江西省宜春市宜春中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

江西省宜春市宜春中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出如下四個命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準(zhǔn)線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④2．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．3．拋物線準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.4．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對6．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.7．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.410．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.11．如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個點(diǎn)，則集合的元素個數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.812．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與直線和直線的距離相等的直線方程為______14．曲線的一條切線的斜率為，該切線的方程為________.15．不等式的解集是________16．橢圓的長軸長為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，第1個圖形需要4根火柴，第2個圖形需要7根火柴，，設(shè)第n個圖形需要根火柴（1）試寫出，并求；（2）記前n個圖形所需的火柴總根數(shù)為，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，求△的面積S的最大值.19．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點(diǎn)，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結(jié)PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點(diǎn)，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值20．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程.21．（12分）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B，A，C成等差數(shù)列.（1）求A的大??；（2）若，且的面積為，求的周長.22．（10分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】對選項(xiàng)①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯誤，對選項(xiàng)②，求出橢圓離心率即可判斷②錯誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯誤?！驹斀狻繉τ冖龠x項(xiàng)，，，故①錯誤；對于②選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故②錯誤；對于③選項(xiàng)，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故③正確；對于④選項(xiàng)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程是，故④錯誤.故選：A2、D【解析】由題可知：，，，故選；D3、D【解析】由拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.5、B【解析】根據(jù)極限的定義計(jì)算【詳解】由題意故選：B6、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B7、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.8、C【解析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因?yàn)椋式獾?，則，在中，，即，所以故選：C9、A【解析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A10、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，時，為負(fù)數(shù)，A錯誤.對于B選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確.對于D選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C11、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，正四棱柱的三個邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個數(shù)為1.故選：A.12、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)直線方程為，根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可求解.【詳解】設(shè)該直線為：，則由兩平行直線之間距離公式得：，故該直線為：；故答案為：.14、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線斜率求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，可得，解得，即有切點(diǎn)，則切線的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，和求切線方程，難度不大，關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，15、【解析】先將分式不等式化為一元二次不等式，再根據(jù)一元二次不等式的解法解不等式即可【詳解】∵，∴（x﹣2）（x+4）＜0，∴-4＜x＜2，即不等式的解集為{x|-4＜x＜2}故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式及一元二次不等式的解法，比較基礎(chǔ)16、4【解析】把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式直接計(jì)算作答.【詳解】橢圓方程化為：，令橢圓長半軸長為a，則，解得，所以橢圓的長軸長為4.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)找到規(guī)律寫出，由等差數(shù)列的定義求.（2）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和求，再利用裂項(xiàng)相消法求.【小問1詳解】由題意知：，，，，可得每增加一個正方形，火柴增加3根，即，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，則.【小問2詳解】由題意可知，，所以，則，所以，，即18、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得C的大?。唬?）由余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得，由三角形面積公式求面積的最大值，注意等號成立條件.【小問1詳解】由正弦定理知：，∴，又，∴，則，故.【小問2詳解】由，又，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴△的面積S的最大值為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)A、D分別為MB、MC中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)椋?，，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，設(shè)直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.20、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點(diǎn)間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關(guān)系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，整理得，得（舍），或，所以；?）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設(shè)：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因?yàn)椋?，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用距離公式建立等量關(guān)系，求出c是求出橢圓方程的關(guān)鍵.21、（1）（2）【