2025屆江西省贛州市大余縣新城中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆江西省贛州市大余縣新城中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.2．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.4．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.5．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.7．以下四個(gè)命題中，正確的是（）A.若，則三點(diǎn)共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.39．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線的方程是（）A. B.C. D.10．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.311．某高中學(xué)校高二和高三年級共有學(xué)生人，為了解該校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取一個(gè)容量為的樣本，其中高一年級抽取人，則高一年級學(xué)生人數(shù)為（）A. B.C. D.12．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)（），則|z|=_____.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)A、B在橢圓上，且滿足，若令且，則該橢圓離心率的取值范圍為___________15．若、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.16．如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,且,則異面直線與所成的角的余弦值為______,點(diǎn)到平面的距離等于______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.已知，且（只需填序號(hào)）.（1）求的值；（2）求展開式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和18．（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，O是BC的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值19．（12分）已知命題：方程有實(shí)數(shù)解，命題：，.（1）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)與曲線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線．設(shè)直線交軸于，交軸于，且點(diǎn)，求的軌跡方程22．（10分）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).（1）求在這個(gè)矩形場地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；（2）P為矩形場地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒有公共點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立2、D【解析】根據(jù)題意得出的符號(hào)，進(jìn)而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.3、B【解析】根據(jù)題圖有且，結(jié)合五點(diǎn)法求參數(shù)，即可得的解析式.【詳解】由圖知：且，則，所以，則，即，又，可得，，則，，又，即有.綜上，.故選：B4、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.5、D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱睿獾霉蔬x：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.6、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A7、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對于A，若，，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯(cuò)誤；對于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確.故選：D.8、D【解析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時(shí)，結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結(jié)合選項(xiàng)知：D符合要求.故選：D.9、B【解析】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則，利用點(diǎn)差法可得答案.【詳解】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則因?yàn)椋瑑墒较鄿p可得，，即由中點(diǎn)公式可得，所以，即，所以AB所在直線方程為，即故選：B10、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③錯(cuò)誤；故選：C11、B【解析】先得到從高二和高三年級抽取人，再利用分層抽樣進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)高一年級學(xué)生人數(shù)為，因?yàn)閺娜齻€(gè)年級中抽取一個(gè)容量為的樣本，且高一年級抽取人，所以從高二和高三年級抽取人，則，解得，即高一年級學(xué)生人數(shù)為.故選：B12、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數(shù)，所以，（由條件，所以等號(hào)不成立），所以④正確.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數(shù)的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.14、【解析】由得為矩形，則，故，結(jié)合正弦函數(shù)即可求得范圍【詳解】由已知可得，且四邊形為矩形所以，又因?yàn)椋缘秒x心率因?yàn)?，所以，可得，從而故答案為?5、【解析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點(diǎn)，，B為雙曲線上一點(diǎn)，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過條件直接得到a，c的值，這時(shí)可將或視為一個(gè)整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，從而得到離心率的值.16、①.②.【解析】因?yàn)榈酌媸橇庑?可得,則異面直線與所成的角和與所成的角相等,即可求得異面直線與所成的角的余弦值.在底面從點(diǎn)向作垂線,求證垂直平面,即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意畫出其立體圖形:如圖底面是菱形,則異面直線與所成的角和直線與所成的角相等平面,平面又,底面是菱形即故:異面直線與所成的角的余弦值為:在底面從點(diǎn)向作垂線平面,平面,平面故是到平面的距離故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查了求異面直線的夾角和點(diǎn)到面距離,解題關(guān)鍵是掌握將求異面直線夾角轉(zhuǎn)化為共面直線夾角的解法,考查了分析能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選①②③，答案均為；（2）66【解析】（1）選①時(shí)，利用二項(xiàng)式定理求得的通項(xiàng)公式為，從而得到，求出n的值；選②時(shí)，利用二項(xiàng)式系數(shù)和的公式求出，解出n的值；選③時(shí)，利用賦值法求解，，從而求出n的值；（2）在第一問求出的的前提下進(jìn)行賦值法求解.【小問1詳解】選①，其中，而的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：；選②，由于，所以，解得：；選③，令中得：，再令得：，解得：；【小問2詳解】由（1）知：n=7，所以，令得：，令得：，兩式相減得：，所以，故展開式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為66.18、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結(jié)合面面垂直判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的公式可得，進(jìn)而解方程即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，O是BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面平面BCD【小問2詳解】連接OD，又因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，因?yàn)锳－BCD的體積為，所以，解得，即A（0，0，3），，∵，∴，設(shè)平面BCD的法向量為，,則，取平面BCD的法向量為，，，設(shè)是平面BDE的法向量，則，∴取平面BDE的法向量，解得或（舍）19、（1）或；（2）【解析】（1）由方程有實(shí)數(shù)根則，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)為真命題,即從而得出的取值范圍,由（1）可得出為假命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.即可得出答案.【詳解】解：（1）方程有實(shí)數(shù)解得，，解之得或；（2）為假命題，則，為真命題時(shí)，，，則故.故為假命題且為真命題時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查命題為真時(shí)求參數(shù)的范圍和兩個(gè)命題同時(shí)滿足條件時(shí)，求參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式和直線與圓相切的性質(zhì)即可得出；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題設(shè)條件，設(shè)直線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，依題意：化簡得：，即為動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程【小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，滿足條件，使①，顯然直線斜率不為0，所以由直線過點(diǎn)，可設(shè)，由得設(shè)，，，，則，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在點(diǎn)使得21、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達(dá)定理可確定點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得方程，進(jìn)而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)之間關(guān)系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略題目