福建省福州市2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題含解析

福建省福州市2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點，則下列結論正確的有（）A.不存在點使得異面直線與所成角為90°B.存在點使得異面直線與所成角為45°C.存在點使得二面角的平面角為45°D.當時，平面截正方體所得的截面面積為2．已知點、是雙曲線C：的左、右焦點，P是C左支上一點，若直線的斜率為2，且為直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.C. D.3．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.144．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.35．已知圓M與直線與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.6．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上7．某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應概率如下：排隊人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.748．已知數(shù)列滿足，則（）A.32 B.C.1320 D.9．橢圓的兩焦點之間的距離為A. B.C. D.10．下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，的前項和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.1812．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到拋物線上的點的距離的最小值為________.14．已知數(shù)列的前項和，則該數(shù)列的首項__________，通項公式__________.15．在平面直角坐標系中，雙曲線左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，則雙曲線的漸近線方程為___________.16．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列中，首項，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，，數(shù)列滿足(且)，.（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.19．（12分）某企業(yè)為響應“安全生產(chǎn)”號召，將全部生產(chǎn)設備按設備安全系數(shù)分為A，兩個等級，其中等設備安全系數(shù)低于A等設備.企業(yè)定時對生產(chǎn)設備進行檢修，并將部分等設備更新成A等設備.據(jù)統(tǒng)計，2020年底該企業(yè)A等設備量已占全體設備總量的30%.從2021年開始，企業(yè)決定加大更新力度，預計今后每年將16%的等設備更新成A等設備，與此同時，4%的A等設備由于設備老化將降級成等設備.（1）在這種更新制度下，在將來的某一年該企業(yè)的A等設備占全體設備的比例能否超過80%？請說明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設備占全體設備的比例超過60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）20．（12分）求滿足下列條件的曲線的方程：（1）離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程（2）與橢圓有相同焦點，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方程21．（12分）某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.22．（10分）如圖1是一張長方形鐵片，，，，分別是，中點，，分別在邊，上，且，將它卷成一個圓柱的側面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由正方體的性質可將異面直線與所成的角可轉化為直線與所成角，而當為的中點時，可得，可判斷A；與或重合時，直線與所成的角最小可判斷B；當與重合時，二面角的平面角最小，通過計算可判斷C；過作，交于，交于點，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉化為直線與所成角，當為中點時，，此時與所成的角為90°，所以A錯誤；當與或重合時，直線與所成角最小，為60°，所以B錯誤；當與重合時，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯誤；對于D，過作，交于，交于點，因為，所以、分別是、的中點，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因為，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.2、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理利用即可得離心率.【詳解】∵直線的斜率為2，為直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故選：B.3、A【解析】由一元二次不等式的解集，結合根與系數(shù)關系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.4、C【解析】根據(jù)題意設設，根據(jù)題意得到，進而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設，因為，所以，所以，則故選：C.5、A【解析】由題可設，結合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設圓心，又圓M與直線與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.6、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內(nèi)的一動點，所以可設，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于常考題型.7、D【解析】利用互斥事件概率計算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺排隊等候付款的人數(shù)及其相應概率表，得：至少有兩人排隊的概率為：故選：D【點睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計算公式，考查運算求解能力，是基礎題8、A【解析】先令，求出，再當時，由，可得，然后兩式相比，求出，從而可求出，進而可求得答案【詳解】當時，，當時，由，可得，兩式相除可得，所以，所以，故選：A9、C【解析】根據(jù)題意，由于橢圓的方程為,故可知長半軸的長為,那么可知兩個焦點的坐標為，因此可知兩焦點之間的距離為，故選C考點：橢圓的簡單幾何性質點評：解決的關鍵是將方程變?yōu)闃藴适?，然后結合性質得到結論，屬于基礎題10、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)和求導法則判斷.【詳解】，，，，只有B正確.故選：B.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，考查導數(shù)的運算法則，屬于基礎題.11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質及通項公式計算求解即可.【詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C12、A【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，利用雙曲線，結合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標準方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關系建立方程求出，，是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出拋物線上點的坐標，利用兩點間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設拋物線上的點坐標，則，當時，取得最小值，且最小值為.故答案為：14、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接進行求解即可；空二：利用之間的關系進行求解即可.【詳解】空一：；空二：當時，，顯然不適合上式，所以，故答案為：；15、【解析】首先根據(jù)已知條件得到，再結合雙曲線的幾何性質求解即可.【詳解】如圖所示：，，所以，即.設，則，.即，，，，所以，漸近線方程為.故答案為：16、【解析】構造新函數(shù)，求導根據(jù)導數(shù)大于等于零得到，構造，求導得到單調(diào)區(qū)間，計算函數(shù)最小值得到答案.【詳解】當時，不等式恒成立，所以，所以在上是增函數(shù)，，則上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等比中項的性質結合等差數(shù)列的通項公式求出，進而得出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消求和法得出前項和為和.【小問1詳解】因為成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；【小問2詳解】因為，，，18、（1），；（2）.【解析】(1)根據(jù)，列方程組即可求解數(shù)列的通項公式，根據(jù)可求數(shù)列的通項公式；(2)化簡，利用裂項相消法求該數(shù)列前n項和.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，∴；【小問2詳解】∵，∴，.19、（1）A等設備量不可能超過生產(chǎn)設備總量的80%，理由見解析；（2）在2025年底實現(xiàn)A等設備量超過生產(chǎn)設備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開始，經(jīng)過年后A等設備量占總設備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進行判斷；(2)令＞即可求解.【小問1詳解】記該企業(yè)全部生產(chǎn)設備總量為“1”，2020年開始，經(jīng)過年后A等設備量占總設備量的百分比為，則經(jīng)過1年即2021年底該企業(yè)A等設備量，，可得，又所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，顯然有，所以A等設備量不可能超過生產(chǎn)設備總量的80%.【小問2詳解】由，得.因為單調(diào)遞減，又，，所以在2025年底實現(xiàn)A等設備量超過生產(chǎn)設備總量的60%.20、（1）或；（2）【解析】(1)根據(jù)題意,由橢圓的幾何性質可得a、c的值,計算可得b的值,討論橢圓焦點的位置,求出橢圓的標準方程,即可得答案；(2)根據(jù)題意,求出橢圓的焦點坐標,進而可以設雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意,要求橢圓的長軸長為6,離心率為,則,,解可得：,；則,若橢圓的焦點在x軸上,其方程為,若橢圓的焦點在y軸上,其方程為,綜合可得：橢圓的標準方程為或；（2）根據(jù)題意,橢圓的焦點為和,故要求雙曲線的方程為,且,則有,又由雙曲線經(jīng)過經(jīng)過點,則有,,聯(lián)立可得：,故雙曲線方程為：【點睛】本題考查橢圓、雙曲線的標準方程的求法,涉及橢圓、雙曲線的幾何性質,屬于基礎題21、（1）；（2）估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2025屆.【解析】（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；（2）代入，可估計2021年的營業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應的t的值為121，營業(yè)收入，所以估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為