甘肅省寧縣二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

甘肅省寧縣二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg2．拋物線的準(zhǔn)線方程是A.x=1 B.x=-1C. D.3．在等差數(shù)列中，，，則使數(shù)列的前n項和成立的最大正整數(shù)n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.40424．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.6．集合，則集合A的子集個數(shù)為（）A.2個 B.4個C.8個 D.16個7．設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.若，則的最小值為（）A. B.C.4 D.58．已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.69．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.10．拋物線y＝4x2的焦點坐標(biāo)是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.11．在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（）A. B.1C. D.12．某家庭準(zhǔn)備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個網(wǎng)站關(guān)于四家餐館的好評率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評率，他們應(yīng)選擇（）網(wǎng)站①評價人數(shù)網(wǎng)站①好評率網(wǎng)站②評價人數(shù)網(wǎng)站②好評率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線：上的一點到它的焦點的距離為3，則__.14．曲線圍成的圖形的面積是__________15．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為______.16．已知命題：，總有．則為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．（12分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對應(yīng)的邊長,且（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，且△的面積為，求.19．（12分）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點在橢圓上（1）經(jīng)過點M（1，）作一直線交橢圓于AB兩點，若點M為線段AB的中點，求直線的斜率；（2）設(shè)橢圓C的上頂點為P，設(shè)不經(jīng)過點P的直線與橢圓C交于C，D兩點，且，求證：直線過定點20．（12分）設(shè)：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足（1）當(dāng)時，若與均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，22．（10分）新疆長絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長，被世人譽為“棉中極品”，產(chǎn)于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計概率，求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D2、C【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準(zhǔn)線方程是y＝﹣故答案為C【點睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題3、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得，，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式及等差中項、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、，即可確定答案.【詳解】因為是等差數(shù)列且，，所以，，.故選：C.4、C【解析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.5、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B6、C【解析】取，再根據(jù)的周期為4，可得，即可得解.【詳解】因為，所以.時,，時,，時,，時,，所以集合，所以的子集的個數(shù)為，故選：C.7、C【解析】作出圖形，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，從而得出，再由、、三點共線時，取最小值得解.【詳解】，所以在拋物線的內(nèi)部，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.8、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因為a，b為正實數(shù)，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：D9、C【解析】函數(shù)有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.10、C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線的焦點坐標(biāo)得選項.【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標(biāo)為（0，）.故選：C11、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點到直線的距離公式進行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離為故選：B12、D【解析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評率，再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評率為：，餐館乙的總好評率為：，餐館丙的好評率為：，餐館丁的好評率為：，顯然，所以餐館丁的總好評率最高.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過拋物線的定義列式求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義知，所以.故答案為：14、【解析】當(dāng)，時，已知方程是，即．它對應(yīng)的曲線是第一象限內(nèi)半圓弧（包括端點），它的圓心為，半徑為.同理，當(dāng)，；，；，時對應(yīng)的曲線都是半圓弧（如圖）．它所圍成的面積是.故答案為15、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結(jié)合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過點作直線的垂線，垂足為因為表示原點與可行域中點之間的距離，所以的最小值為.故答案為：16、，使得【解析】全稱命題改否定，首先把全稱量詞改成特稱量詞，然后把后面結(jié)論改否定即可.【詳解】解：因為命題，總有，所以的否定為：，使得故答案為，使得【點睛】本題考查了全稱命題的否定，全稱命題（特稱命題）改否定，首先把全稱量詞（特稱量詞）改成特稱量詞（全稱量詞），然后把后面結(jié)論改否定即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組，求解方程組，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，即可求出結(jié)果.（2）對數(shù)列中項的正負情況進行討論，再結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，因為，，所以解得故.【小問2詳解】解：設(shè)的前項和為，則.當(dāng)時，，所以所以；當(dāng)時，.所以.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關(guān)于角A的關(guān)系式，求解A（II）再結(jié)合正弦面積公式得到三角形的邊長的求解【詳解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為代入點的坐標(biāo)求出橢圓的方程，再利用點差法求解；（2）由題得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得韋達定理，根據(jù)和韋達定理得到，即得證.【小問1詳解】解：由題設(shè)橢圓的方程為因為橢圓經(jīng)過點，所以所以橢圓的方程為.設(shè)，所以，所以，由題得，所以，所以，所以，所以直線的斜率為.【小問2詳解】解：由題得當(dāng)直線的斜率不存在時，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組y=kx+nx24所以，解得①，設(shè)，，，，則②，因為，則，，，又，，所以③，由②③可得（舍或滿足條件①，此時直線的方程為，故直線過定點20、（1）；（2）.【解析】（1）將代入，解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.（2）求出：，根據(jù)題意可得轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，：，：或.因為，中都是真命題.所以所以實數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時，：，：或，所以：，因為是的必要條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.21、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點三角形周長可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時，設(shè)過的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡得關(guān)于的二次方程，由韋達定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當(dāng)平行于軸時，恰好平