黑龍江省哈爾濱市第24中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

黑龍江省哈爾濱市第24中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M=AN=，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，則（）A. B.C. D.3．過拋物線C：的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．橢圓：的左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的值是（）A.3 B.4C.6 D.85．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.6．與的等差中項(xiàng)是（）A. B.C. D.7．給出下列四個(gè)說法，其中正確的是A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.“”是“雙曲線的離心率大于”的充要條件C.命題“，”的否定是“，”D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則取得最大值時(shí)n的值為（）A.2 B.3C.4 D.59．某學(xué)校的校車在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點(diǎn)，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點(diǎn)，且到達(dá)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過5分鐘的概率是（）A. B.C. D.10．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切12．有下列四個(gè)命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是________14．過拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線與A，C，B，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD面積的最小值為___________15．復(fù)數(shù)的實(shí)部為_________16．某天上午只排語文、數(shù)學(xué)、體育三節(jié)課，則體育不排在第一節(jié)課的概率為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)、延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)、延遲5至10分鐘送達(dá)、其他延遲情況，分別評(píng)定為四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)3元、獎(jiǎng)勵(lì)0元、罰款3元、罰款6元.假定評(píng)定為等級(jí)的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為3元的概率.18．（12分）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)；（2）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，經(jīng)過點(diǎn).19．（12分）已知二次函數(shù)，令，解得.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)關(guān)于的不等式恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍.20．（12分）已知直線，直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行，設(shè)直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn).（1）求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；（2）若圓C經(jīng)過點(diǎn)A和B，且圓心C在直線上，求圓C的方程.21．（12分）已知橢圓的上頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且，，點(diǎn)G為垂足，是否存在定圓恒經(jīng)過A，G兩點(diǎn)，若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線分別與橢圓C交于點(diǎn)，過作直線的平行線與橢圓交于點(diǎn)，問直線是否過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BB1C1C的法向量和直線MN的方向向量，利用兩向量垂直，得到線面平行.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由圖可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利于空間向量判斷線面平行，屬于簡單題目.2、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的求和公式可得，解得.故選：D.3、D【解析】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準(zhǔn)線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意點(diǎn)恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)由題意，拋物線C的準(zhǔn)線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對(duì)任意點(diǎn)恒成立，也就是對(duì)任意點(diǎn)恒成立因?yàn)?，，則，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點(diǎn)睛】一般表示拋物線的切線方程時(shí)可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計(jì)算.4、D【解析】令橢圓C的右焦點(diǎn)，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓C的右焦點(diǎn)，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長半軸長，所以.故選：D5、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個(gè)式子均有2n-1項(xiàng)，且第一項(xiàng)為n，則最后一項(xiàng)為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）6、A【解析】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.【詳解】與的等差中項(xiàng)是故選：A7、D【解析】A選項(xiàng)：否命題應(yīng)該對(duì)條件結(jié)論同時(shí)否定，說法不正確；B選項(xiàng)：雙曲線的離心率大于，解得，所以說法不正確；C選項(xiàng)：否定應(yīng)該是：，，所以說法不正確；D選項(xiàng)：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項(xiàng)不正確；雙曲線的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項(xiàng)不正確；命題“，”的否定是“，”，所以C選項(xiàng)不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”，在中，若，可能，此時(shí)三角形不是銳角三角形，所以這是一個(gè)假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項(xiàng)說法正確.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查四個(gè)命題關(guān)系，充分條件與必要條件，含有一個(gè)量詞的命題的否定，關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系，正確求解.8、C【解析】根據(jù)單調(diào)性分析出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)有哪些即可求解.【詳解】由條件有，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.即，所以取得最大值時(shí)n的值為.故選：C9、B【解析】求出小明等車時(shí)間不超過5分鐘能乘上車的時(shí)長，即可計(jì)算出概率.【詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車時(shí)間不超過5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B10、D【解析】由拋物線的焦點(diǎn)可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程【詳解】由題可知，拋物線焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因?yàn)?，解得故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C12、B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，令即可驗(yàn)證其不正確；對(duì)于選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，令，即可驗(yàn)證其均不正確，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，則，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，令，則，顯然成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令，則顯然無解，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，令，則顯然不成立，故D錯(cuò).故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗(yàn)證即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2x＋4y－3＝0【解析】設(shè)弦端點(diǎn)為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.14、512【解析】設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知：直線存在斜率且不為零，所以設(shè)直線的斜率為，所以直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立得：，設(shè)，所以，由拋物線的定義可知：，因?yàn)橹本€互相垂直，所以直線的斜率為，同理可得：，所以四邊形ABCD面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：51215、【解析】復(fù)數(shù)，其實(shí)部為.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.16、【解析】寫出語文、數(shù)學(xué)、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況，利用概率公式計(jì)算即可.【詳解】所有可能結(jié)果如下：（語文，數(shù)學(xué)，體育）；（語文，體育，數(shù)學(xué)）；（數(shù)學(xué)，語文，體育）：（數(shù)學(xué)，體育，語文）；（體育，語文，數(shù)學(xué)）；（體育，數(shù)學(xué)，語文）,其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種，則體育不排在第一節(jié)課的概率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件分別表示“被評(píng)為等級(jí)”，由題意，事件兩兩互斥，所以，又“不被罰款”，所以.因此“不被罰款”概率為；【小問2詳解】設(shè)事件表示“第單被評(píng)為等級(jí)”，，則“兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用雙曲線定義求出雙曲線的實(shí)軸長即可計(jì)算作答.（2）設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【小問1詳解】因雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)，令雙曲線實(shí)半軸長為a，則有，解得，雙曲線半焦距，虛半軸長b有，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意，設(shè)雙曲線的方程為：，于是得，解得：，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可求，；（2）根據(jù)題意，得出不等式恒成立，則，解不等式即可求出實(shí)數(shù)的范圍.詳解】解：（1）由題可知，，解得：，則-3，2是方程的兩個(gè)根，且，所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得，解得，所以二次函數(shù)的解析式為：；（2）由于不等式恒成立，即恒成立，則，解得：，所以實(shí)數(shù)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次不等式的解集求函數(shù)解析式，以及不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考查根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力20、（1），；（2）.【解析】（1）由直線平行及所過的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程，進(jìn)而求A、B坐標(biāo).（2）由（1）求出垂直平分線方程，并聯(lián)立直線求圓心坐標(biāo)，即可求圓的半徑，進(jìn)而寫出圓C的方程.【小問1詳解】由題設(shè)，的斜率為，又直線與直線平行且過，所以直線為，即，令，則；令，則.所以，.【小問2詳解】由（1）可得：垂直平分線為，即，聯(lián)立，可得，即，故圓的半徑為，所以圓C的方程為.21、（1）；（2）存在，定圓.【解析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設(shè)直線的方程，利用韋達(dá)定理及條件可得直線恒過定點(diǎn)，則以為直徑的圓適合題意，即得.【小問1詳解】由題設(shè)知，橢圓上頂點(diǎn)為，且在直線上∴，即又點(diǎn)在橢圓上，∴解得，∴橢圓C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)直線為：聯(lián)立方程，化簡得∴，，∵，∴又∵，∴將，代入，化簡得，即則或，①當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符題意.②當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，記為點(diǎn)，∵，∴以為直徑，其中點(diǎn)為圓心的圓恒經(jīng)過兩點(diǎn)，則圓方程為：；當(dāng)直線斜率不存在，設(shè)方程為，，，且，，∴，解得或（舍去），，取，以為直徑作圓，圓方程為：恒經(jīng)過兩點(diǎn)