蘇科版八年級數(shù)學上冊壓軸題攻略專題04全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略(原卷版+解析)

專題04全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】 1【解題模型二一線三等角模型】 5【解題模型三三垂直模型】 12【解題模型四倍長中線模型】 18【解題模型五倍長中線模型】 26【典型例題】【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【變式訓練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結(jié)論仍然成立？【解題模型二一線三等角模型】例題：（2023春·七年級課時練習）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【變式訓練】1．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．已知是經(jīng)過頂點C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上，請解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，題（1）②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確的結(jié)論再給予證明．3．在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．【解題模型三三垂直模型】例題：問題1：在數(shù)學課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并說明理由．【變式訓練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．2．如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點，，．（1）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：；（2）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：；（3）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系：____________．【解題模型四倍長中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【變式訓練】1．如圖，在中，是邊上的中線．延長到點，使，連接．(1)求證：；(2)與的數(shù)量關(guān)系是：____________，位置關(guān)系是：____________；(3)若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．2．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在中，若，，D為邊的中點，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長至點E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”．（2）知識運用：如圖2，在中，D為的中點，，，且線段的長度為整數(shù)．求的長度．

3．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．4．閱讀理解在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應用如圖2，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．【解題模型五倍長中線模型】例題：如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；（3）若，求的度數(shù)．【變式訓練】1．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．2．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．3．如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數(shù)．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．5．將兩個全等的直角三角形△ABC和△DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．（1）求證：AF+EF＝DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°<β<180°，其它條件不變，如圖②．你認為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由；（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°<α<60°，其它條件不變，請在圖③中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立．

專題04全等模型專題：全等三角形中的常見五種解題模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】 1【解題模型二一線三等角模型】 5【解題模型三三垂直模型】 12【解題模型四倍長中線模型】 18【解題模型五倍長中線模型】 26【典型例題】【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補，∠BEC與∠AEC互補，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結(jié)論仍然成立？【答案】(1)見解析；(2)CE+BG=EG，理由見解析；(3)當∠EDG=90°-α時，（2）中結(jié)論仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判斷出，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．（2）猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據(jù)，可得，，再根據(jù)，判斷出，據(jù)此推得，所以，最后根據(jù)，判斷出即可．（3）根據(jù)（2）的證明過程，要使仍然成立，則，即，據(jù)此解答即可．(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當時，仍然成立．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【解題模型二一線三等角模型】例題：（2023春·七年級課時練習）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見解析；應用：6【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；應用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：，進而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；應用解：∵，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【答案】(1)見解析(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△DCE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求解．(1)證明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE．(2)解：∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴與∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定，明確角度的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．已知是經(jīng)過頂點C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上，請解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，題（1）②中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確的結(jié)論再給予證明．【答案】(1)①見解析；②，見解析(2)不成立，，見解析【分析】（1）①利用垂直及互余的關(guān)系得到，證明≌即可；②利用三等角模型及互補證明，得到≌即可；（2）利用互補的性質(zhì)得到，證明≌即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．證明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運用三等角模型快速證明三角形全等是解題關(guān)鍵．3．在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【解題模型三三垂直模型】例題：問題1：在數(shù)學課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當直線CE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并說明理由．【答案】問題1，AD＝EC，證明見解析；問題2：DE+BE＝AD；問題3：DE＝AD+BE，證明見解析．【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．【詳解】解：（1）AD＝EC；證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；（2）DE+BE＝AD；由（1）已證△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD∴CE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BE＝AD；（3）DE＝AD+BE．證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CD+CE＝DC，∴DE＝AD+BE．【點睛】此題主要考查了鄰補角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強．【變式訓練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．2．如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點，，．（1）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：；（2）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：；（3）當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系：____________．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；（2）結(jié)論：DE=AD-BE．與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．（3）結(jié)論：DE=BE-AD．證明方法類似．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）如圖2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．（3）DE=BE-AD；如圖3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【點睛】本題主要考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)已知證明△ACD≌△CBE是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強．【解題模型四倍長中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長到，使,證明兩邊之和大于，兩邊之差小于，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，∵為中點，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式訓練】1．如圖，在中，是邊上的中線．延長到點，使，連接．(1)求證：；(2)與的數(shù)量關(guān)系是：____________，位置關(guān)系是：____________；(3)若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，(3)，證明見解析【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定定理，即可證得；(2)由，可得，，據(jù)此即可解答；(3)根據(jù)三角形全等的判定定理，可證得，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）證明：是BC邊上的中線，，在與中，；（2）解：，，，，故答案為：，；（3）解：證明：，，，，在和中，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在中，若，，D為邊的中點，求邊上的中線的取值范圍．

解決此問題可以用如下方法：延長至點E，使，再連接，可證，從而把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”．（2）知識運用：如圖2，在中，D為的中點，，，且線段的長度為整數(shù)．求的長度．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系，得到，進而得出結(jié)論即可；（2）倍長中線法，證明，三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，即可得解．【詳解】解：（1）由題意，，∴，∴，∴，即：，∴．故答案為：．（2）如圖，延長至點E，使，連接．

因為D為的中點，所以．在和中，，所以，所以．因為，且，，所以，所以．因為線段的長度為整數(shù)，所以．【點睛】本題考查全等是三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系．熟練掌握倍長中線法，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．3．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；（2）①延長OP至E，使PE=OP，證明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BE=OD；②證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①證明：延長OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②證明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．閱讀理解在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應用如圖2，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．【答案】閱讀理解：類比應用：拓展創(chuàng)新：【分析】閱讀理解：由全等的性質(zhì)推出，再根據(jù)，可得結(jié)論．類比應用：延長，交于點F，先證得，再由是的平分線知，從而得，據(jù)此知，結(jié)合可得答案．拓展創(chuàng)新：延長，交于點，根據(jù)平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結(jié)論．【詳解】閱讀理解：由題可知，，∴．∵，．∴，∴，∴．故答案為：．類比應用：．理由如下：如圖1，延長，交于點．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分線，∴，∴，∴．∵，∴．拓展創(chuàng)新：如圖2，延長，交于點．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分線，∴，∴，∴．∵，∴．故答案為：．【點睛】本題是三角形的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識點，綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線，倍長中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【解題模型五倍長中線模型】例題：如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；（3）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形全等的證明方法SAS證明兩三角形全等即可；（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代換證明即可；（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，進而可知∠CFA【詳解】（1）∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（SAS）（2）CE=BD且CE⊥BD，證明如下：將直線CE與AB的交點記為點O，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴CE⊥BD．（3）過A分別做AM⊥CE，AN⊥BD由（1）知△AEC≌△ADB，∴兩個三角形面積相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由（2）可知∠BFC=∠BAC=∴∠DFC=180°-∴∠CFA=∠DFC=【點睛】本題考查了全等三角形的證明，以及全等三角形性質(zhì)的應用，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；【變式訓練】1．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【答案】問題發(fā)現(xiàn)：，；拓展探究：成立，理由見解析【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；拓展探究：用SAS證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得．【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長BD，交AE于點F，如圖所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案為：，；拓展探究：成立．理由如下：設(shè)與相交于點，如圖1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABE≌△CBD（SAS），進而得證；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經(jīng)過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）【分析】（1）先利用已知條件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可證△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；（2）通過觀察可知△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠AMB．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∴；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉(zhuǎn)，可以得到；（3）由（1）知，，∴．【點睛】本題利用了全等三角形的判定、性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等式的性質(zhì)等．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出