,5),且它的對稱

軸為x=2.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，當AO/IB的面積為15時，求B的坐

標；

(3)在(2)的條件下，P是拋物線上的動點，當P4-PB的值最大時，求P的坐標以及PA-PB

的最大值

【答案】(Dy=x2-4x.

⑵B(2,8)

(3)P(-2,12),PA-PB的最大值為3夜.

【分析】(1)根據(jù)題意可設拋物線為y=ax2+bx,再利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即

可；

(2)設B(2,y),且y>0,記OA與對稱軸的交點為。，設直線。4為：y=kx,解得：k=1,

可得直線。4為：y=x,則Q(2,2),利用工。.=^B0Q+S^ABQ=：xBQx(4一x。)列方程,

再解方程即可；

(3)如圖，連接A8,延長A8交拋物線于尸，則此時P4-PB=48最大，由勾股定理可得

最小值，再利用待定系數(shù)法求解AB的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解方程

組可得尸的坐標.

【詳解】(1)解：???拋物線經(jīng)過點0(0,0),

設拋物線為：y=ax2+bx,

???拋物線過4(5,5),且它的對稱軸為x=2.

?J一2=2,解得：］匚［4,

\2a

拋物線為:y=x2-4x.

(2)解：如圖，點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，

設B(2,y),且y>0,記0A與對稱軸的交點為Q,

設直線。4為：y=kx,

■-5=5k,解得：fc=1,

?1?直線04為：y=x,

；?Q(2,2),

=x

S&OAB=S^BOQ+S?ABQ2BQX(XX—x0)

=|ly-21X5=15,

解得：y=8或y=-4,

Vy>0,則y=8,

B(2,8).

(3)如圖，連接A8,延長A8交拋物線于尸，則此時P4-PB=48最大,

???4(5,5),B(2,8),

AB=J(5—2乃+(5-8尸=3V2,

設48為：y=k'x+b',代入A、8兩點坐標,

.(5k'+b'=5

"(2kz+b'=8'

解得：傷:用

AB為:y——x+10,

(y=—x+10

Aly=x2-4x,

???P(-2,12).

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，坐標與圖形面積，三角形三

邊關系的應用，勾股定理的應用，確定P4-P8最大時P的位置是解本題的關鍵.

3.(2022?湖北襄陽?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，直線y=mx-2〃?與x軸，y軸分別

交于A,B兩點，頂點為D的拋物線y-^+linx-n^+l與y軸交于點C.

(1)如圖，當機=2時，點P是拋物線CD段上的一個動點.

①求A,B,C,。四點的坐標；

②當△以B面積最大時，求點P的坐標；

⑵在y軸上有一點M(0,1m),當點C在線段MB上時，

①求機的取值范圍；

②求線段BC長度的最大值.

【答案】⑴①A(2,0),B(0,-4),C(0,-2),D(2,2)；

②△以B的面積的最大值是3,點尸(1,1)；

(2)@|<m<1+百或-3<m<1-V3；

②13

【分析】對于(1),先求出點48的坐標，再將拋物線關系式配方表示出點。的坐標，令

戶0,表示出點C的坐標，然后將，〃的值代入即可得出①的答案；對于②，先求出直線和拋

物線的解析式，再作PEIIy軸，設點P的橫坐標為Z,即可表示出點P,E的坐標，然后表

示出PE,進而根據(jù)三角形的面積公式表示△出8的面積，再配方討論極值即可；

對于(2),由(1)可知，點3,C的坐標，再根據(jù)點C在線段M3上，分兩種情況討論，

求出①的答案即可；對于②，根據(jù)①中的情況分別表示BC,再配方二次函數(shù)的性質(zhì)求出答

案即可.

【詳解】(1):直線y=mx-27n與x軸，y軸分別交于A,8兩點，

AA(2,0),B(0,-2m).

'."y=—x2+2mx-m2+2=—(x—m)2+2,

，拋物線的頂點坐標是力(，”，2).

令A-0.貝Uy=-m2+2,

.?.C(0,-m2+2).

①當m=2時，-2m=-4,則-m?+2=—2,

.?.點B(0,-4),C(0,-2),D(2,2)；

②由上可知，直線AB的解析式為y=2x-4,拋物線的解析式為y=-/+4x-2,

如圖，過點P作PEIIy軸交直線A8于點￡

設點P的橫坐標為/,

.?.P(t,-t2+4t-2),E(t,2t—4),

PE——+4t—2—(2t—4)——+2t+2,

，△%6的面積=(x(2—0)x(-t2+2t+2)=—(t—l)2+3，

V-l<0,

??.當仁1時，△%8的面積的最大值為3,此時P(l,I)；

(2)由(1)可知，B(0,-2/77),C(0,■加2+2),

①?.)?軸上有一點點C在線段MB上，

二需分兩種情況討論：

當>-m2+2>-2m時，解得：|<m<1+百，

當gmS—Tn2+2s-2nl時，解得：—3SmW1-V5,

的取值范圍是W1+次或一33加式1一6；

②當］<m<1+6時，

BC=-m2+2-(-2m)=-m2+2m+2=-(m-l)2+3,

當加=1時，BC的最大值為3；

當-3<771<1-百時，

/.BC=-2m—(—m2+2)=m2—2m—2=(m—l)2—3,

當加=-3時，點M與點C重合，BC的最大值為13,

；.8C的最大值是13.

【點睛】這是一道關于次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合問題，考查了求函數(shù)關系式，二次函數(shù)圖

象的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形的綜合，根據(jù)二次函數(shù)關系式求極值等.

4.(2019?廣東河源?校聯(lián)考一模)如圖，已知拋物線的頂點為4(1,4),拋物線與y軸交于點

B(0,3),與x軸交于C、。兩點，點P是拋物線上的一個動點.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)求于C、。兩點坐標及三角形ABC。的面積.

(3)若點P在無軸上方的拋物線上，滿足S“CD=^SABCD，求點P的坐標.

【答案】(l)y=—(乂-1)2+4

(2)C(-1,0),0(3,0),ShBCD=6

(3)P(1+票I),或P(l—票I)

【分析】(1)設拋物線頂點式解析式y(tǒng)=a(x-1)2+4,然后把點B的坐標代入求出a的值，

即可得解；

(2)令y=0,解方程得出點C,。坐標，再用三角形面積公式即可得出結(jié)論；

(3)先根據(jù)面積關系求出點尸的坐標，求出點尸的縱坐標，代入拋物線解析式即可求出點

P的坐標.

【詳解】(1)???拋物線的頂點為4(1,4),

設拋物線的解析式y(tǒng)=a(x-1)2+4,

把點B(0,3)代入得，a+4=3,

解得a=-1,

拋物線的解析式為y=-(x-I)2+4；

(2)由(1)知，拋物線的解析式為y=—(X-1)2+4；

令y=0,則0=-(x-I)2+4,

x=—1或％=3,

0),D(3,0)；

:.CD=4,

11

?,S^BCD=QCDx\yB\=-x4x3=6；

(3)由(2)知，ShBCD=6,CD=4,

,:S&PCD=]SABCD，

?“△PCD=20。xlypl=3x4x\yP\=3,

\yp\=2f

??,點尸在X軸上方的拋物線上，

**yP>0,

?3

??yp=29

:拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4；

?'-|=-(x-I)2+4,

.?.X=1±票

?"(1+苧，》或小-第！)?

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

5.（2022?湖南婁底?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y-2%-6與x軸相交于點力、點B,

與y軸相交于點C.

⑴請直接寫出點4,B,C的坐標；

⑵點「（犯71）（0<M<6）在拋物線上，當小取何值時，APBC的面積最大？并求出APBC面

積的最大值.

（3）點尸是拋物線上的動點，作尸E〃AC交x軸于點E,是否存在點F,使得以4、C、E、尸為頂

點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明

理由.

【答案】（1）4（一2,0）,B（6,0）,C（0,-6）；

（2）m=3,△PBC面積的最大值孑；

（3）存在，（2+26,6）或（2-2夕,6）或（4,一6）.

【分析】（1）令丫=。得到:一一2x—6=0,求出x即可求得點A和點B的坐標，令久=0,

則y=-6即可求點C的坐標；

（2）過P作PQ||y軸交BC于。，先求出直線8c的解析式，根據(jù)三角形的面積，當平行于

直線8c直線與拋物線只有一個交點時，點P到8c的距離最大，此時，△PBC的面積最大，

利用三角形面積公式求解；

（3）根據(jù)點F是拋物線上的動點，作FE//4C交x軸于點E得到4E||CF,設尸^a2-2a-6）,

當點F在x軸下方時，當點尸在工軸的上方時，結(jié)合點。。=6,利用平行四邊形的性質(zhì)來

列出方程求解.

【詳解】（1）解：令y=0,

則)2—2x—6=0.

解得=—2.x2=6,

二4(-2,0),8(6,0),

令x-0,貝Uy——6,

.”(0,-6)；

(2)解：過P作PQlly軸交BCT0,如下圖.

設直線8。為丫=kx+b(k*0),將3(6,0)、。(0,-6)代入得

,0=6k+b

ib=—6'

解得｛j二，

,直線BC為y=x—6,

根據(jù)三角形的面積，當平行于直線8c直線與拋物線只有一個交點時，點尸到8。的距離最

大，此時，aPBC的面積最大，

VP(m,n)(0<m<6),

.'.P(mf—2m—,Q(m,m—6),

:?PQ=(m—6)—Qzn2—2m—6^=—1(m—3)2+

\'-i<0,

2

，巾=3時，P。最大為￡

而S^PBC=^PQ'\xcXB\=；xgx6=§,

**?△PBC的面積最大為§；

(3)解：存在.

?.?點F是拋物線上的動點，作FE//AC交x軸于點E,如下圖.

：.AE||CF,設尸(a*a2-2a-6).

當點F在x軸下方時，

即0c-6>

.".-a2—2a—6=-6,

2

解得的=0(舍去)，a2=4,

；.F(4,-6).

當點尸在x軸的上方時，令y=6,

貝里a2-2a-6=6,

解得&3=2+2V7,a4=2-2V7,

F(2+277,6)或(2-2夕,6).

綜上所述，滿足條件的點尸的坐標為(2+2b,6)或(4,-6)或(2-2V7.6).

【點睛】本題是二次函數(shù)與平行四邊形、二次函數(shù)與面積等問題的綜合題，主要考查求點的

坐標，平行四邊形的性質(zhì)，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等.

6.(2022.四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)丫=。%2+"+(?的圖象與》軸交于。

(。為坐標原點)，A兩點，且二次函數(shù)的最小值為-1,點是其對稱軸上一點，y軸

上一點8(0,1).

⑴求二次函數(shù)的表達式；

(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P,連結(jié)P4PB,設點尸的橫坐標為f,APAB的

面積為S,求S與f的函數(shù)關系式；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，直接寫出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=x2-2x

(2)S=-t2+|t+l

(3)存在，%(1,-1)或(3,3)或(-1,3)

【分析】(1)由二次函數(shù)的最小值為-1，點是其對稱軸上一點，得二次函數(shù)頂點為

(1,-1).設頂點式丫=a(x-1)2-1,將點。(0,0)代入即可求出函數(shù)解析式；

(2)連接OP,根據(jù)5=54408+540U一5408。求出5與/的函數(shù)關系式；

(3)設N(n,n2-2n),分三種情況：當4B為對角線時，當4M為對角線時，當4N為對角線

時，由中點坐標公式求出〃即可.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)的最小值為一1,點是其對稱軸上一點，

???二次函數(shù)頂點為(1,一1),

設二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2-1,

將點0(0,0)代入得，a-1=0,

-a=1,

?,?y=(%-I)2—1=%2—2%；

(2)如圖，連接。P,

當y=0時，x2—2%=0,

?,?%=0或2,???4(2,0),

???點P在拋物線y=x2-2x±,

???點尸的縱坐標為嚴一23

S=S>AOB+S^OAP-S&OBP

11,O、1

=2X2X^^2X2(一#+2t)--1

=-t2+-t+l;

2

(3)設N(n,/-2n),

當AB為對角線時，由中點坐標公式得，2+0=l+n,「.71=1,二2。,-。，

當4M為對角線時，由中點坐標公式得，2+1=n+0,二n=3,；.N(3,3),

當4N為對角線時，由中點坐標公式得，2+n=0+l,n=-l,N(—1,3),

綜上：等1,-1)或(3,3)或(一1,3).

【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線與圖形面積，平行四邊形的性質(zhì)，

熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形是性質(zhì)是解題的關鍵.

7.(2022?山東日照??？家荒?如圖，拋物線y=aX2+bx+3與％軸交于z(i,o),B(3,0)兩

點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,M是拋物線x軸下方的拋物線上一點，連接MO、MB、MC,若4MOC的面積是^MBC

面積的3倍，求點M的坐標

(3)如圖3,連接力C、BC,在拋物線上是否存在點N(不與點4重合)，使得乙BCN=4ACB?

若存在求出點N的橫坐標，若不存在說明理由

【答案】(l)y=%2-4x+3；

⑵尊T)

(3)拋物線上存在一點N,使得4BCN=乙4。8,點N的坐標是得，費)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

(2)先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-x+3,設點M的坐標是(m,而一4m+3),

過點M作直線MP||y軸交BC于點M則點尸的是(m,-m+3),求出MP=-巾2+3小，得

到S^Moc=lm,SAMBC=-|m2+|加，根據(jù)△MOC的面積是△MBC面積的3倍，列方程

求得加的值，即可求得點M的坐標；

(3)拋物線上存在一點M使得NBCN=乙4CB,過點8作BE148交CN于點E,貝叱E8。=

90。，證明△ABCmAEBC(ASA)得到BE=4B=2,求出點E的坐標是(3,2),待定系數(shù)法

求出直線CN的解析式，聯(lián)立直線CN的解析式與拋物線的解析式即可求出點N的坐標.

【詳解】(1)解：把4(1,0),8(3,0)代入丫=。/+6:+3得，

(a+b+3=0

(9Q+3b+3=0'

解得｛―

二拋物線的解析式為y=X2-4X+3；

(2)如圖，

對于y=x2—4x+3,

當x=0時，y=3,

.,.點C的坐標為(0,3),

設直線BC的解析式為y=kx+t,代入8(3,0),C(0,3)得,

四二”解得憶。

直線BC的解析式為y=-x+3,

設點M的坐標是(m,m2-4n2+3),過點M作直線MPIIy軸交BC于點N,

則點尸的是On,—m+3),

：?MP=-m+3—(m2—4m+3)=—m2+3m,

V71(1,0),B(3,0),C(0,3),

2

，S^oc=\0C-m=1m,SiM8C=-OB=-|m+jm,AB=2,

MOC的面積是△MBC面積的3倍，

?'?凱=3(一如2+如),

解得m=0(不合題意，舍去)或m=g,

當m=|時，7n2—4m+3=(§-4x|+3=—

，點M的坐標是(I，—§；

(3)拋物線上存在一點N,使得NBCN=乙4CB,過點8作BE148交CN于點E,則ZEBO=

ve(3,o),C(0,3).

：.0B=OC,

...△OBC是等腰直角三角形，

S./.OBC=45。，

：./.OBC=乙EBC=45°,

"：BC=BC,乙BCN=4ACB,

.?.△4BC*EBC(ASA),

Z.BE=AB=2,

...點E的坐標是(3,2),

設直線CN的解析式為y=mx+n,代入E(3,2),C(0,3)得,

[3m+]解得=

(n=3(n=3

直線CN的解析式為y=-：x+3,

聯(lián)立y-x2—4x+3與y=—1x+3得，

fy=-1+3,

ly=%2—4%+3

f_11

解得「二三或｛;二;(不合題意，舍去)，

(y-T

，拋物線上存在一點M使得48CN=UC8,點N的坐標是借

【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一

次函數(shù)的交點問題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，關犍是添加合適的輔助線解決問題.

8.(2022?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點4(一1,0),點B(2,-3),

與y軸交于點C,拋物線的頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點P,使APBC的面積是ABCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點P

的坐標：若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=x2-2x-3

(2