黑龍江省安達(dá)市田家炳高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

黑龍江省安達(dá)市田家炳高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.2．已知直線(xiàn)l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．函數(shù)區(qū)間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無(wú)極大值，極小值為-5C.極大值為27，無(wú)極小值 D.無(wú)極大值，無(wú)極小值4．120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于A(yíng)B.已知，，，則CD的長(zhǎng)為()A. B.C. D.5．如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線(xiàn)是（）A.直線(xiàn) B.圓C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)6．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.7．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則8．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類(lèi)推.求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330C.220 D.11010．在長(zhǎng)方體中，若，，則異而直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．直線(xiàn)的傾斜角為（）A.1 B.－1C. D.12．若數(shù)列對(duì)任意滿(mǎn)足，下面選項(xiàng)中關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法正確的是（）A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.可以既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.可以既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點(diǎn)A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線(xiàn)段AO1與圓O1交于點(diǎn)M，線(xiàn)段BM與圓O交于點(diǎn)N，且，則a的取值范圍為_(kāi)______.14．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.15．已知變量X，Y的一組樣本數(shù)據(jù)如下表所示，其中有一個(gè)數(shù)據(jù)丟失，用a表示．若根據(jù)這組樣本利用最小二乘法求得的Y關(guān)于X的回歸直線(xiàn)方程為，則_________．X1491625Y2a369314216．已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓的面積為．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法來(lái)估計(jì)的近似值，先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對(duì)，，其中，均為內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，再由計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)其中滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)有個(gè)，由此可估計(jì)的近似值為_(kāi)_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓：的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，且以線(xiàn)段為直徑的圓被直線(xiàn)所截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若直線(xiàn)斜率大于，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.18．（12分）已知圓：，定點(diǎn)，A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交半徑于P點(diǎn)（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)C相交于M，N兩點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：直線(xiàn)MQ的斜率與直線(xiàn)NQ的斜率之和為定值19．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20．（12分）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與半徑相交于點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于、兩點(diǎn)，記、的斜率分別是、，以、為直徑的圓的面積分別為、當(dāng)、都存在且不為時(shí)，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且該橢圓過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求的值22．（10分）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.2、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.3、B【解析】求出得出的單調(diào)區(qū)間，從而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.故選：B4、B【解析】由，把展開(kāi)整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B5、D【解析】由到直線(xiàn)的距離等于到點(diǎn)的距離可得到直線(xiàn)的距離等于到點(diǎn)的距離，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離等于到點(diǎn)的距離，所以到直線(xiàn)的距離等于到點(diǎn)的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)故選：D6、C【解析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.7、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫(xiě)出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C8、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C9、A【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項(xiàng)和為，要使，有，此時(shí)，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時(shí)，所以對(duì)應(yīng)滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)，故選A.點(diǎn)睛:本題非常巧妙地將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀(guān)察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.Ⅱ卷10、C【解析】通過(guò)平移把異面直線(xiàn)平移到同一平面中，所以取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線(xiàn)與所成角為和所成角，通過(guò)解三角形即可得解.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱(chēng)性可得體對(duì)角線(xiàn)過(guò)中心點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線(xiàn)和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線(xiàn)與所成角的余弦值為：，故選：C.11、C【解析】根據(jù)直線(xiàn)斜率的定義即可求解.【詳解】，斜率為1，則傾斜角為.故選：C.12、D【解析】由已知可得或，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，可得答案【詳解】由，得或，即或，若，則數(shù)列是等差數(shù)列，則B錯(cuò)誤；若，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，則A錯(cuò)誤數(shù)列是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列；由，不能得到數(shù)列為非0常數(shù)列，則不可以既是等差又是等比數(shù)列，則C錯(cuò)誤；可以既不是等差又不是等比數(shù)列，如1，3，5，10，20，，故D正確；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)判斷出四邊形為平行四邊形，由此求得圓的方程以及的長(zhǎng)，進(jìn)而判斷出點(diǎn)在圓上，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，求得的取值范圍.【詳解】四邊形ONO1M為平行四邊形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圓的方程為，且ON為△ABM的中位線(xiàn)AM＝2ON＝2AO1＝3，故點(diǎn)A在以O(shè)1為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為：，故與x2＋y2＝1在第一象限有交點(diǎn)，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范圍為(，4).故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.14、2n+1【解析】由計(jì)算，再計(jì)算可得結(jié)論【詳解】由題意時(shí)，，又適合上式，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由求通項(xiàng)公式，解題根據(jù)是，但要注意此式不含，15、17【解析】根據(jù)回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本點(diǎn)中心即可解出【詳解】因?yàn)?，，所以，解得故答案為?716、【解析】由，，根據(jù)表示的數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的概率，再轉(zhuǎn)化為幾何概型的面積類(lèi)型求解【詳解】，，表示的數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，其面積為，故，得故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何型概率應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握幾何型概率求法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，由解得，再由離心率結(jié)合求解。（2）設(shè)，則，得到直線(xiàn)：；直線(xiàn)：，聯(lián)立求得，再根據(jù)線(xiàn)斜率大于，求得，然后由求解.【詳解】（1）以線(xiàn)段為直徑的圓的圓心為：，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，解得：，又橢圓離心率，∴，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，其中，，則，∴，，則直線(xiàn)為：；直線(xiàn)為：，由得：，∴，∴，∴，令，，則，∴，∵∴，∴，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程和幾何性質(zhì)以及直線(xiàn)與圓，橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定值為-1.【解析】(1)根據(jù)給定條件探求出，再利用橢圓定義即可得軌跡C的方程.(2)由給定條件可得直線(xiàn)的斜率k存在且不為0，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，再聯(lián)立軌跡C的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】圓：的圓心，半徑為8，因A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交半徑于P點(diǎn)，則，于是得，因此，P點(diǎn)的軌跡C是以，為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8的橢圓，短半軸長(zhǎng)b有，所以P點(diǎn)的軌跡C的方程是.【小問(wèn)2詳解】因直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)C：相交于M，N兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率存在且不為0，又不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即直線(xiàn)的斜率不等于-1，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，且，直線(xiàn)的方程為：，即，由消去y并整理得：，，即，則有且，設(shè)，則，直線(xiàn)MQ的斜率，直線(xiàn)NQ的斜率，，所以直線(xiàn)MQ的斜率與直線(xiàn)NQ的斜率之和為定值.19、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線(xiàn)面平面；（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個(gè)法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因?yàn)?，，由，?解得平面的一個(gè)法向量，由已知，平面的一個(gè)法向量為，，∴二面角的余弦值是.點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由條件可得點(diǎn)軌跡滿(mǎn)足橢圓定義，設(shè)出橢圓方程，由，的值可得的值，從而求得軌跡方程；(2)設(shè)出直線(xiàn)的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求得為定值，也為定值，從而可得是定值【小問(wèn)1詳解】由題意知，，根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，曲線(xiàn)的方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意知直線(xiàn)的方程為且m≠0)，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，為．21、（1）（2）【解析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式求得P到橢圓的左右焦點(diǎn)的距離，然后根據(jù)橢圓的定義得到a的值，結(jié)合