蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題10模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型-共頂點的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題10模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一共頂點的等邊三角形】 1【類型二共頂點的等腰直角三角形】 11【類型三共頂點的一般等腰三角形】 18【典型例題】【類型一共頂點的等邊三角形】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點C為線段上一點，、都是等邊三角形，、交于點M，、交于點，、交于點，連接，下列說法正確的個數(shù)有個．①；②；③；④；⑤若，則．

2．（2023秋·四川涼山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，C為線段上一動點（不與點A，E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點O，與交于點P，與交于點Q，連結(jié)．

求證：(1)；(2)為等邊三角形；3．（2021春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）已知圖1是邊長分別為a和b的兩個等邊三角形紙片和三角形疊放在一起（C與重合）的圖形．

(1)將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．如圖2：在圖2中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)若將上圖中的，繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度，連接、，如圖3：在圖3中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當(dāng)為多少度時，線段的長度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時，線段的長度最小，最小是多少？請直接寫出答案．4．（2023春·廣東梅州·七年級?？计谀境醪礁兄?1)如圖1，已知為等邊三角形，點D為邊上一動點（點D不與點B，點C重合）．以為邊向右側(cè)作等邊，連接．求證：；【類比探究】(2)如圖2，若點D在邊的延長線上，隨著動點D的運(yùn)動位置不同，猜想并證明：①與的位置關(guān)系為：；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在等邊中，，點P是邊上一定點且，若點D為射線上動點，以為邊向右側(cè)作等邊，連接、．請問：是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒有，請說明理由．

【類型二共頂點的等腰直角三角形】例題：（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)【探究】：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點在同一直線上時，則的長是________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形和中，，點E在邊上，與交于點F，連接．(1)求證：；(2)求證：．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_______，、所在直線的位置關(guān)系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）感知：如圖①，和△ADE都是等腰直角三角形，，點B在線段上，點C在線段上，我們很容易得到，不需證明．(1)探究：如圖②，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（），連接和，此時是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由．(2)應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點D落在的延長線上，連接．求：①的度數(shù)；②若，，則線段的長是多少？【類型三共頂點的一般等腰三角形】例題：（2023春·山東泰安·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，與都是等腰三角形，相交于點．

(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時，分別取，的中點，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．3．（2023春·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期末）

（1）如圖1，兩個等腰三角形和△ADE中，，，，連接，．則_______________，此時線段和線段的數(shù)量關(guān)系式_____________________；（2）如圖2，兩個等腰直角三角形和△ADE中，，，，連接，，兩線交于點P，請判斷線段和線段的關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，分別以的兩邊，為邊向外作等邊和等邊，連接，，兩線交于點P．請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)．

專題10模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點的等腰三角形壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一共頂點的等邊三角形】 1【類型二共頂點的等腰直角三角形】 11【類型三共頂點的一般等腰三角形】 18【典型例題】【類型一共頂點的等邊三角形】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知條件等邊三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，進(jìn)一步求證∠BAD=∠CAE，從而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由點B、A、E共線，得∠CAN=60°=∠BAC，進(jìn)一步求證△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等邊三角形．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵點B、A、E在同一直線上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點C為線段上一點，、都是等邊三角形，、交于點M，、交于點，、交于點，連接，下列說法正確的個數(shù)有個．①；②；③；④；⑤若，則．

【答案】①②③④⑤【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，得到，，根據(jù)平行線的判定定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，故③正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，故②正確，推出，故④正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到是等邊三角形，求得，根據(jù)平行線的判定定理得到，故①正確；根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到．故⑤正確．【詳解】解：、都是等邊三角形，，，，，，，，，故③正確；在與中，，，，，，故②正確，在與中，，，故④正確；，是等邊三角形，，，，故①正確；，，．故⑤正確；故答案為：①②③④⑤．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·四川涼山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，C為線段上一動點（不與點A，E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點O，與交于點P，與交于點Q，連結(jié)．

求證：(1)；(2)為等邊三角形；【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知，從而可求出，即可利用“”證明，即得出；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知，AC=BC，即可求證．再根據(jù)可得出，利用“”證明，據(jù)此即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，，，，∴，，；（2）證明：和是等邊三角形，，∴，∴．∴．∴∴．∴，又∵，∴為等邊三角形．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定條件是解題關(guān)鍵．3．（2021春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）已知圖1是邊長分別為a和b的兩個等邊三角形紙片和三角形疊放在一起（C與重合）的圖形．

(1)將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．如圖2：在圖2中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)若將上圖中的，繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度，連接、，如圖3：在圖3中，線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論：(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當(dāng)為多少度時，線段的長度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時，線段的長度最小，最小是多少？請直接寫出答案．【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析(3)當(dāng)為180度時，線段的長度最大，最大值為；當(dāng)為0度或360度時，線段的長度最小，最小值為．【分析】（1）先由等邊三角形判斷出，，再由旋轉(zhuǎn)判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法，即可得出結(jié)論；（3）當(dāng)點在的延長線上時，最大，最大值為，當(dāng)點在線段上時，最小，最小值為，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：點與重合，和，和都是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)知，，在和中，，，，（2）解：，證明：和都是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)知，，在和中，，，；（3）解：當(dāng)點在的延長線上時，最大，最大值為，如圖，

∴當(dāng)為180度時，線段的長度最大，最大值為，當(dāng)點在線段上時，最小，最小值為，如圖，

∴當(dāng)為0度或360度時，線段的長度最小，最小值為．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東梅州·七年級校考期末）【初步感知】(1)如圖1，已知為等邊三角形，點D為邊上一動點（點D不與點B，點C重合）．以為邊向右側(cè)作等邊，連接．求證：；【類比探究】(2)如圖2，若點D在邊的延長線上，隨著動點D的運(yùn)動位置不同，猜想并證明：①與的位置關(guān)系為：；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在等邊中，，點P是邊上一定點且，若點D為射線上動點，以為邊向右側(cè)作等邊，連接、．請問：是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒有，請說明理由．

【答案】(1)見解析(2)平行(3)有最小值，5【分析】（1）由和是等邊三角形，推出，，，又因為，則，即，從而利用“”證明；（2）①由（1）得，得出，，，則；②因為，，所以；（3）在上取一點，使得，連接，可證，，求得，得出是等邊三角形，則，即點E在角平分線上運(yùn)動，在射線上截取，當(dāng)點E與點C重合時，，進(jìn)而解答此題．【詳解】（1）證明：∵和是等邊三角形，∴，，，∵，∴即在和中，，∴；（2）平行，，理由如下：由（1）得，∴，，∴，∴，∵，，∴；（3）有最小值，理由如下：如圖，在射線上取一點，使得，連接，

∵和是等邊三角形，∴，，∴，∴，由三角形內(nèi)角和為，可知：，，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，即點E在的角平分線上運(yùn)動，在射線上截取，連接，在和中，，，∴，則，由三角形三邊關(guān)系可知，，即當(dāng)點E與點C重合，時，有最小值，∵，∴，∴最小值為5．

【點睛】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，正確添加輔助線、掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【類型二共頂點的等腰直角三角形】例題：（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)【探究】：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點在同一直線上時，則的長是________．【答案】(1)，(2)成立，理由見解析(3)或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再作差，得出，再用，即可得出結(jié)論；（2）先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得出，進(jìn)而判斷出，得出，，與交于M，與交于N，利用全等的性質(zhì)和對頂角相等進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①當(dāng)點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用線段的加減即可得出結(jié)論；②當(dāng)點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，求出，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，，利用線段的加減即可得出結(jié)論．【詳解】（1）和都是等腰直角三角形，，，，，點在上，點在上，且，，故：，；（2）成立；如圖2，與交于M，與交于N，

由題意可知：，，，在與中：，，，又，，在中，，，，所以結(jié)論成立；（3）①當(dāng)點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，；②當(dāng)點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，，綜上，的長為或，故答案為:或．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形和中，，點E在邊上，與交于點F，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可證明，即可求證；（2）根據(jù)，可得，從而得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵和是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_______，、所在直線的位置關(guān)系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1），；（2），；理由見解析【分析】（1）延長交于點H，交于點O．只要證明，即可解決問題；（2）由，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長交于點H，交于點O，∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案為：，．（2），；理由如下：如圖2中，∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．3．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）感知：如圖①，和△ADE都是等腰直角三角形，，點B在線段上，點C在線段上，我們很容易得到，不需證明．(1)探究：如圖②，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（），連接和，此時是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由．(2)應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點D落在的延長線上，連接．求：①的度數(shù)；②若，，則線段的長是多少？【答案】(1)成立，證明見解析(2)①45°

②【分析】（1）只需要利用證明即可證明；（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再證明即可得到；②先由勾股定理得到，由全等三角形的性質(zhì)得到，則，；則．【詳解】（1）解：成立，證明如下：∵和△ADE都是等腰直角三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴；（2）解：①∵和△ADE都是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，；∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【類型三共頂點的一般等腰三角形】例題：（2023春·山東泰安·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，與都是等腰三角形，相交于點．

(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由“”可證，可得；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和定理計算．【詳解】（1）解：證明：，，在和中，，，；（2），，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當(dāng)時，是否仍然成立？請寫出你的結(jié)論并說明理由．【答案】(1)①等邊三角形；②證明見解析(2)①成立，理由見解析；②不成立，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)有一個內(nèi)角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)已知可得與不全等，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，∴、是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．②證明：∵、是等邊三角形，∴，，，∵，，∴，在△BAE與△DAC中，∵，∴．∴．（2）①當(dāng)，時，成立．理由：如圖，∵，，，

∴，∴；②當(dāng)，時，不成立．理由：如圖，∵，

∴，，∴與不全等，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的