云南省昭通市三中2025屆高二上數學期末考試試題含解析

云南省昭通市三中2025屆高二上數學期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某學校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數為（）A.10 B.30C.40 D.462．已知奇函數是定義在R上的可導函數，的導函數為，當時，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．等差數列前項和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.4．已知數列是等差數列，下面的數列中必為等差數列的個數為（）①②③A.0 B.1C.2 D.35．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B.C. D.6．已知向量，，，若，則實數（）A. B.C. D.7．橢圓焦距為（）A. B.8C.4 D.8．命題“存在，使得”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.9．已知函數，則的值為（）A. B.C.0 D.110．下列關系中，正確的是（）A. B.C. D.11．已知函數，則等于（）A.0 B.2C. D.12．已知定義域為R的函數f(x)不是偶函數，則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為___________.14．已知方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為________15．過拋物線的焦點F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點（A在B的上方），且l與準線交于點C，若，則_________.16．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，左、右焦點分別是，，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓內有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.（1）當P為弦的中點時，求直線l的方程；（2）若直線l與直線平行，求弦的長.18．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標原點）19．（12分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數量的平均值和中位數；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費為45元的概率.20．（12分）在中，是的中點，，現將該平行四邊形沿對角線折成直二面角，如圖：（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，FA⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2（1）求證：平面FAC⊥平面EFC；（2）求多面體ABCDEF的體積22．（10分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）證明：對任意正整數n，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數表示計算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數為種故選：C2、B【解析】根據給定的不等式構造函數，再探討函數的性質，借助性質解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數，則，即是R上的奇函數，當時，，則有在單調遞增，又函數在R上連續(xù)，因此，函數在R上單調遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B3、C【解析】由題意，設等差數列的公差為，則，故，故，故選4、C【解析】根據等差數列的定義判斷【詳解】設的公差為，則，是等差數列，，是常數列，也是等差數列，若，則不是等差數列，故選：C5、D【解析】分析：先根據條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.詳解：因為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.6、C【解析】先根據題意求出，然后再根據得出，最后通過計算得出結果.【詳解】因為，，所以，又，，所以，即，解得.故選：.【點睛】本題主要考查向量數量積的坐標運算及向量垂直的相關性質，熟記運算法則即可，屬于?？碱}型.7、A【解析】由題意橢圓的焦點在軸上，故，求解即可【詳解】由題意，，故橢圓的焦點在軸上故焦距故選：A8、B【解析】“存在，使得”為真命題，可得，利用二次函數的單調性即可得出．再利用充要條件的判定方法即可得出.【詳解】解：因為“存在，使得”為真命題，所以，因此上述命題得個充分不必要條件是.故選：B.【點睛】本題考查了二次函數的單調性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.9、B【解析】對函數求導，然后將代入導數中可得結果.【詳解】，則，則，故選：B10、B【解析】根據對數函數的性質判斷A，根據指數函數的性質判斷B，根據正弦函數的性質及誘導公式判斷C，根據余弦函數的性質及誘導公式判斷D；【詳解】解：對于A：因為，，，故A錯誤；對于B：因為在定義域上單調遞減，因為，所以，又，，因為在上單調遞增，所以，所以，所以，故B正確；對于C：因為在上單調遞減，因為，所以，又，所以，故C錯誤；對于D：因為在上單調遞減，又，所以，又，所以，故D錯誤；故選：B11、D【解析】先通過誘導公式將函數化簡，進而求出導函數，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.12、C【解析】利用偶函數的定義和全稱命題的否定分析判斷解答.【詳解】∵定義域為R的函數f(x)不是偶函數，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.故選C【點睛】本題主要考查偶函數的定義和全稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.14、【解析】根據焦點在軸的雙曲線的標準方程的特征可得答案.【詳解】因為雙曲線的焦點在軸上，則，解得.所以的取值范圍為故答案為：15、2【解析】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，由可求.【詳解】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，設，，則，∴，∴.故答案為：2.16、【解析】根據的面積和短軸長得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關于的函數，從而求出答案【詳解】由已知得，故，∵的面積為，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為點睛】本題考查了橢圓的簡單性質，函數最值的計算，熟練掌握橢圓的基本性質是解題的關鍵，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點斜式即可求解；（2）由題意，利用點斜式求出直線l的方程，然后由點到直線的距離公式求出弦心距，最后根據弦長公式即可求解.小問1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點時，由圓的性質有，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】解：因為直線l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因為圓心到直線的距離，又半徑，所以由弦長公式得.18、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設直線方程為，，，，，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當且僅當時取等號，即面積的最小值為；19、(1)公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數，運用平均數的公式即可；由于中位數將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數位于哪一組，然后建立關于中位數的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據題意分別確定總的基本事件個數，以及事件“快遞費為45元”包括的基本事件個數，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數量的平均數為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數量的平均數為設中位數為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設四件禮物分為二個包裹E、F，因為禮物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克），都超過5千克，故E和F的重量數分別有，，，，共5種，對應的快遞費分別為45、45、50，45，50（單位：元）故所求概率為.【點睛】主要考查了頻率分布直方圖的平均數，中位數求解，以及古典概型，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先求出BD，通過勾股定理的逆定理得，再由面面垂直的性質得線面垂直，從而得線線垂直；（2）作出二面角，然后再解直角三形即可.【小問1詳解】在中，，，由余弦定理有：，∴，∴，即.又∵二面角是直二面角，平面ABD平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.【小問2詳解】因為點是的中點，在中，由（1）易知,.過點作垂直的延長線于，再連接.由（1）有AB⊥平面BCD，又平面BCD，所以，又，平面，平面，且,所以平面，又平面，所以，因此的大小即二面角的大小.而在中有,，可得，所以，所以.所以二面角的余弦值是.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)連接BD交AC于點O，設FC的中點為P，連接OP，EP，證明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.(2)求出三棱錐和四棱錐的體積即可計算作答.【小問1詳解】連接BD交AC于點O，設FC的中點為P，連接OP，EP，如圖，菱形ABCD中，O為AC的中點，則OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，于是得OP//ED，且OP=ED，即有四邊形OPED為平行四邊形，則OD//EP，即BD//EP，因為FA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，則FA⊥BD，又四邊形ABCD是菱形，即BD⊥AC，而FAAC=A，平面FAC，因此，BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP平面EFC，所以平面FAC⊥平面EFC.【小問2詳解】由已知，是正三角形，，則，取AD的中點G，連接CG，而△ACD為正三角形，從而有CG⊥AD，且，因FA⊥平面ABCD，FA平面ADEF，則平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCD=AD，而CG平面ABCD，因此，CG⊥平面ADEF，則點C到平面ADEF的距離為，又，于是得，所以多面體ABCDEF的體積.22、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)