優(yōu)化理論與最優(yōu)控制

優(yōu)化理論與最優(yōu)控制“優(yōu)化”與“最優(yōu)化”

優(yōu)化

“化”—加在名詞或形容詞后構(gòu)成動(dòng)詞,表示轉(zhuǎn)變成某種性質(zhì)或狀態(tài)。比如：綠化、美化、丑化，自動(dòng)化，優(yōu)化…

最優(yōu)化（值）

指在一定條件影響下所能得到的最佳值。它是一個(gè)相對(duì)的概念；不同于數(shù)學(xué)上的極值，但在很多情況下可以用最大值或最小值來(lái)表示。最優(yōu)化問(wèn)題的控制方程調(diào)整（設(shè)計(jì)、策略、決策）變量

設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為最優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)。目標(biāo)函數(shù)

在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可將所追求的設(shè)計(jì)目標(biāo)（最優(yōu)指標(biāo)）用設(shè)計(jì)變量的函數(shù)（解析或隱含）形式表達(dá)出來(lái)，這一過(guò)程稱(chēng)為建立目標(biāo)函數(shù)。約束條件

在很多實(shí)際問(wèn)題中，設(shè)計(jì)變量的取值范圍是有限制的或必須滿(mǎn)足一定的條件。以及其他方面的限制。最優(yōu)化問(wèn)題的控制方程為：最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型調(diào)整參數(shù)：目標(biāo)函數(shù):約束條件：X=[x1x2x3…xn]T,XDymin或

ymax=f(X)hv(X)=0,v=1,2,…,pgu(X)0,u=1,2,…,m幾點(diǎn)說(shuō)明調(diào)整（決策、策略）變量

原則應(yīng)選擇對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響大且獨(dú)立的變量；通常情況下，調(diào)整變量越多，優(yōu)化潛力越大，但優(yōu)化過(guò)程也越復(fù)雜。目標(biāo)函數(shù)

單目標(biāo)函數(shù)：只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)；多目標(biāo)函數(shù)：有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)。約束條件

{顯約束vs

隱約束}、{等式約束vs不等式約束}和{邊界約束vs

性態(tài)約束}?？刂品匠痰慕?/p>

調(diào)整（設(shè)計(jì)、策略、決策）變量組合vs

目標(biāo)函數(shù)；最優(yōu)值的相對(duì)性與動(dòng)態(tài)性等。約束條件目標(biāo)函數(shù)取決于調(diào)整變量,而在工程實(shí)際問(wèn)題中調(diào)整變量的取值范圍是有限制的或必須滿(mǎn)足一定的條件。

等式約束：對(duì)調(diào)整變量的約束嚴(yán)格，起著降低設(shè)計(jì)自由度的作用。

不等式約束

分類(lèi)線(xiàn)性規(guī)劃：若都是調(diào)整變量

X的線(xiàn)性函數(shù)；非線(xiàn)性規(guī)劃：若它們不全是調(diào)整變量X的線(xiàn)

性函數(shù)；無(wú)約束規(guī)劃：

若。舉例說(shuō)明（Ⅰ）小朋友算數(shù)

1)

2堆蘋(píng)果，每堆有3個(gè)，問(wèn)2堆加起來(lái)一共有幾個(gè)蘋(píng)果？若有3堆，1000堆這樣的蘋(píng)果呢？

2）9個(gè)蘋(píng)果，3個(gè)小朋友分，問(wèn)每人分幾個(gè)蘋(píng)果？若有18個(gè)，3000個(gè)蘋(píng)果呢？觀(guān)察到什么現(xiàn)象？發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？得到什么結(jié)論？舉例說(shuō)明（Ⅱ）

一簡(jiǎn)單的僅有兩個(gè)輸入變量x1、x2，一個(gè)輸出變量y的工業(yè)過(guò)程，即。在工程中，輸入變量即運(yùn)行（工藝）參數(shù)x1、x2一般都有一定的取值范圍。不妨設(shè)其允許取值范圍分別為[a,b]、[c,d]。那么，圖中藍(lán)色方框中所有的x1、x2組合都能滿(mǎn)足系統(tǒng)正常運(yùn)行的要求。

簡(jiǎn)單的工業(yè)問(wèn)題舉例說(shuō)明（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)在這無(wú)窮多個(gè)組合中，哪個(gè)組合y能取得最大值或最小值呢？無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)存在條件1

一元函數(shù)

任何一個(gè)單值、連續(xù)、可微分的不受任何約束的一元函數(shù)點(diǎn)處有極值的充分必要條件是：

2

二元函數(shù)

若二元函數(shù)點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)存在極值的充分必要條件是：且3

多元函數(shù)

n元函數(shù)在點(diǎn)M處存在極值的充分必要條件是：①在點(diǎn)M處函數(shù)的梯度為零向量：②Hessian矩陣為正定或負(fù)定：且當(dāng)最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算方法1

解析法—間接最優(yōu)化方法

利用數(shù)學(xué)分析的方法,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律與函數(shù)極值的關(guān)系,求目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn).

尋找極值點(diǎn)

需要求解由目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)所組成的方程組或梯度。

然后用Hessian矩陣對(duì)所找到的穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行判斷，看它是否是最優(yōu)點(diǎn)。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單時(shí)，求解上述方程組且用Hessian矩陣進(jìn)行判斷并不困難。但當(dāng)目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，就會(huì)遇到麻煩，甚至很難求解各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)所組成的方程組，更不用說(shuō)對(duì)Hessian矩陣進(jìn)行判斷時(shí)將遇到的困難。數(shù)值計(jì)算方法—直接最優(yōu)化方法

它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。

步驟：①初選一個(gè)可能靠近最小點(diǎn)的初始點(diǎn)，從出發(fā)按照一定的原則尋找可行方向和初始步長(zhǎng)，向前跨出一步達(dá)到點(diǎn)；②得到新點(diǎn)后再選擇一個(gè)新的使函數(shù)值迅速下降的方向及適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，從點(diǎn)出發(fā)再跨出一步，達(dá)到點(diǎn)，并依此類(lèi)推，一步一步地向前探索并重復(fù)數(shù)值計(jì)算，最終達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。

中間過(guò)程中每一步的迭代形式為：

式中：

-第k步迭代計(jì)算所得到的點(diǎn)；

-第k步迭代計(jì)算的步長(zhǎng)；

-第k步迭代計(jì)算的探索方向。③每向前跨完一步，都應(yīng)檢查所得到的新點(diǎn)能否滿(mǎn)足預(yù)定的計(jì)算精度，即

如滿(mǎn)足，則認(rèn)為為局部最小點(diǎn)；

否則，應(yīng)以為新的初始點(diǎn)，按上述方法繼續(xù)跨步探索。幾點(diǎn)討論

迭代過(guò)程中探索方向S的選擇

①保證沿此方向進(jìn)行探索時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值是不斷下降的；②應(yīng)盡可能地使其指向最優(yōu)點(diǎn)，以縮短探索的路程和時(shí)間，提高求優(yōu)過(guò)程的效率。

迭代的收斂性根據(jù)任意一個(gè)迭代式進(jìn)行計(jì)算，不一定都能得到逼近精確解的近似解。①如果能夠計(jì)算出逼近精確解的近似解，即近似解序列有極限，則迭代是收斂的。②否則，迭代是發(fā)散的。

對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題有時(shí)很難判斷其目標(biāo)函數(shù)的極小值，而只能根據(jù)計(jì)算中的具體情況來(lái)進(jìn)行判斷。

如滿(mǎn)足，則認(rèn)為為局部最小點(diǎn)；

否則，應(yīng)以為新的初始點(diǎn)，繼續(xù)跨步探索。

判斷是否應(yīng)終止迭代的依據(jù)有三種形式：

①當(dāng)設(shè)計(jì)變量在相鄰兩點(diǎn)之間的移動(dòng)距離已充分小時(shí)，可用相鄰兩點(diǎn)的向量差的模作為終止迭代的判據(jù)：終止迭代的判斷依據(jù)

或用向量的所有坐標(biāo)分量之差表示：

②當(dāng)相鄰兩點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值之差已達(dá)充分小時(shí)，即移動(dòng)該步后目標(biāo)函數(shù)值的下降量已充分小時(shí)，可用兩次迭代的目標(biāo)函數(shù)值之差作為終止迭代的判據(jù)：

上述3種任何一種得到滿(mǎn)足，則認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)值收斂于該函數(shù)的最小值。

③當(dāng)?shù)c(diǎn)逼近極值點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)的梯度將變得充分小，故目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)處的梯度達(dá)到充分小時(shí)，也可作為終止迭代的判據(jù)：幾點(diǎn)討論（2種特殊情況）★函數(shù)變化劇烈★函數(shù)變化緩慢為了防止當(dāng)函數(shù)變化緩慢時(shí)，判據(jù)②雖已得到滿(mǎn)足，而所求得的最優(yōu)點(diǎn)與真正最優(yōu)點(diǎn)仍相距較遠(yuǎn)，往往將判據(jù)①、②結(jié)合起來(lái)使用。

為了防止當(dāng)函數(shù)變化劇烈時(shí)，判據(jù)①雖已得到滿(mǎn)足，而所求得的最優(yōu)值與真正最優(yōu)值仍相差較大；無(wú)約束最優(yōu)化方法的特點(diǎn)及應(yīng)用范圍最優(yōu)化方法特點(diǎn)及應(yīng)用范圍坐標(biāo)輪換法(變量輪換法或降維法)不需求導(dǎo)數(shù)，方法易懂，程序設(shè)計(jì)容易，但迭代過(guò)程較長(zhǎng)，收斂速度較慢，且問(wèn)題的維數(shù)n愈多求解效率愈低，適用于n≤10的小型無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，當(dāng)函數(shù)的等值線(xiàn)為圓或?yàn)殚L(zhǎng)短軸都平行于坐標(biāo)軸的橢圓時(shí)此法很有效。最速下降法(一階梯度法)效率高于上法，尤其最初幾步迭代函數(shù)值下降很快，但愈靠近極值點(diǎn)愈慢。迭代計(jì)算簡(jiǎn)單，占用計(jì)算機(jī)單元少，對(duì)初始點(diǎn)的選擇要求低。常與其它方法混用。牛頓法(Newton-Raphson法或二階梯度法)當(dāng)初始點(diǎn)選得合適時(shí)是目前算法中收斂得最快的一種(尤其對(duì)二次函數(shù))，但當(dāng)初始點(diǎn)選擇不當(dāng)會(huì)影響到能否收斂或?qū)е率?。?jì)算較繁且要求Hessian矩陣是非奇異的。計(jì)算量和存貯量都以維數(shù)n的平方(n2)比例增加，故當(dāng)函數(shù)變量較多和因次較高時(shí)不宜采用此法。修正牛頓法(廣義牛頓法)即使初始點(diǎn)選擇不當(dāng)，此法亦會(huì)成功，其它特點(diǎn)與牛頓法相同。共軛梯度法是對(duì)最速下降法在收斂速度上的重大改進(jìn)，其收斂速度比最速下降法大為加快，而計(jì)算又比牛頓法大為簡(jiǎn)化。計(jì)算簡(jiǎn)單，所需的存儲(chǔ)量少，收斂速度快，常用于多變量的最優(yōu)化設(shè)計(jì)。共軛方向法及其改進(jìn)—Powell法

不需求導(dǎo)數(shù)只需計(jì)算函數(shù)值，適用于中、小型問(wèn)題的無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。Powell法是一種求無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題較為有效的方法，適用于中小型無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題，但對(duì)于多維問(wèn)題收斂速度較慢。無(wú)約束最優(yōu)化方法的特點(diǎn)及應(yīng)用范圍(續(xù)表)最優(yōu)化方法特點(diǎn)及應(yīng)用范圍變尺度法(DFP法及BFGS法)為求解無(wú)約束極值問(wèn)題最有效的算法之一，可以用到維數(shù)n≥100的問(wèn)題。對(duì)于高維的大型問(wèn)題，(n>100)，由于收斂快，效果好，被認(rèn)為是最好的優(yōu)化方法之一，但計(jì)算A(k)的程序較復(fù)雜，且需要較大的存貯量。DFP法也存在數(shù)值穩(wěn)定性不夠理想等情況，而B(niǎo)FGS．法則有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。單純形法不需求導(dǎo)數(shù)，只需計(jì)算函數(shù)值。屬直接求優(yōu)法，這類(lèi)方法甚至適用于未知目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式而只知道它的具體算法的情況、程序簡(jiǎn)單、收斂快、效果好，適用于中小型設(shè)計(jì)問(wèn)題。Hooke-Jeeves法程序簡(jiǎn)單，當(dāng)變量較少時(shí)比較有效，適應(yīng)性較強(qiáng)，收斂速度比坐標(biāo)輪換法有所改善但仍較慢，不適于高維數(shù)的問(wèn)題。Rosenbrock法可看成是對(duì)Hooke-Jeeves法的進(jìn)一步改善與發(fā)展，比坐標(biāo)輪換法顯著地提高了迭代效率和解題效能，同樣不適用于高維數(shù)的問(wèn)題。Marquardt法集中了最速下降法及牛頓法的優(yōu)點(diǎn)，且算法簡(jiǎn)單，接近極小點(diǎn)時(shí)收斂得非?？?，不需要一維探索。常用于求函數(shù)平方和的極小值的問(wèn)題。最小二乘法(Gauss-Newton法)常用于求函數(shù)平方和的極小值問(wèn)題，且不必計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，為線(xiàn)性收斂速度。單純形法基本思想：★不需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；★實(shí)際的最優(yōu)化工程中，目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)往往很難求出甚至根本無(wú)法求出。①在n維空間中由n+1個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)凸多面體；②求出這些頂點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值并加以比較，確定它們當(dāng)中有最大值的點(diǎn)以及函數(shù)值的下降方向，再設(shè)法找到一個(gè)新的比較好的點(diǎn)替換那個(gè)最差點(diǎn)，從而構(gòu)成新的單純形；③隨著這種取代過(guò)程的不斷進(jìn)行，新的單純形將向著極小點(diǎn)收縮。經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代，即可得到滿(mǎn)足收斂準(zhǔn)則的近似解。

設(shè)有一個(gè)二維目標(biāo)函數(shù)，在平面中為線(xiàn)性獨(dú)立（不在同一直線(xiàn)上）的三個(gè)點(diǎn)，并以它們?yōu)轫旤c(diǎn)構(gòu)造單純形（三角形）。計(jì)算這三個(gè)頂點(diǎn)處的函數(shù)值并作比較：若，則說(shuō)明點(diǎn)最差，最好。故應(yīng)該拋棄點(diǎn)并形成新的單純形。算法思路：（3種類(lèi)型的步驟—反射、擴(kuò)張和壓縮）

為此要找出除以外的所有頂點(diǎn)的形心點(diǎn)，并在和連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)，使最差點(diǎn)的反射點(diǎn)反射系數(shù)，一般取為1.0關(guān)于反射點(diǎn)的選取：①若反射點(diǎn)的函數(shù)值小于最好點(diǎn)的函數(shù)值，即時(shí)，則表明所取的探索方向正確，可進(jìn)一步擴(kuò)大效果，繼續(xù)沿向前進(jìn)行擴(kuò)張，在更遠(yuǎn)處取一點(diǎn)，并使擴(kuò)展系數(shù)，大小一般在1.2~2.0之間圖示

若，說(shuō)明擴(kuò)張有利，就用代替最差點(diǎn)，構(gòu)造新的單純形；若不成立，則不能擴(kuò)張。此時(shí)，如果則用反射點(diǎn)替換最差點(diǎn)而形成新的單純形。

②若下式成立，即則表示點(diǎn)走得太遠(yuǎn)，應(yīng)該縮回一些，需要進(jìn)行壓縮，且得到的壓縮點(diǎn)應(yīng)為：壓縮系數(shù)，常取0.5圖示

若則用壓縮點(diǎn)代替，形成新的單純形③若反射點(diǎn)的函數(shù)值大于最差點(diǎn)的函數(shù)值，即時(shí)，應(yīng)該壓縮得更多些，即將新點(diǎn)壓縮至與之間，這時(shí)所得的壓縮點(diǎn)應(yīng)為：④如果在方向上所有點(diǎn)的函數(shù)值都大于，或式（6）不成立，則不能沿此方向探索。這時(shí)應(yīng)使單純形向最好點(diǎn)進(jìn)行收縮，即最好點(diǎn)不動(dòng)，其余各頂點(diǎn)，皆向移近為原距離的一半，由原單純形收縮成新單純形

。

從以上各步得到新的單純形后，再重新開(kāi)始各步，逐漸縮小單純形直至滿(mǎn)足精度要求為止。0x1x2XhXgXlXcXrXeXsXs’

返回返回單純形法的計(jì)算步驟

設(shè)目標(biāo)函數(shù)為n元函數(shù)，即X為n維向量，因此單純形應(yīng)有n+1個(gè)頂點(diǎn)。一般取值范圍為0.5~15.0;構(gòu)成初試單純形時(shí),h=1.6~1.7.

構(gòu)造初始單純形時(shí)，先在n維空間中選取初始點(diǎn)（盡量靠近最優(yōu)點(diǎn)），然后從出發(fā)沿各坐標(biāo)軸方向，以步長(zhǎng)h找到其余n個(gè)頂點(diǎn)；ei0x1x2XhXgXlXg’Xh’

—表示第k輪探索時(shí)的最好點(diǎn),即并令:

—為第k輪探索的第j頂點(diǎn),其函數(shù)值為;

—表示第k輪探索時(shí)所有頂點(diǎn)中函數(shù)值最大的頂點(diǎn),即最差點(diǎn):

—為次差點(diǎn),即比小,但比其余各頂點(diǎn)的函數(shù)值都大;

—為除最差點(diǎn)外,其余所有頂點(diǎn)的形心,其坐標(biāo)可以按下式計(jì)算:式中，i=1,2,

,n為各坐標(biāo)方向的序號(hào)；j為頂點(diǎn)號(hào)，或構(gòu)成初始單純形后，即可進(jìn)行以下步驟：①計(jì)算各頂點(diǎn)的函數(shù)值并進(jìn)行比較，找出最好點(diǎn)，最差點(diǎn)，次差點(diǎn)，以及除最差點(diǎn)以外其余各頂點(diǎn)的形心。求對(duì)形心的反射點(diǎn)：②比較和，如果反射點(diǎn)比最好點(diǎn)還要好，即時(shí)，則進(jìn)行擴(kuò)張，得擴(kuò)張點(diǎn)為（按式（2））：③將反射點(diǎn)與次差點(diǎn)比較，若，則用代替最差點(diǎn)，并轉(zhuǎn)入步驟⑤；若，則用代替后進(jìn)行壓縮,否則直接進(jìn)行壓縮，得壓縮點(diǎn)為：

得到擴(kuò)張點(diǎn)后，如果，則用代替后轉(zhuǎn)入⑤。否則用

代替轉(zhuǎn)入⑤。

若，即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，則轉(zhuǎn)下一步。⑤進(jìn)行收斂性檢驗(yàn).若則停止迭代并輸出及,否則后轉(zhuǎn)第①步。④將壓縮點(diǎn)與最差點(diǎn)比較，若，則用代替最差點(diǎn)以后轉(zhuǎn)入下一步;否則使單純形向最好點(diǎn)收縮,收縮后的單純形頂點(diǎn)為:逐漸縮小單純形直至滿(mǎn)足精度要求為止。單純形程序框圖復(fù)合形法

★復(fù)合形法是求解約束非線(xiàn)性最優(yōu)化問(wèn)題的一種重要的直接方法。★它來(lái)源于用于求解約束非線(xiàn)性最優(yōu)化問(wèn)題的單純形法，實(shí)際上是單純形法在約束問(wèn)題中的發(fā)展。

初始復(fù)合形的產(chǎn)生方法：

設(shè)在可行域內(nèi)先給定復(fù)合形的一個(gè)初始頂點(diǎn)，則其余個(gè)n頂點(diǎn)由下式確定：

—調(diào)整變量的解域或上下界；其中:

—為復(fù)合形頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào);

—為調(diào)整變量的標(biāo)號(hào)；

—為區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)。這樣產(chǎn)生的頂點(diǎn)雖能滿(mǎn)足調(diào)整變量的邊界約束條件，但不一定就能滿(mǎn)足性能約束條件。假定其中等q個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足全部約束條件，而其余點(diǎn)不滿(mǎn)足，為了使它們也能滿(mǎn)足，則可先求出所有滿(mǎn)足點(diǎn)的形心點(diǎn)：然后將這些不滿(mǎn)足約束條件的點(diǎn)向形心點(diǎn)靠攏，得新點(diǎn)：只要系數(shù)選擇得當(dāng)（一般取），總可以使新點(diǎn)滿(mǎn)足全部約束條件，即這樣就可求得另外n-q+1個(gè)滿(mǎn)足全部約束條件的初始頂點(diǎn)。取得n+1個(gè)頂點(diǎn)后便可構(gòu)成一個(gè)有n+1頂點(diǎn)的多面體—復(fù)合形。然后如下進(jìn)行迭代計(jì)算：①計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，找出其中的最差點(diǎn)：找出次差點(diǎn):

找出最好點(diǎn):②計(jì)算除最差點(diǎn)外其它各頂點(diǎn)的形心:

或

檢查點(diǎn)的可行性。③如果點(diǎn)在可行域內(nèi)，則沿方向求反射點(diǎn):

式中，可取，若為非可行點(diǎn)，則應(yīng)將值減半，繼續(xù)計(jì)算，直至滿(mǎn)足全部約束條件為止。④如果點(diǎn)不在可行域內(nèi)，為了將點(diǎn)移進(jìn)可行域內(nèi)，可在以點(diǎn)和點(diǎn)為界，重新利用偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生n+1個(gè)新的頂點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形。此時(shí)變量的上下界改為：若，則取

否則相反。重復(fù)步驟①、②，直至點(diǎn)進(jìn)入可行域?yàn)橹?。⑤?jì)算點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果時(shí)，則用反射點(diǎn)替換最差點(diǎn)組成新的復(fù)合形，完成一次迭代并轉(zhuǎn)入步驟①，否則轉(zhuǎn)入步驟⑥。

⑥如果則將值減半，重新計(jì)算反射點(diǎn)，這時(shí)若且為可行點(diǎn)，則轉(zhuǎn)向步驟⑤；否則應(yīng)再將值減半，如此反復(fù)。如果經(jīng)過(guò)若干次減半值的計(jì)算并使值已縮小到給定的一個(gè)很小的正數(shù)（例如）以下仍無(wú)效，則可使復(fù)合形向最好點(diǎn)收縮，還可在三點(diǎn)所決定的平面中，將點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度，并向最好點(diǎn)靠攏，得到新的點(diǎn)后構(gòu)成新的復(fù)合形并轉(zhuǎn)入步驟②，重新進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿(mǎn)足計(jì)算精度為止。

⑦若同時(shí)滿(mǎn)足收斂準(zhǔn)則Ⅰ、Ⅱ時(shí)，則停止迭代，并取復(fù)合形的最小函數(shù)值的頂點(diǎn)作為最優(yōu)解。復(fù)合形程序框圖復(fù)合形程序框圖Ⅱ多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化方法★前面介紹的最優(yōu)化方法，可直接用于僅含一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的所謂“單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題”?！锏谠S多實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常期望同時(shí)有幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)值，這就是所謂“多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題”，其數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式為:★各個(gè)目標(biāo)f1(X)，f2(X)，…，fn(X)的優(yōu)化往往是互相矛盾的，即不能期望同時(shí)達(dá)到它們的最優(yōu)解；★甚至有時(shí)還會(huì)產(chǎn)生完全對(duì)立的情況，即對(duì)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)點(diǎn)，對(duì)另一目標(biāo)函數(shù)卻是劣點(diǎn)?！钸@就需要在各個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解之間進(jìn)行協(xié)調(diào)，相互間作出適當(dāng)“讓步”，以便取得整體最優(yōu)方案。由此也可以看出多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題要比單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題復(fù)雜得多，求解難度也較大。統(tǒng)一目標(biāo)法統(tǒng)一目標(biāo)法的實(shí)質(zhì)就是將控制方程中的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)(或稱(chēng)分目標(biāo)函數(shù))

f1(X)，f2(X)，…，fn(X)

統(tǒng)一到一個(gè)總的“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”

f(X)中，即令的型式，把多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解。在極小化“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”

f(X)的過(guò)程中，為了使各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)能均勻一致地趨向各自的最優(yōu)值，可采用如下的一些方法：加權(quán)組合法目標(biāo)規(guī)劃法功效系數(shù)法乘除法加權(quán)組合法又稱(chēng)線(xiàn)性組合法或加權(quán)因子法，即在將各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)組合為總的“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”的過(guò)程中，引入加權(quán)因子，以考慮各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)在相對(duì)重要程度方面的差異及在量級(jí)和量綱上的差異。如第i項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)fi(X)的加權(quán)因子，是一個(gè)大于零的數(shù)。在將各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)加權(quán)組合成總的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的過(guò)程中，加權(quán)組合法又分為:直接加權(quán)法①直接加權(quán)法采用直接加權(quán)法來(lái)建立總的統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)時(shí)，其加權(quán)因子wi的選取方法如下：若已知某分目標(biāo)函數(shù)fi(X)的變動(dòng)范圍為①直接加權(quán)法;②轉(zhuǎn)化設(shè)計(jì)指標(biāo)法。則稱(chēng)為該指標(biāo)的的容限，于是可取該項(xiàng)指標(biāo)的加權(quán)因子為這種取法是基于要求在統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)中的各項(xiàng)指標(biāo)(分目標(biāo)函數(shù))趨于在數(shù)量級(jí)上達(dá)到統(tǒng)一平衡，因此，當(dāng)某項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值變化范圍愈寬時(shí)，其目標(biāo)的容限就愈大，加權(quán)因子就取較小值；而數(shù)值變化范圍愈窄時(shí)，目標(biāo)的容限就愈小，加權(quán)因子就取大值，以達(dá)到平衡各分目標(biāo)函數(shù)量級(jí)的作用。另一種直接加權(quán)方法是把加權(quán)因子分為兩部分，即第i項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的加權(quán)因子wi為式中

wi1—反映第i項(xiàng)目標(biāo)(設(shè)計(jì)指標(biāo))相對(duì)重要性的加權(quán)因子，稱(chēng)作本征權(quán)因子；

wi2—第i項(xiàng)目標(biāo)的校正權(quán)因子，用于調(diào)整各目標(biāo)間在量級(jí)差別方面的影響、并在迭代過(guò)程中逐步加以校正的加權(quán)因子。若用梯度來(lái)反映各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)fi(X)隨設(shè)計(jì)變量變化而有不同函數(shù)值的情況，則其校正權(quán)因子可取即：

fi(X)的函數(shù)值變化愈快，加權(quán)值愈應(yīng)取小些；反之則應(yīng)取大些。這樣就可使變化快慢不等的目標(biāo)一起調(diào)整好。②轉(zhuǎn)化設(shè)計(jì)指標(biāo)法先將各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)都轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的無(wú)量綱值，并且將量級(jí)也限于某一規(guī)定范圍之內(nèi)，使目標(biāo)規(guī)格化，然后再根據(jù)各個(gè)目標(biāo)(設(shè)計(jì)指標(biāo))的重要性用加權(quán)因子來(lái)組合“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”。例如，若能預(yù)計(jì)各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的變動(dòng)范圍，即已知★則可用右下圖所示的正弦函數(shù)將各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)(分目標(biāo)函數(shù))都轉(zhuǎn)換到在0~1的范圍內(nèi)取值，使各目標(biāo)規(guī)格化。當(dāng)然也可以用其它合適的函數(shù)作為轉(zhuǎn)換函數(shù)。★轉(zhuǎn)換函數(shù)中自變量的上下界應(yīng)與原設(shè)計(jì)指標(biāo)的上下界相對(duì)應(yīng)。即0與2π應(yīng)分別對(duì)應(yīng)于αi及βi，則相應(yīng)于fi(X)值轉(zhuǎn)換函數(shù)的自變量值為★令設(shè)計(jì)指標(biāo)fi(X)在轉(zhuǎn)化后為fiT(X)

，則

因此，“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”為

式中的加權(quán)因子wi(i=1,2,…,q)，是根據(jù)該項(xiàng)(第i項(xiàng))設(shè)計(jì)指標(biāo)在最優(yōu)化設(shè)計(jì)中所占的重要程度來(lái)確定?！锿ㄟ^(guò)上述換算，可使各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)都轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱且等量級(jí)的一個(gè)數(shù)。(2)目標(biāo)規(guī)劃法先分別求出各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值fi(X*)，然后根據(jù)多目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化設(shè)計(jì)的總體要求，作適當(dāng)調(diào)整，制定出理想的最優(yōu)值fi(o)

。則統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)可按如下的平方和法來(lái)構(gòu)成：這意味著當(dāng)各項(xiàng)分目標(biāo)函數(shù)分別達(dá)到各自的理想最優(yōu)值時(shí)，統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)f(X)

為最小。此法的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膄i(o)

(i=1,2,…,q)值。(3)功效系數(shù)法如果每個(gè)分目標(biāo)函數(shù)fi(X)

都用一個(gè)稱(chēng)為功效系數(shù)ηi

(i=1,2,…,q)并定義于0≤ηi≤1間的函數(shù)來(lái)表示該項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的好壞(當(dāng)ηi=1時(shí)