2021屆人教a版平面向量單元測試 (二)

平面向量

一、單選題

1.設(shè)M(5,-1,2),A(4,2,-1),O(0,0,0)，若而=益，則點B的坐標(biāo)應(yīng)為()

A.(-1,3,-3)B.(1,-3,3)C.(9,1,1)D.(-9,-1,-1)

【答案】C

【解析】

試題分析：設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,y,z)；表示出，由瓦，=石解出B的坐

標(biāo).

設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,y,z)；

則二OAf=(5,-1,2)-AB=(x-4,y-2,z+1)，

'-OM=AB,x-4=5,y-2=-1,z+1=2,lx=9,y=l,z=l,

故選C.

考點：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

2.已知向量”,坂滿足|4|=&,。%=-應(yīng)，則。?(〃-應(yīng)5)=()

A.4B.3C.2A/2D.0

【答案】A

【解析】

【分析】

由題7Q—0歷=a-忘.b)進(jìn)而代入求解即可.

【詳解】

由題，則a?(a_=a—\[2a-b~(V2j—>/2x\/2j=4,

故選:A

【點睛】

本題考查向量模的性質(zhì)和向量的數(shù)量積,屬于基礎(chǔ)題.

3.已知△ABC的三個頂點A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,1),(、巧，0),(0,-2),O

為坐標(biāo)原點，動點P滿足|而|=1,則I也+而+而|的最小值是()

A.Vs-1B.Vii-ic.V3+1D.VTT+i

【答案】A

【解析】試題分析：設(shè)動點軟乂?，則函+礪+而=[+JIy+l),

|礪+礪+麗|2=1+啦丁+(y+])2,又由|d|2=%2+(,+2)2=],即點尸在以

點C(0,-2)為圓心，半徑為1的圓C上，故|西+礪+而]的最小值轉(zhuǎn)化為圓。上的點

與點。(-立-D的距離最小值，且最小值為IQ2I-1,即后-1.

考點：1、平面向量坐標(biāo)運算；2、圓的方程.

【思路點睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算.通過平面向量求模公式，可得

I)+而+而『及I而『，進(jìn)而運用數(shù)形結(jié)合思想，將問題轉(zhuǎn)化為圓。上的點與點0

(-J5,—D的距離最小值，在坐標(biāo)系中畫出圓及點。，可知最小值為圓心。與0的距離

減去圓C的半徑.

4.在平行四邊形ABC。中，E是對角線AC上一點，且通=4反，則詼=()

3一1—3一1-4一1一4—1—

A.-AB——ADB.-AB+-ADC.-AB——ADD.-AB+-AD

44445555

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意知荏=d（3月+M）,又力芯=亞—赤，將而代入即可.

【詳解】

由荏=4反，得AE=1AC=l（AB+AD）,

又瓦=荏-布，

則詼=3（而+四一通=4而一」而.

故選C

【點睛】

本題考查了平面向量基本定理，考查了向量的加減法運算及線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

Q

5.已知點A，B,C在圓d+>2=1上運動，且AB_LBC,若點P的坐標(biāo)為（§,2）,

貝4中+而+罔的取值范圍為

A.[8,10]B.[9,11]

C.[8,11]D.[9,12]

【答案】B

【解析】

口45□函040為圓/+>2=1的直徑，如圖,

叭(1,2卜口而+正=2司印-4),

Q

設(shè)及COS，,S譏冽，則P^=(COS夕3⑼八夕2).

口商+而+閡=|cos8-8,sin8-6|=^/(cos^-8)2+(sin6>-6)2

=V101-16cos^-12sin^=^101-20sin(^+a),tana=g)

□|7M+PB+Pc|的最小值為J101—20=9,最大值為J101+20=11.

n\PA+PB+PC\的取值范圍為[9,11].

故選：B.

點睛：平面向量的模長往往是轉(zhuǎn)化為平方運算，結(jié)果再開方即為模長，平面向量的數(shù)量

積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù),量積的坐標(biāo)運

算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用.

利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及

垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決.列出方程組求解未知數(shù).

6,若向量通=（5,-12）,則與其平行的單位向量為（）

13'13；

【答案】C

【解析】

【分析】

AB

利用與已知向量血=（5,—12）平行的單位向量為土阿即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，向量油=(5,-12),可得網(wǎng)=6+(T2)2=13,

，、,而，,512、

所以與已知向量A3=(5,—12)平行的單位向量為土同=±(百,一百).

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了平行向量的該概念，以及單位向量的求解，其中解答中熟記與向量￡平

a

行的單位向量為土E是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.A4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且匕=3,c=2,。為MBC

的外心，貝!J而.配=()

1355

A.—B.-C.--D.6

222

【答案】B

【解析】

【分析】

取3c的中點O,可得。力.。月=0,這樣=45.月6,然后都用衣，而表

示后運算即可.

【詳解】

取8C的中點D，連接O2AO,?.?。是AABC外心，,。。人8C,麗?麗=0，

AOBC=(AD+Dd)BC=ADBC+DdBC

-------1———一1—2—21,5

^ADBC^-(AC+AB)■(AC-AB)=-(AC-AB)=-(372-22)=1.

故選：B.

A

【點睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是取8。的中點￡>,把亞?與心轉(zhuǎn)化為ADBC，

再選取無心,而為基底，用基底進(jìn)行運算.

8.在A4BC中，有命題

①通-衣=而；

?AB+BC+CA^O;

③若（而+3C）?（通一正）=0,則AABC為等腰三角形；

④若EC?通>0，則NA為銳角上述命題正確的是（）

A.B.①④C.②③D.②③④

【答案】D

【解析】

試題分析：對于在AABC中，有命題

對于①入巨一恁=86；根據(jù)減法運算可知，結(jié)論為而-恁=而，錯誤。

對于②++成立。

對于③若（而+/）?（而—/）=（）,則ZVU5C為等腰三角形；成立

對于④若恁.A月〉0，則NA為銳角，成立，故選D

考點：向量的數(shù)量積

點評：向量的加減法和數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題。

9.已知。為坐標(biāo)原點，04=(1,2),AC=(-1,3),則點C的坐標(biāo)是()

A.(2,-1)B.(0,5)C.(—1,6)D.(0,-1)

【答案】B

【解析】

【分^1?】

利用向量加法的坐標(biāo)運算，求得。的坐標(biāo).

【詳解】

依題意反=礪+祀=(1,2)+(-1,3)=(0,5),所以。的坐標(biāo)為(0,5).

故選：B

【點睛】

本小題主要考查向量加法的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

10.若四邊形ABC。是平行四邊形，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=DBD.AD+BC=Q

【答案】D

【解析】

【分析】

作出平行四邊形ABC。，再利用平面向量的加法和減法法則，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，

即可得到答案.

【詳解】

對A,平行四邊形A8CD對邊平行且相等，所以礪=反，故A正確；

對B,利用向量加法的平行四邊形法則得Z方+A方=恁，故B正確;

對c,利用向量減法的三角形法則得而_詬=麗，故c正確;

對D,方與耳心是非零相等向量，AZ5+8CNO，故D錯誤.

故選：D.

DC

A岡B

【點睛】

本題考查向量加法與減法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

11.已知在AA3C中，AB=BC=3,AC=4,設(shè)。是AA3C的內(nèi)心，若

AO=mAR+nAC,則m:〃=_

【答案】4:3

【解析】試題分析：建立如圖所示坐標(biāo)系，B（2,V5）,C（4,0）,設(shè)0（2,。，則

ABA0=4+t^,又ABAO=3x^Ad\cosZBAO,所以

3x|A0|cosZBAO=4+rV5（1）,同理，ACAO=8,

AC-AO=4X|JO|COSZC4O,4x|lo|cosZCAO=8（2）,根據(jù)（1）和（2）得

廠（廠、____2=2m+4n

1=管,所以012,子），由石=得｛2逐4,解得

2

m=—“

5由|“m4

{f-,所以一=一.

3n3

考點：平面向量及其運算.

12.已知向量d=(2,1),5=(1,加)，若￡/區(qū)，則實數(shù)優(yōu)等于

【答案】工

2

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的共線的條件，得到2xm=lxl,即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，向量3=(2,1),5=(1,加)，因為Z//B，所以2xm=lxl,解得m=

【點睛】

本題主要考查了向量的共線的坐標(biāo)表示，其中解答中熟記向量共線的條件是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.在△A8C中，點用為邊AB的中點，若麗||麗，且麗=+y麗(xwO),

則，.

x

【答案】I

【解析】

：M是A8的中點,

/.OM=-（OA+OB）,

又；麗=2兩=g/l（礪+而）=x）+y而，

**?x——%,y——/1,

22

.?.2=1.

X

14.設(shè)O為A/WC所在平面內(nèi)一點，AD=-^AB+~AC,若配=幾反（4eR）,

則2=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

直接利用向量的線性運算求出結(jié)果.

【詳解】

一1一4一

?.?。為AA8C所在平面內(nèi)一點，AD=-AB+-AC,

33

:.B,C,〃三點共線.若配=X反（2e/?）,AAC-AB=AAC-AAD'

..,uuiy1▲4A,-1.?,uuci14H4.?.,_.11..

化為：AD=下AB+—-—AC,與AB+^AC,比較可得：—=——,解得

AA33A3

A=—3.

即答案為-3.

【點睛】

本題考查的知識要點：向量的線性運算及相關(guān)的恒等變換問題.

三、解答題

15.在平面直角坐標(biāo)系直力中，已知點A（—2,3）,8（1,2）,。（一3,2）.

（1）求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長;

（2）當(dāng)，為何值時，福T玩與玩垂直；

（3）當(dāng)/為何值時，「麗+礪與2礪-礪平行.

【答案】（1）2夜,4.⑵r=（3）t=-2.

【解析】

試題分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，確定E的坐標(biāo)，從而可得的坐標(biāo)。，即可求

得以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；（2）確定而_,反與反的

坐標(biāo)，利用垂直，可得數(shù)量積為0，即可求得f的值；（3）確定/礪+而與函一2萬

品的坐標(biāo)，利用平行，可得方程，從而可求f的值，即可判斷平行時它們是同向還是反

向.

試題解析：（1）由題設(shè)知，通=（3,—1）,而貝

通+而=（2,—2）,通—而=（4,0）,二|通+而|=2&,|通—羽=4,.?.所求

的兩條對角線的長分別為2后,4.

⑵由題設(shè)知，雙=（一3,2）,通一，雙=（3+3f,-1一2，），由福一/覺與反垂直，

得（ABX無回=,即（3+3f）x（—3）+（—1—2f）x2=0,所以f=—J.

（3）由題設(shè)知，/函+礪=（1-2r,2+3f）,2函一礪=（-5,4）,由

tOA+OB//OA-2OB^得

4（l-2r）+5（2+3f）=0,.」=—2.

16.已知a=（2mvx,2sinx）,,函數(shù)f^x）=cosa,b.

（I）求函數(shù)/（x）零點;

（II）若銳角ZSABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是。、b、J且/（A）=l,求

一b+c的取值范圍.

a

【答案】（1）x=—+—（2）V3<^^<2

212a

【解析】

分析：（1）利用平面向量數(shù)量積公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角

和與差的正弦公式將。石函數(shù)化為2sin（2x-V）,利用平面向量夾角余弦公式可得

/（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)/（x）零點；（2）由正弦定理得

b+csinB+sinC“心，，兀,f?7r\?,?n皿皿--

----=-----------，先求出A=一,上式化為2nsin|8+7|,求出6H—,根據(jù)正

asinA--------------3<6J6

弦函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.

c?（萬

（I）由條件可知:GZ=2cosx.sin[x-7+2S13C0Sx---

詳解:（6

所以函數(shù)“X）零點滿足Sin（2x—7■卜0,由2%-看=版■MeZ,解得％=^+已

kez.

/“、?十以^皿，日人+。sinB+sinC

（II）由正弦定理得——=-----------

asinA

由（I）/（x）=sinjfff/（A）=l,得sin12A_1]=1

A2A--=2k7r+-,k^Zf又4￡（0,乃），得4二工

623

-：A+B+C=7r.?.C=——3代入上式化簡得:

3

sinB+sin—sinB+—cosBGsin

22

sinA

77~2^7TTE7T7T

又在銳角AABC中，有0<3<一，——B<-：.-<B<-

23262

71nTV171n..y/3,(n

—<B-\■—<——，則有——<sinB+—<1

63

即：V3<^^<2.

a

點睛：以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，

對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但

綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公一定要

熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.

17.已知|a|=1,|。|=2,|a-。|=J7,

求：⑴a-b；

（2）a-/?與a+Z?的夾角的余弦值；

【答案】（1）-1；（2）一衛(wèi).

7

【解析】

試題分析：（1）由已知等式Ia-6=近兩邊平方，得：^-b'=7,將向量模轉(zhuǎn)化為

向量的數(shù)量積運算，將已知代入到可求得：京方的值；

rrrrr2r2rriiii

（2）首先計算出：（a-5）（a+b）=a-b,a+b,設(shè)。一人與a的夾角為a,則

1II1

由向量的夾角公式cosa=華二黑士2即可求得結(jié)果.

試題解析：（1）由題意:=7=a—2a-h+b=7

I2-2a-b+4=7=>a-b=-1

rrrrr2r、

(2)(a-b)(a+b)=a—h=1—4=-3

rr"__rrr2----------

a+b=7a+2cl?b+b—Jl+(—2)+4=<3

I1ii廠

設(shè)。一/7與a+Z?的夾角為a,則是cosa=(：一鏟%-=--尸\=——-

a-訓(xùn)a+/v7-<37

考點：1.向量的數(shù)量積；2.向量的夾角.

18.(I)已知2=(1,2),網(wǎng)=26，且石與￡共線,求一的坐標(biāo);

(D)已知)=(0,3),仍|=2,且癡的夾角為夸，求忸+2司.

【答案】(I)5=(2,4)或5=(-2,-4)(II)\a+2b\=yjl3

【解析】

【分析】

(I)可設(shè)B=利用忖=2遂可得X的值，從而得到B的坐標(biāo).

(II)因卜+20=東+4次5+步，故計算亡而后即得所求的模.

【詳解】

(I)設(shè)5==由問=26=“2+3)2=2后,

解得4=±2./.萬=(2,4)或B=(―2,—4).