中職職高數(shù)學章節(jié)知識點

第一章集合.

一、集合的概念

1、集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性。

2、元素與集合的關(guān)系：?！闍,。任A

3、常用數(shù)集

集合名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

表示NN+或N*ZQR

二、集合之間的關(guān)系

注：1、子集:一個集合中有n個元素，則這個集合的子集個數(shù)為2”,真子

集個數(shù)為2"-1。

2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

三、集合之間的運算

1、交集：APlB={%|xeAJlxe5}

2、并集：AUB={x|xeA或xrwB}

3、補集：={x|xeU且,xeA}

四、充要條件：

p=q，〃是q的充分條件，<7是p的必要條件。

p=q,p是的充要條件，'/是〃的充要條件。

第二章不等式

一、不等式的基本性質(zhì)：

1、加法法則：a>ba±l>b±\

2、乘法法則：a>b2a>2b;-2a<-2b

3、傳遞性：a>b\b>ca>c

4、移項:Q+1=0

a=-\

二、一元二次不等式的解法

A=/72-4acA>0△=0A<0

y

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

e/x2x

3>0)的圖象

---------------0

4°AX1=X2X

有兩個不等的有兩個相等

一元二次方程

ax2+bx+c=0實根的實根無實根

(a>0)的根b

X1,x2(%j<x2)%r=一五

ax2+bx+c>0Lix^-—I

{x\x<玉或X>x}

(a〉0)的解集2l2al

R

ax1+bx+c<0

{x\x]<x<x2}心,

(a>0)的解集

注：當a<0時，可先把二次項系數(shù)a化為正數(shù)，再求解。

三、含有絕對值不等式的解法：

|x|>a(a>0)<=>x>a^x<-a

<

Ix|<a(a>0)o-a<x<a

第三章函數(shù)

一、函數(shù)的概念：

1、函數(shù)的兩要素：定義域、對應(yīng)法則。

函數(shù)定義域的條件：

(1)分式中的分母工0;(2)偶次方根的被開方數(shù)20；

(3)對數(shù)的真數(shù)〉0,底數(shù)>0且#1；(4)零指數(shù)塞的底數(shù)工0。

2、函數(shù)的性質(zhì)：

(1)單調(diào)性：一設(shè)二求三判定

設(shè)：不々是給定區(qū)間()上的任意兩上不等的實數(shù)

2

Ar=x2-Xj

△y=/（x2）-/（xi）

Ay

AX-

Ay

A.r

(2)奇偶性：

判斷方法：先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再看/(X)與/(一)的

關(guān)系：

/(-x)=/(x)偶函數(shù)；/(—)=-/(幻奇函數(shù)；/(-x)#±/(x)非奇非偶

圖象特征：偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱。

二、一次函數(shù)

1、y=kx-hb(k0)

當人=0時y=入為正比例函數(shù)、奇函數(shù)，圖象是過原點的一條直線。

2、一次函數(shù)的單調(diào)性

人〉0,增函數(shù)，圖象定過一蹲限。

<k<Q,減函數(shù)，圖象定過小象限。

三、二次函數(shù)：

一般式：y=ax2+bx+c

1、解析式：,頂點式：y^a(x-h)2+k(awO)

兩點式：y=4(*_玉)(x一%2)

2、二次函數(shù)y=+"+c(“ro)的圖象和性質(zhì)

y=ax2+/7x+c

a>0a<0

（。。0）

3

-JjL

圖象

開口方

向上向下

向

開口大

⑺越大，開口越?。虎仍叫?，開口越大

小

頂點坐b4ac-b2

(.,.)

2a4a

標

b

對稱軸x=---

2a

在區(qū)間（-8,-3］上是減函

2a

數(shù)在區(qū)間（-8,-與］上是增函數(shù)

2a

單調(diào)性

在區(qū)間+8）上是增函在區(qū)間［-3,+◎上是減函數(shù)

2a2a

數(shù)

當尤=_2時，

最大值22a

?0H4ac-b

3x=時，Nmin=/2

2a4。Aac-b

與最小值Xnax-A

4。

奇偶性當b=0時，y=a?+c是偶函數(shù)，圖象關(guān)于.丫軸對稱

第四章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

一、有理指數(shù)

4

1＞零指數(shù)塞規(guī)定：4。=1(〃±0)

2、負整指數(shù)幕67-1=—;an=—(〃WO,〃￡N+)

aan

工m__

3、分數(shù)指數(shù)募疝=加;加=再(也〃?N+,且絲為既約分數(shù))

n

4、實數(shù)指數(shù)嘉運算法則

a"'-a"=am+n;4=優(yōu)一"；(。"')"=相、(ab)'"=a'W(。＞0,?！?,利,〃為

任意實數(shù))

二、指數(shù)函數(shù)

函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=a*(a〉O,且"1)

a的范圍a>\0va<1

\1

圖象

■<oj)

——/一

X■QX

定義域R

值域(0,+8)

(1)過點(0,1)

(2)在R上是增函(1)過點(0,1)

數(shù)(2)在R上是減函數(shù)

性質(zhì)

(3)當x＞0時，y＞1(3)當工＞。時，0＜丁＜1

當x＜0時，當x＜0時，?。?

0<y<l

三、對數(shù)

5

1、對數(shù)的性質(zhì)：對數(shù)恒等式*gz=N;1的對數(shù)是零log(;l=0;底的對數(shù)

是1log,,a=1

2^對數(shù)的換底公式：log“N=^W(a>0,a71,b>0,bwl,N>0)

log/,a

3、積、商、塞的對數(shù)：

M

bg“(MN)=log“M+log"N;log“—=log“M-log.N;log(,M'=plog?M

4、常用對數(shù)和自然對數(shù)：常用對數(shù)bg1°N=lgN;自然對數(shù)

log?N=lnN(e=2.71828…)

四、對數(shù)函數(shù)

函數(shù)指數(shù)函數(shù).丫=1。8“》3>0,且"1)

。的范圍a>\0<?<1

\

圖象

1Z1.0)X11ly.

定義

(0,+oo)

域

值域R

(1)過點(1,0)(1)過點(1,0)

(2)在(0,+8)上是增函數(shù)(2)在(0,+8)上是減函數(shù)

性質(zhì)

(3)當x>l時，y>0(3)當x>l時,

當0<x<l時，y<0當0<x<l時，y>0

第五章三角函數(shù)

一、三角函數(shù)的有關(guān)概念

6

1、所有與a角終邊相同的角表示為伊/p=h360"+a#Gz}

2、象限角：a為第一象限角，2k兀<a<—+1kn,keZ

2

a為第二象限角，：+2k/r<a<TC+2攵肛keZ

2

y<0a為第三象限角,乃+2Z乃<av5+2攵乃,Z￡Z

a為第四象限角，—+Ikn<a<2TT+2k兀,kGZ

2

3、任意角三角函數(shù)定義：已知角a終邊上任意一點P的坐標（x,y）,

(r=y/x2+y2)

則sina--,cosa--,Vaxia--

rrx

4.特殊角的三角函數(shù)值表

角a0°30°45°60°90°180°270°360°

71717171

0712乃

弧度77TT

J_

sina0正旦10—10

2~r2

V2]_

cosa1走0—101

2

不存不存

73

tana0iV300

在在

二、同角的三角函數(shù)關(guān)系式

★姑sina

平方關(guān)系式：sin26z+cos2a=1冏數(shù)關(guān)系式：tana=-----

cost7

三、誘導公式：

sin（〃+k7r）=sina（k為偶數(shù)）sin(o+Z:?)=-sina(k為奇數(shù))

cos（6z+ki）=cosa（k為偶數(shù)）cos(a+ki)=-cosa(k為奇數(shù))

tan（Q+ki）=tana（k為整數(shù)）

7

四、兩角和與差的三角函數(shù)

sin(a±p)-sinfzcosy5±cos6fsin(3

cos(a±(3)=cosacosP干sinosin/

/,0、tan。士tan/

tan(Q±J3)=---------------

1+tana?tan(3

五、二倍角公式

sin2。=2sinacos。

COS2Q=cos26r-sin2a-2cos2a-\-l-2sin2a

2tan。

tan2a

1-tan2a?

a_b_c

六、正弦定理:

sinAsinBsinC

應(yīng)用范圍：（1）已知兩角與一邊（2）已知兩邊及其中一邊的對角（兩

解，一解或無解）

七、余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2bccosB,c2=a2+b2-2bccosC

應(yīng)用范圍：（1）已知三邊（2）已知兩邊及其夾角

八、三角形面積公式

S=-absinC=-bcsinA=-acsinB

222

九、三角函數(shù)性質(zhì):

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

定義域RR(--+k7r,—+k7r)

22

值域[-1,1][-1,11R

周期2/r2471

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

[-工+2版■，工+2Z捫,增函數(shù)[-萬+2%肛2Qr],增函數(shù)(--+k/r,—+k7r)

單調(diào)性2222

[-+2k兀,—+2k兀]，減函數(shù)[2E■，萬+2%r],減函數(shù)上是增函數(shù)

22

8

當X=工+2Z乃時取最大值當x=2版■時取最大值

2

11

最值無最值

當x=-2+2ki時取最小當x=。+2k兀時取最小

2

值-1值-1

圖像

第六章等差數(shù)列等比數(shù)列

名稱等差數(shù)列等比數(shù)列

定義an+「a“=d（從第二項起）4=4("0)

%

,,-1

通項公式an=ai+(n-l)dan=aiq(qWO)

當qWl時，Sn=

前n項和公式

22"q

當q=l時，Sn=na,

如果a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)如果a,G,b三個數(shù)成等比數(shù)

中項列列

等差中項公式A=^等比中項公式：G2=ab

2

定義法：a,“「a”=d（常數(shù)）定義法：0也=q（常數(shù)）

an

判定中項法：an+l+a?_=2a?（n

中項法：a?tla?,=a；（n>

22）

2）

若m+n=p+q,則若m+n=p+q,則

性質(zhì)

am+an=al+aq

9

d=am

n-m

S”與S.T的關(guān)系a?='

Sn-Sn.,(n>2)

三個數(shù)的設(shè)法x-d.a.a+d

q

第七章平面向量

（一）有關(guān)概念

向量：既有大小又有方向的量

向量的大小：有向線段的長度。

向量的方向：有向線段的方向。

大小和方向是確定向量的兩個要素。

零向量：長度為o的向量叫做零向量，零向量沒有確定的方向，記作6。

（二）向量的加法，減法

（三）向量的運算律

⑴加法運算律⑵數(shù)乘運算律

?a^-b=h+〃①4(J3ci)=(邛)a

②(a+3)+c=a+(B+c)@A(a+b)=Aa+Ab

③a+O=O+a=a(4+〃)a-Aa+/ja

④〃+(-a)=(-a)+a=0③(-1)a=-a

（四）向量的內(nèi)積

已知兩個非零向量Z和它們的夾角為我們把|犧cose叫做"和Z的內(nèi)積,

記作々,b

即①ZB=cos6?

注意：內(nèi)積是一個實數(shù)，不在是一個向量。

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是",6=0

==

u（a1,a2）（b?,b2）

②a?B=ab+a2b2

（五）向量內(nèi)積的運算律一

10

①

=

②a?bb?a

③()?b=A(a?1)=〃?(■)

=a9c+b9c

(六)向量內(nèi)積的應(yīng)用"=(aI,,a2)^=(bI}b2)

①向量的模：團=心石\a\=y/af+af

八ah+

②"與否的夾角：goabcos0=/??z

\a\\h\荷+4.揚

（七）平面向量的坐標運算

設(shè)b

①

②

③

④

（八）兩向量垂直，平行的條件

設(shè)a=（a,.,a,）B=（b1,b?）貝！|

⑴向量平行的條件：a//ba=Ab

_

a//hB]b2a2b,=0

⑵向量垂直的條件：aA.ba?h=0

a_LAoa,b,+a,b,=0

1r1LL

解析幾何

直線

一、直線與直線方程

1、直線的傾斜角、斜率和截距

（1）直線的傾斜角：一條直線向上的方向與X軸正向所成的最小正角，

叫這條直線的傾斜角。

（2）、傾斜角的范圍：0°<?<180°

2、直線斜率

%=tana=—~（其中a^—,x2

x2-x,B2

注：任何直線都有傾斜角，但不一定有斜率，當傾斜角為90。時，斜率不

11

存在。

3、直線的截距

在x軸上的截距，令y=0求x

在y軸上的截距，令x=0求)，

注：截距不是距離，是坐標，可正可負可為零。

4、直線的方向向量和法向量

(1)方向向量：平行于直線的向量，一個方向向量為之=(1,外或方=(8,-A)

(2)法向量：垂直于直線的向量，一個法向量為方=(AB)

二、直線方程的幾種形式

名

已知條件直線方程說明

禰

斜人和在軸上的截

y—kx+bZ存在，不包括y軸和

截式距。平行于y軸的直線

點

攵存在，不包括y軸和

P(Xo，＞o)和女yf=/7())

斜式平行于y軸的直線

A,B,C的值A(chǔ)%+By+C=0A6不能同時為0

般式

幾種特殊的直線：

⑴X軸：y=0

(2)Y軸：x=0

(3)平行于X軸的直線：y=b(b^O)

(4)平行于Y軸的直線：x-a(aw0)

(5)過原點的直線；y^kx(不包括Y軸和平行于Y軸的直線)

三、兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

位置關(guān)系

/):y=k+瓦/]:Ax+Bj+G=。

12:y=k2x+b212:\x+B2y^-C2=0

12

A8]G

平行k、—k?,b\豐Z?2———?！?/p>

A2B2C2

A=A^L

重合k1=k],b[=b2=

4B?C2

A±BI

----豐----

相交k、wk2

AB2

垂直kxk2=—1AlA2+B[B2=0

與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為：Ax+By+m=0(Cwm)

與直線Ax+8)，+C=0垂直的直線方程可設(shè)為：Bx-Ay+m=Q

四、點到直線的距離公式：

1、點(尤2。)到直線Ax+a+C=0的距離dJ與+助。+CI

^A2+B2

2、兩平行線L:Ax+—間的距離dJ-GI

22

12:4x+By+C2=07A+B

五、兩點間距離公式和中點公式

1、兩點間距離公式：|A8|=J(X2f)2+(y2f)2

_X|+x2

2、中點公式：?°2

圓

一、圓方程

圓心坐

方程半徑

標

圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b)r

x2+y2+Dx-bEy+F=022

(-fN7D+￡-4F

圓的一般方程L\—

(D2+￡2-4F>0)222

13

二、圓與直線的位置關(guān)系:

1、圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r

相切相交相離

d=rd<rd>r

2

2、過圓口+V二一上點（%,打）的切線方程:xox+yoy=r

3、圓中弦長的求法：

（1）/=2產(chǎn)工7（△是圓心到弦所在直線的距離）

+A2）[（2+&）2

（2）直線方程與圓方程聯(lián)立/=年1—4X]X2]

橢圓的標準方程及性質(zhì)

標

準

《+Ji

aab2(a>b>0)a2b1(a>b>Q

方

程

I▼

i

BlJ

->

圖0A,\

11/1X

像1rM

范

|x<a,y|<b|x|wb」y|Wa

圍

對稱軸關(guān)于x軸y軸成軸對稱;關(guān)于原點成中心對稱

頂點坐Ai(-a,0)A2(a,0),Ai(0,—a)A2(0,a)

標Bi(0,-b)B2(0,b)Bi-b,0)B2(b,0)

焦點坐

F1(一c,0),F2(C,0)F1(0,-c),F2(0,C)

14

標

半軸長長半軸長是a,短半軸長是b

焦距焦距是2c

a.b,c

的關(guān)系a2=b2+c2b-a2-c2

離心率e=—=<e<l)

a\a~

雙曲線的標準方程及性質(zhì)

/產(chǎn)d上-1

標準

a2心T

方程(a>0,b>0)

(a>0,b>0)

圖像y°\\

漸近線y=±Jy=+-x

aJb

對稱軸關(guān)于X軸y軸成軸對稱

Ai(-a,0),A?(a,Ai(0,-a)9A2(0,

頂點坐標

0)a)

Fi(0,-c),F2(0,

焦點坐標Fj-c,0),F2(C,0)

c)

f4(e>1)

離心率e=

~Cl=y

15

a.b,c的關(guān)

c2=a2+b2b2=c2-a2a2=c2-b2c>a>0,c>b>0

系

圖形標準方程焦點坐標準線方程

y2=2p%

(〃>o)

&(化2,o)]x=-2

2

y2=-2px

[-￡,o]x=2

Ti(p>0)I2)

y彳1、2

x2=2py

(p>0)

A（嗚）y=-P-

PX2

—y/x2=-2py

(p>o)

9_aV-P

7Vy-2

拋物線的標準方程及性質(zhì)

注意：一次變量定焦點，開口方向看負正,

焦點準線要互異，四倍關(guān)系好分析。

第九章立體幾何

直線與平面的位置關(guān)系

線在面外

線在面內(nèi)

線面平行線面相交

16

/『/Z-=/

圖形2__/

符號///a/c1=A1ua

證明線線平行

方法用線面平行來用面面平行來用垂直來實現(xiàn)

實現(xiàn)實現(xiàn)

/j世7

圖形

IHaallp若/_La,/n_La

1u{3>z=>lllmyca=I'=IHm

ar\p-myc0=m則/〃加

符號

證明線面平行

方法用線線平行實現(xiàn)。用面面平行實現(xiàn)。

----------1

圖形/力Z_/

lllm

allp\,

"zua>=>/〃a\=I〃a

符號luM

Iaa

證明線線垂直

方法用線面垂直實現(xiàn)三垂線定理及其逆定理

17

p

圖形

POVa

1La],

>=>Z±m(xù)ILOA}=/l.PA

mua]

符號Iua

證明線面垂直

方法用線線垂直實現(xiàn)用面面垂直實現(xiàn)

J

1□匚

巨J

圖形

1-LaaA-(3

11bac0=m?n/_1_a

=>I-La

abua

9I±m(xù)9l(=

acb=p

符號

證明面面平行

方法用線線平行實現(xiàn)用線面平行實現(xiàn)

/y/

ZK