中考數(shù)學二輪復習核心考點專題反比例函數(shù)核心考點分類突破（解析版）

專題18反比例函數(shù)核心考點分類突破(解析版)

第一部分將西韶析

考點一分比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

類型1比較函數(shù)值的大小

典例I(2022春?上蔡縣期中)已知雙曲線y=((k<0),過點(1,yi),(3,*),(-2,*),則下列結(jié)論

正確的是()

A.y\<y2<y3B.y3<y\<yiC.yi<y3<yiD.y3<yi<y\

思路引領(lǐng)：根據(jù)2的符號確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

解：???&V0,

.?.反比例函數(shù)(k<0)的圖象在第一、四象限.

二?反比例函數(shù)的圖象過點(1,)“)、(3,*)、(-2,2),

，點(1,yi).(3,y2)在第四象限，(-2,y3)在第二象限，

/.)'|<)?2<0,J3>0,

/?yi<y2<y3.

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：當女vo時，反比例函數(shù)avo)

的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi))，隨X的增大而增大.

典例2(2022秋?惠城區(qū)校級期末)已知點A(3,yi),8(?6,”)，C(-5,*)都在反比例函數(shù)y=1的

圖象上，則()

A.y\<y2<y3B.y3<y2<y\C.y3<y\<y2D.yi<y\<y3

思路引領(lǐng)：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，y隨x的

增大而減小，再根據(jù)點的坐標特點得出即可.

解：???反比例函數(shù)y=：中」=4>0,

???反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

???點A(3,yi),B(-6,”)，C(-5,y3)都在反比例函數(shù)y=(的圖象上，

???B、。在第三象限內(nèi)，4在第一象限內(nèi)，

J3<J2<0

.?.y3Vy2Vyi，

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，能熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

類型2與反比例函數(shù)有關(guān)的多結(jié)論選擇題

典例3（2021秋?蓬萊市期末）一次函數(shù)丁=履+6（以0）中變量x與y的部分對應(yīng)值如下表

x-10123...

y...86420...

下列結(jié)論：

①y隨x的增大而減?。虎邳c（6,-6）一定在函數(shù)的圖象上：

③當x>3時，y>0；④當x<2時，（hl）x+b<0.其中正確的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

思路引領(lǐng)：根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后根據(jù)一次函數(shù)的特點進行選擇即可.

解：由題意得，當x=l時，y=4,當x=0時，y=6,

嚶泮,

解得北：二，

函數(shù)解析式為：y=-2v+6,

①???2=-2<0,

???）隨x的增大而減小，正確；

②當x=6時，y=-2x6+6=-6,

，點（6,-6）一定在函數(shù)y=丘+6的圖象上，正確；

③由表格得出當x>3時，y<0,故錯誤；

④由表格得出當xV2時，kx+b>x,

:.（左-1）x+b>0,故錯誤；

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點

的理解和掌握，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵.

類型3由性質(zhì)逆推函數(shù)解析式

典例4（2022?泰州）已知點（-3,?）、（-1,戶）、（1,*）在下列某一函數(shù)圖象上，且），3VyiV?，那么

這個函數(shù)是（）

A.y=3xB.y=37C.y=D.y=—

思路引領(lǐng)：根據(jù)所學知識可判斷每個選項中對應(yīng)的函數(shù)的增減性，進而判斷”，yi,）?之間的關(guān)系，再

判斷即可.

解：A.y=3x,因為3>0,所以），隨工的增大而增大，所以>1V”V2,不符合題意；

B.y=3/,當x=l和x=?l時，y相等，即*=",故不符合題意；

C.y=當xVO時，y隨x的增大而減小，x>0時，y隨x的增大而減小，所以”VyiV",不符合題

意；

D.y=-1,當x<0時，.y隨x的增大而增大，x>0時，y隨x的增大而增大，所以符合題

意；

故選：D.

總結(jié)提升：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵，也可直接代入各個選項中的函數(shù)解析中，再判斷y的大小.

考點二反比例函數(shù)圖像上點的坐標的特征

類型1求比例系數(shù)k的值

典例5（2022?南通）平面直角坐標系xOy中，己知點A（〃?，6加），B（3/n,2/i）,C（-3m,?2〃）是函數(shù)

y=。（厚0）圖象上的三點.若SMBC=2,則k的值為.

思路引領(lǐng)：連接。4,作AO_Lx軸于8瓦Lx軸于E,由8、。點的坐標可知8、C關(guān)于原點對稱，則

BO=CO,即可求得SAAOB=1?根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出ShAOB=S梯形AOEfi+S△人0。-SABOE

=S^ADEB,即可得出j6〃+2〃4?|3m-ni\=1,求得m2=彳，由于k=6m2,即可求得k=

解：如圖，連接。4,作AOLr軸于。，AE_Lx軸于￡

b

二?點A（〃?，6w）>B（3〃z,2/t）>C（-3m,-2w）是函數(shù)（原0）圖象上的三點.

***A=6/w~—6mn,

?\n=m,

?\B(3/n,2w),C(-3m?-2m),

B、。關(guān)于原點對稱,

BO=CO,

SAABC=2,

S4Aoli=I,

_

SAAOB=S梯形A/)E肝SAA。。ShBOE=SHEADERt

1

-|6/M+2W|*|3W-z??|=1>

21

陽=祥

1

=-

6X38

4)

:=

反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，求得AA08

的面積為1是解題的關(guān)鍵.

典例6（2022?鄲州區(qū)校級一模）如圖，點A、8在反比例函數(shù)），=[（x>0）的圖象上，延長A8交x軸于C

點，若AAOC的面積是24,且點B是AC的中點，則k的值為（）

4020

A.—B.16C.8D.—

33

思路引領(lǐng)：先根據(jù)8是4c的中點，表示出△BOC的面積，再利用女的幾何意義表示出△AO〃和aBOG

的面積，即可得出AAHC和△KGC的面積，易證△AHCs/^GC根據(jù)面積的比等于相似比的平方，列

方程即可求出％的值.

解：連接08,過點A作4H_Lx軸于點”，過點8作GB_Lx軸于點G,如圖所示：

?,^ABOC=7spoc=2x24=12>

根據(jù)女的幾何意義，

SAAOH=SABOG=荻,

1

SAAHC=ShAOC-S^AOH=24-2k,

S^BGC=ShBOC-SABOG=12一/，

,:NAHC=N8GC=90。，

4ACH=4BCG,

:.XAHCs^BGC,

???B是AC的中點，

???相似比為1：2,

，面積的比為1：4,

即SABGC：SDHC=1：4,

:.(12-1fc)：(24-知=1：4,

解得k=16.

故選:B.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，運用三角形中線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)是解決本

題的關(guān)鍵.

類型2判斷變化趨勢

典例7（2022?丹東一模）如圖，在平面直角坐標系中，點4是雙曲線（x>0）上的一個動點，過點A

作入軸的垂線，交x軸于點8,點A運動過程中AAO8的面積將會（）

k

A.逐漸增大B.逐漸減小

C.先增大后減小D.不變

思路引領(lǐng)：比例系數(shù)2的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以

及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變，所以點A運動過程中的面積將會不變，都

是：x3=1.5,據(jù)此解答即可.

解：根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，可得

點A運動過程中A4OB的面積將會不變，

△AOB的面積為：1x3=1.5.

故選：D.

總結(jié)提升：此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)2的幾何意義的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在反比例

函數(shù)的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是且保

持不變.

類型3求幾何圖形的面積

典例8（2022?如皋市模擬）如圖，點A為函數(shù)（x>0）圖象上一點，連接。4,交函數(shù)）=:（x>0）

的圖象于點B,點。是x軸上一點，且AO=AC,則ZUBC的面積為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可以分別設(shè)點A、點8的坐標，根據(jù)點0、A、8在同一條直線上可以得到A、8的

坐標之間的關(guān)系，由A0=4C可知點C的橫坐標是點A橫坐標的兩倍，從而可以得到△人的面積

解：

41

設(shè)點A的坐標為（a,一），點8的坐標為（b,-）

ab

???點C是x軸上一點，且AO=AC

???點C的坐標為（2a,0）

4

設(shè)過點0、點A的解析式為則-=ka

a

，直線OA的解析式為：y=

又二點3在直線上，

4

:,京=4

???：=±2（負值不合題意，舍去）

D

1411

.?S&ABC=SAAOC-SAOBC=2x2ax1之x2ax萬=4-2=2

故答案為：2

總結(jié)提升：此題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.通過一次函數(shù)，三角形面積的計算，突出考

查的目的.

類型4求點的坐標或字母的值

典例9（2022春?寶應(yīng)縣期末）如圖，點4和點E（2,1）是反比例函數(shù)）=［（x>0）圖象上的兩點，點、B

在反比例函數(shù)），=q（x<0）的圖象上，分別過點A、B作y較的垂線，垂足分別為點C、D,AC=BD,

連接A8交），軸于點F.

（1）求公

（2）設(shè)點A的橫坐標為m點b的縱坐標為機，求證：am=-2.

（3）連接DE,當NCE￡>=90。時，求A的坐標.

思路引領(lǐng)：(1)將點E的坐標代入反比例函數(shù)y=[(x>0),即可得出答案；

(2)首先表示出A,5的坐標，再利月ASA證明AAC尸@尸，得CF=O凡從而得出尸的縱坐標；

a2

(3)根據(jù)NCEO=90。，得CD=2EF,則,=2d2?+(1—m)2,由(2)知，￡=一加，代入解關(guān)于，〃的

方程即可.

(1)解：???點E(2,1)是反比例函數(shù)y=((x>0)圖象上的點，

，￡=1x2=2；

(2)證明：???點4的橫坐標為小

???點A的縱坐標為2,

a

YAC=BD,

\AC//BD,

:.^CAF=NDBF,NACF=/BDF,

'：AC=BD.

A(ASA),

:,CF=DF,

,2

??〃!=-

a

?,am=-2；

(3)解：VZCED=90°,CF=DF,

：.CD=2EF,

8

=2〃2+（1-何2,

2

由（2）知L，—=—m,

a

-4m=2j22+（1—m）2,

解得m=\或一宗

當w=l時，a=-2（舍去），

當m二一，時,a=

65

（一,—）.

53

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，全等三角形的判

定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，運用方程思想是解題的關(guān)鍵.

典例10（2022春?新吳區(qū)期末）如圖，點A、。分別在函數(shù)），=一』），=號的圖象上，點8、C在x軸上，若

解：設(shè)點6（b,。），點C（a,0）,

???點4在反比例函數(shù)），=一］的圖象上，

，點AQb,-1）,即。8=-兒AB=

bb

???點c在反比例函數(shù)），='的圖象上，

30

，點。（/-）,即OC=a,CD=

aa

又「ABC。是正方形，

:,AB=BC=CD,

即公率

31

-

一--2

2f

1

-

2

故答案為：（一%2）.

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及正方形的性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上點的坐

標特征以及正方形的性質(zhì)是正確解答的前提，設(shè)出點從點C坐標，分別表示出正方形的邊長是解決問

題的關(guān)鍵..

考點3反比例系數(shù)的幾何意義

類型1求反比例系數(shù)

典例11（2021?寶應(yīng)縣一模）如圖，團48CD的頂點4、B在x軸上，頂點。在），軸匕頂點C在第一象限,

C.若團48co的面積為3,貝lj"=

思路引領(lǐng)：過C作通過說明可得矩形OOCE的面積等于平行四邊形A8CQ

的面積，設(shè)出點。的坐標，用坐標表示出線段CE，OE,結(jié)論可求.

解：如圖，過點。作CE_LA8于E,連接OC,

???48?CE=3.

???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD=BC,AD//BC.

\/DAO=ZCBA.

?：DO.LAO,CE1AB,

:,乙DOA=4CEB=90°.

???△004絲△CEBCAAS).

S^ODA=SACEB.

；?S矩形D0EC=S-平行四邊形ABCD=3.

：?0E?CE=3.

設(shè)C(a,b),

???c在第一象限，

：.a>0,b>0.

**?0E=atCE=b.

；,0E?CE=ab=3.

**.k=ab=3.

故答案為：3.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象上的點的坐標的特征，

平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì).用點的坐標表示相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

典例12如圖，在平面直角坐標系中，過原點的一條直線分別與反比例函數(shù)y=(x<0)和反比例函數(shù)

的圖象交于、兩點，且。則上的值為

Jx(x>0)4808=24,-----

思路引領(lǐng)：過點A作AC_Lx軸于點C,過點B作8O_Lx軸于點。，則可證出根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)2的幾何意義即可求出攵值，再根據(jù)反比例函數(shù)尸［(x>0)的圖象

在第四象限，可確定2值，此題得解.

解：過點A作AClx軸于點C,過點B作BD±x軸于點。，如圖所示.

??，4CJ_x軸，軸,

/.ZACO=ZBDO=QO0.

又'：4A0C=4B0D,

???△AOCS/\BO。,

.S^BODBO、\k\

(—)2=4,agjt--=4,

S^AOCAO1

：.k=±4.

???反比例函數(shù)）=[（x>0）的圖象在第四象限,

:?k=-4.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)系

數(shù)k的幾何意義，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出k值是解題的關(guān)鍵.

類型2求幾何圖形的面積

典例13（2022春?雨花區(qū)校級月考）如圖，正比例函數(shù)），=履與函數(shù)y=1的圖象交于A,B兩點,BC//x

軸，AC〃y軸，則SAABC=.

思路引領(lǐng)：先設(shè)4點坐標，根據(jù)反比例函數(shù)正比例函數(shù)的中心對稱性再確定8點坐標，于是可得到C點

坐標，然后根據(jù)三角形面積公式進行計算.

44

解：設(shè)A點坐標為（m,一）,則5點坐標為（-〃?，一三）,

mm

；?C點坐標為（“,-去）,

O

工AC=MBC=2m,

,118

:.2ABC的面積=5AC?BC=5?2〃”一=8.

乙N771

故答案為：8.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出A、B、。的坐標是解題的

關(guān)健.

考點4反比例函數(shù)綜合題

類型1反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

典例14（2021?武漢模擬）將雙曲線），=用向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新雙曲

線與直線y=kx-2-k（^>0）相交于兩點，其中一個點的橫坐標為a,另一個點的縱坐標為b,則（a

-l）（b+2）的值為（）

A.-4B.-3C.4D.9

思路引領(lǐng)：由于一次函數(shù)），=依-2-&過定點產(chǎn)（1,-2）,P（1,-2）恰好是原點（0,0）向右平移1

個單位長度，再向下平移平移2個單位長度得到的，雙曲線），=,向右平移1個單位長度，再向下平移2

個單位長度，得到的新雙曲線與直線了=履-2?2（々>0）相交于兩點，在平移之前是關(guān)于原點對稱的，

表示出這兩點坐標，根據(jù)中心對稱兩點坐標之間的關(guān)系求出答案.

解：:一次函數(shù)y=Ax?2?k（攵>0）,

???當x=l時，y=-2,

???一次函數(shù)的圖象過定點尸（1,-2）,

???尸（1,-2）恰好是原點（0,0）向右平移1個單位長度，再向下平移平移2個單位長度得到的，

???將雙曲線）=1向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新雙曲線與直線曠=區(qū)-2-

k（4>0）相交于兩點，

33

???在平移前是關(guān)于原點對稱的，平移前，這兩個點的坐標分別為（。7,—）,（―，人+2）,

a-1b+2

??…一~b+2f

???Ca-1)32)=-3,

故選:B.

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，理解平移之前，相應(yīng)的兩點關(guān)于原點

對稱是解決問題的關(guān)鍵.

典例15(2022春?海安市期中)平面直角坐標系xOy中，直線y=2x與雙曲線y=[(A>2)相交于A,B兩

點，其中點A在第一象限.設(shè)M(m,1)為雙曲線y=((k>2)上一點，直線AM,分別交y軸于C,

力兩點，則。C-。。的值為.

思路引領(lǐng)：設(shè)A(a,2a),貝IB(-小-2a),分別待定系數(shù)法求出AM和8M的解析式，進一步求出C

和。點坐標，即可求0C-0。的值.

解：根據(jù)題意，設(shè)A(a,2a),則B(-a,-2a),

VM(m,1),

設(shè)AM的解析式為y=nx+b(n#0),

代入A,M點坐標，得｛器;1二,

2。一1

a—m

a-2am,

a-m

2a-1,a-lam

的解析式為

?'?AMy=-a--—--m-x-\----a-—--m---

a-2am

：.C(0,),

a-m

：?a-2am

0C=a-m

設(shè)BM的解析式為y=cx+d(今0),

znf-ac+d=—2a

代入B,M點坐標,tcm+d=1

l+2a

m+a

a-2am,

m+a

.MM的解析式為尸熟x+需,

a-2am

：.D(0,---------),

m+a

：a-2am

.0D=m+a

???4,M都在反比例函數(shù)圖象上,

/.a*2a=in*\f

??m—2。~,

a—2ama—2am_2a2_4。2m

：.OC-OD==2?

a-mm+a~a^-m21

故答案為：2.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

類型2反比例與三角形綜合

典例16（2022?宿遷）如圖，點4在反比例函數(shù)尸］（x>0）的圖象上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形

OAB,其中NOA8=90。，AO=AB,則線段08長的最小值是（）

思路引領(lǐng)：根據(jù)三角形。AB是等腰直角三角形，當08最小時，0A最小，再根據(jù)兩點間的距離公式解

答即可.

解：???三角形OA8是等腰直角三角形，

???當。8最小時，04最小，

2

設(shè)A點坐標為（a,-）,

a

0A=JCJ2+

V（a-1）2>0,

???（a令>0,

兩邊同時開平方得：。一［=0,

9

?,?當°=，時，OA有最小值，

解得41=魚，a2=—y/2（舍去）,

?"點坐標為（VLV2）,

.?.04=2,

???三角形0AB是等腰直角三角形，03為斜邊,

：.0B=y[2OA=2V2.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型3反比例與四邊形綜合

17.（2021?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，矩形0ABe的兩邊落在坐標軸上，反比例函數(shù)>=（的圖象在第一象限

的分支交AB于點尸，交BC于氤E,直線尸E交y軸于點。，交x軸于點F,連接4c.則下列結(jié)論：

①四邊形ADEC1為平行四邊形；②S四功影ACFP=2k；③若SACEF=1,SAPBE=4,貝！I&=6；④若3Ap

則WA=DO.

其中正確的是.

lzlz

思路引領(lǐng)：設(shè)點3的坐標為（b,。），得到P（一,a）,E（b,-）,利用待定系數(shù)法求出直線PE的解析

ab

ikk

式為尸一就+g+a,再求出廣（1+b，0）,P（-,a）,從而證出4尸=。尸，所以四邊形0ABe是矩形,

證得四邊形AC/P是平行四邊形，所以S四地形AC"=CP?OA=：?a=2,故②錯誤；由AC〃。凡OA////

I

BC,可證得四邊形AOEC是平行四邊形，故①正確；先由SACM=1，判斷出二=2,再由5”牝=4,

ab

1K

-a

2由34P=BP,判斷出"=4匕再求出點。

坐標，即可判斷出④錯誤；即可得出結(jié)論.

解：設(shè)點8的坐標為(瓦a),

???四邊形A3CO為矩形，

AA(0,?),C(b,0),

???點尸，E在反比例函數(shù)圖形上，

kk

，P(—,a),E(b,—),

ab

K

Q+

???直線PE的解析式為y=ba

F1?+

令y=0,代入得，x=-+b,

k

??F(-4-Z?,0),

a

:?CF="b?b=1

k

VP(-,a),

a

???7

：,AP=CF.

???四邊形。ABC是矩形,

：.OA//BC,AB//OC,

???四邊形ACFP是平行四邊形,

L

?\S^ACFP=CF-OA=^a=k,故②錯誤:

.??四邊形AC卜P是平行四邊形,

：.AC//DF,

'：0A////BC,

???科邊形AOEC是平行四邊形，故①正確;

V5ACEF=L

1kk

x-x-=1,

lab

k￡

工=2'

'：SAPBE=4,

1kK

-b-4

2a-

ab?2-Z+怎B=8,

k2

???--2k-6=0,

2

:?k=-2(舍)或％=6,故③正確,

若3Ap=BP,

,,AP1

則一=

BP3

._1

~4

(b,a),

AB=b,

k

P(-,a),

AP=：,

k

-

-a1

d一,

4

ab=4k,

Q

++

直線的解析式為)，=a

PEbA

k

D(0,—+a),

b

A(0,a),

AD=五+a-a=3,

*=#-==W=3故④錯誤;

DO-+ak+abk+4k5

b

正確的有①@.

故答案為：①@.

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形和平行四邊形的面積，平行四邊

形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，判斷出四邊形AP”1是平行四邊形是解本題的關(guān)鍵

第二部分專題提憂別練

一.選擇題（共7小題）

1.（2020春?江岸區(qū)校級月考）如圖P為雙曲線產(chǎn)［上到原點的線段的長度最短的一個點，若NAP8=45。,

則AAO8的面積為（）

B.y[2k

C.kD.與左無關(guān)的一個確定值

思路引領(lǐng)：由P為雙曲線），=5上到原點的線段的長度最短的一個點,可得點P在第一象限的角平分線上,

于是。尸=或女.通過說明△從尸OS^PBO,得出比例式，三角形面積可求.

解：連接OP,則02二或匕如圖，

???/APO+NBPO=45。.

???。尸為第一象限的角平分線，

:./尸0)=45°.

:.4PBO+NOPB=450.

:.NAPO=NPBO.

,?/AOP=/尸。8=900+45。=135°,

:.XAPOs叢PBO.

.0AOP

**0P-OB'

:.0鏟=OA?OB.

??SMOB=204xOB=20P2=2*2k=k.

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，三角形相

似的判定與性質(zhì)，依據(jù)點的坐標表示相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

2.（2016?本溪）如圖，點4、C為反比例函數(shù)y=（（%V0）圖象上的點，過點A、C分別作A8_Lx軸，CO_L

x軸，垂足分別為8、D,連接。A、AC.OC,線段OC交AB于點E,點E恰好為OC的中點，當AAEC

kIk12k

思路引領(lǐng)：設(shè)點。的坐標為。小一），則點—）,AC-m,—）,根據(jù)三角形的面積公式可得

m22m2m

出SMEB-*=I，由此即可求出次值.

k1kl2k

解：設(shè)點。的坐標為Cm,一），則點E（一〃?，一）,4（-w,—

m22m2m

1133

-7\z%

?

加!

(-一7f-=--=-

22/\82

故選

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點C的坐標，利用點。的橫

坐標表示出4、E點的坐標.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，利用反比例函數(shù)圖象上

點的坐標特征表示出點的坐標是關(guān)鍵.

3.（2021秋?渭濱區(qū)期末）如圖，反比例屋數(shù)y的圖象經(jīng)過A（-1,-2）,則以下說法錯誤的是（）

A.k=2B.x>0,y隨x的增大而減小

C.圖象也經(jīng)過點B(2,1)D.當xV-1時:y<-2

思路引領(lǐng)：把4(-1,-2)代入反比例函數(shù)的解析式能求出匕把A的坐標代入一次函數(shù)的解析式得

出關(guān)于&的方程，求出方程的解即可.

解：把A(-1,-2)代入反比例函數(shù)的解析式得：k=xy=2t故A正確；

?：k=2>0,

??.)'隨x的增大而減小，

y隨工的增大而減小，故8正確；

???反比例函數(shù)的解析式為產(chǎn)今

把x=2代入求得y=1,

???圖象也經(jīng)過點8(2,1),故C正確：

由圖象可知xV-1時，則)>-2,故。錯誤；

故選：￡).

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，題目較好，難度

適中.

4.(2021春?南開區(qū)校級月考)若點A(xi,-3),B(A2,1),C(A3,3)在反比例函數(shù)y=—葭的圖象上,

則加，X2,的大小關(guān)系是()

A.XI<X2<X3B.X3<X\<X2C.X\<X3<X2D.X2<X3<X\

思路引領(lǐng)：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出XI，4,刈的大小關(guān)系，本題得以解決.

解：???2=-9,

???反比例函數(shù)丫=一\的圖象在二四象限，且在每個象限y隨x是增大而增大，

???在第二象限內(nèi)的點對應(yīng)的縱坐標都大于零，在第四象限內(nèi)點對應(yīng)的縱坐標都小于零，

..,點4(xi,-3),B(x2,1),C(工3,3)在反比例函數(shù)y=―q的圖象上，

.*.J2<X3<XI,

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的

性質(zhì)解答.

5.（2017秋?槐蔭區(qū)期末）某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,2）,且y隨x的增大而減小，則這個函數(shù)的表達

式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-j=3x-1

思路引領(lǐng)：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為），=履+4y隨x增大而減小，則2V0；圖象經(jīng)過點（1,2）,可得鼠b

之間的關(guān)系式.綜合二者取值即可.

解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=^+b,

???圖象經(jīng)過點（1,2）,

:?k+b=2；

???），隨x增大而減小，

：,k<0.

即上取負數(shù)，滿足2+b=2的"b的取值都可以.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)，為開放性試題，答案不唯一.只

要滿足條件即可.

6.（2021?北儲區(qū)校級模擬）如圖，一次函數(shù)（,時0）的圖象與反比例函數(shù)y=-警的圖象相交于

An1

A、〃兩點，延長30交反比例函數(shù)圖象的另一支于點C,連接AC交x軸于點。，若大二，，則△然「

AC4

28632萬

A.8V3B.-------c.10V3D.---

33

思路引領(lǐng)：根據(jù)8、。的對稱性，只要求得ZkAOB的面積，即可求得AABC的面積.

解：如圖：作AE_Lx軸于E,。尸_Lx軸于尸，AG_Lx軸于G,

：.AE//CF,

:.2AEDs^CFD,

AEAD

_AD_1

?~~~=一，

AC4

?A_EA__D_1

CFCD3

設(shè)AE=m則C尸=3小

根據(jù)對稱性可得點B（—前~,3a）.

**ShAOB=S^BOG^S梯形A8GE-ShAOE=S梯形ABGE，

?c1,q、/4點1673

??b&AOB=K（5—+------）=-5—，

23aa3

,c_32/3

??S&ABC2s△405—3，

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例

函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，表示出點的坐標是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?臨沐縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，將直線y=-3x向上平移3個單位，與），軸、x軸分別

交于點A、B,以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC.若反比例函數(shù)y=[（x>0）的

圖象經(jīng)過點C,則&的值為()

A.2B.3C.4D.6

思路引領(lǐng)：過點。作CE_Lx軸于點E,作CRLy軸于點尸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證出△AC/g

△BCE(A45)＞從而得出S矩形OECF=S四邊形08cA=SAAO8+S”5C,根據(jù)直線A8的表達式利用一次函數(shù)圖

象上點的坐標特征可得出點4、8的坐標，結(jié)合勾股定理可得出A6的長度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合反

比例函數(shù)系數(shù)2的幾何意義，即可求出上值，此題得解?.

解：過點。作CE_Lx軸于點E,作CP_L)，軸于點尸，如圖所示.

???將直線y=-3x向上平移3個單位可得出直線AB,

:.直線AB的表達式為y=-3x+3,

，點4(0,3),點8(1,0),

：.AB=y/OA2+OB2=V10,

???△ABC為等腰直角三角形，

:.AC=BC=V5,

:?S強形OECF=SSAOB+SAABC=Ixlx3+1XV5XV5=4.

???CE_Lr軸，。尸_1_丁軸，

???/EC尸=90°.

???△ABC為等腰直角三角形，

；?/ACF+NFCB=NFCB+/BCE=90。,AC=BC,

:./ACF=NBCE.

在A4Cr和ABCE中，

/-AFC=乙BEC=90°

Z.ACF=乙BCE,

AC=BC

:.XACF出XBCE(/LAS),

?'?SAACF=S^BCE>

S用形OECF=S四邊形OBCA=SAAOB+SAABC.

???反比例函數(shù)y=[（x>0）的圖象經(jīng)過點C,

:,k=S矩毯OECF=4,

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)2的幾何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的

坐標特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

結(jié)合角的計算，證出（AAS）是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共8小題）

8.（2020?江夏區(qū)模擬）已知一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象的一個交點為（1,3）,則另一

個交點坐標是.

思路引領(lǐng)：反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱.

解：???反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱，

，另一個交點的坐標與點（1,3）關(guān)于原點對稱，

???該點的坐標為（-1,-3）.

故答案為：（-1,-3）.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，要求同學們要熟練掌握關(guān)于原點對稱的兩個

點的坐標的橫、縱坐標都互為相反數(shù).

9.（2021秋?三明期末）如圖，點A,8為反比例函數(shù)）=[（x>0）圖象上的兩點，過點A作x軸的垂線,

垂足為C，AC與交于點。，OD=》B.若AOCO的面積為2,則々的值為.

思路引領(lǐng)：先設(shè)點。坐標為"，b）,得出點8的坐標為（|〃，4）,再根據(jù)AOCO的面積為2,列出關(guān)

系式求得Z的值.

解：作切，Lx軸于￡

*/AC±x軸于C,

：.AC//BE,

?BEOEOB

**CD~OC~OD

設(shè)點。坐標為（a,b）,

*：OD=紛3,

33

，BE=*CD,OE=^OC,

33

--

22

9

-

4

??△OCO的面枳為2,

1

F

P

2

浦=

2

仁4

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)人的幾何意義，以及運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，

根據(jù)△COD的面積為2列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

10.（2020秋?乳山市期末）反比例函數(shù)尸弓和尸紙第一象限的圖象如圖所示.點48分別在尸,和尸］

的圖象上，48〃），軸，點。是），軸上的一個動點，則ZU8C的面積為.

思路引領(lǐng)：連接04、0B,延長48,交x軸于。，如圖，利用三角形面積公式得到SAOA5=S”8C,再根

01

據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)々的幾何意義得到Sa0A0=2?S&OBD=2,即可求得S&OAB=S&OAD-S^OBD=1.

解：連接0A、0B,延長48,交x軸于￡>,

??N8〃y軸，

???AOLi軸，OC//AB,

:.SAOA8=SAABC,

1311

而S^OAD=2x3=2?S4OBD=2x1=2，

S^OAB=SAOAD-S&OBD=1,

:.S&ABC=1>

故答案為：1.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=［圖象中任取一點，過這

一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值伙I.

II.(2020秋?溫江區(qū)校級期末)如圖，點A是反比例函數(shù))=((Q>0)圖象位于第一象限內(nèi)的一支上的點，

OB

過點4作軸于點B,過點8作BC；