江西省上饒市華東師范大學上饒實驗中學2024-2025學年高二上學期10月數(shù)學檢測題

江西省華東師大上饒實驗中學2024-2025學年高二上學期10月數(shù)學檢測題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知直線，，若，則實數(shù)（

）A． B． C．-1 D．-22．已知點、在圓上，且的中點在圓上，則弦長的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點，則橢圓的離心率范圍為（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點．且，這樣的直線有4條，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．在棱長為的正四面體中，點與滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．6．如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段于點，，若，則（

）A． B．4 C． D．7．從，，，，，，這個數(shù)中任選個組成一個沒有重復數(shù)字的“五位凹數(shù)”（滿足），則這樣的“五位凹數(shù)”的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個8．某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有（

）A．36種 B．60種 C．120種 D．180種二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知拋物線的焦點為為坐標原點，點在拋物線C上，若，則（

）A． B．以為直徑的圓與x軸相切C．F的坐標為 D．10．如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點，點是線段上動點，則下列說法正確的是（

）A．；B．當是靠近的三等分點時，，，共面；C．當時，；D．的最小值為．11．已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，則下列說法正確的是（

）A．展開式共有6項 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項C．展開式的常數(shù)項為540 D．展開式含有三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若過圓外一點作圓的兩條切線，切點分別為，且，則．13．在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為.14．已知，若則實數(shù)的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15．（17分）已知圓：，過直線：上的動點作圓的切線，切點分別為，．(1)當時，求出點的坐標；(2)經(jīng)過，，三點的圓是否過定點？若是，求出所有定點的坐標；(3)求線段的中點的軌跡方程．16．（15分）已知圓交軸于，兩點，橢圓過點且以為長軸.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線與橢圓交于，兩點，與圓交于，兩點，若不重合的兩條直線與分別平分線段，.①求證：為定值；②已知直線，與橢圓分別交于，，，，且，求四邊形面積的最大值.17．（15分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，在陽馬中，側(cè)棱平面，且，E為BC的中點，F(xiàn)為DP上的點，．(1)當時，證明：平面．(2)判斷是否存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為，若存在，求出λ，若不存在，請說明理由．18．（13分）已知為空間的一個基底，且，，，．(1)判斷、、、四點是否共面；(2)能否以作為空間的一個基底？若能，試以這一組基表示；若不能，請說明理由．19．（17分）已知（n為正整數(shù)）.(1)若，求該式的展開式中所有項的系數(shù)之和；(2)若，求該式的展開式中無理項的個數(shù)；(3)若，求該式的展開式中系數(shù)最大的項.參考答案1．C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線垂直的性質(zhì)列出方程即可求解.【詳解】因為直線，所以，解得：.故選：C.2．B【分析】由弦長公式可得，由此可通過求的最大值，確定弦長的最小值.【詳解】圓的圓心為O0,0，半徑為，因為點、在圓上，的中點為，所以，其中，即，因為圓的圓心為，半徑，點在圓上，所以，故，所以當時，AB取最小值，最小值為，故選：B.3．A【分析】根據(jù)橢圓焦點坐標以及直線過定點可得點在橢圓內(nèi)部，整理不等式可得離心率.【詳解】將直線整理可得，易知該直線恒過定點，若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點，可知點在橢圓內(nèi)部；易知橢圓上的點當其橫坐標為時，縱坐標為，即可得，整理可得，即，解得.故選：A4．B【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①直線只與雙曲線右支相交，②直線與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，可得答案．【詳解】設(shè)，令，則，過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于兩點，如果在同一支上，則有，如果在兩支上，則有，因為這樣的直線有4條，所以，解得，故選：B5．D【分析】以為基底，表示出，利用空間向量的數(shù)量積求模.【詳解】如圖：

以為基底，則，，所以.因為.所以.所以.故選：D6．A【分析】以為空間一組基底，結(jié)合已知條件得到，再利用四點共面即可得解.【詳解】連接并延長，交于點，以為空間一組基底，因為是的重心，點M在上，且，所以，又，則，所以，因為四點共面，所以，則.故選：A.7．A【分析】利用分步乘法計數(shù)原理可得.【詳解】第一步，從，，，，，，這個數(shù)中任選個共有種方法，第二步，選出的個數(shù)中，最小的為，從剩下的4個數(shù)中選出個分給，由題意可知，選出后就確定了，共有種方法，故滿足條件的“五位凹數(shù)”個，故選：A8．C【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論，一是在兩個城市分別投資1個項目、2個項目，二是在三個城市各投資1個項目，分別計算其情況數(shù)目，進而由加法原理，計算可得答案．【詳解】該外商不同的投資方案分為兩類：若1個城市投資2個項目，另外1個城市投資1個項目，有種投資方案；若3個城市各投資1個項目，共有種投資方案，由分類計數(shù)原理知，共有120種不同的投資方案．故選：C．9．AB【分析】由拋物線的方程求出焦點坐標即可判斷C；由焦半徑的公式求出即可判斷A；求出點的坐標，即可判斷B，D；【詳解】拋物線的焦點為，故C錯誤；點在拋物線C上，若，則，所以，故A正確；代入，得，故或所以，故D錯誤；所以以為直徑的圓的圓心為：或，半徑為，所以圓心為：或到x軸的距離為：等于圓的半徑，故以為直徑的圓與x軸相切，故B正確；故選：AB10．BCD【分析】以為基底，表示出相關(guān)向量，可直接判斷A的真假，借助空間向量共面的判定方法可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關(guān)運算可判斷CD的真假.【詳解】以為基底，則，，,.對A：因為.所以，故A錯誤；對B：當是靠近的三等分點，即時，，又，所以.故，，共面.故B正確；對C：因為，所以：，所以，故，故C正確；對D：設(shè)，.因為：.所以，.當時，有最小值，為：，故D正確.故選：BCD11．BC【分析】由二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，求出，得到二項展開式的通項公式，逐項判斷即可.【詳解】由于二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，所以令，則，所以，所以二項式，所以展開后有項，故A錯誤；二項式系數(shù)最大的項是第4項，故B正確；二項式展開式的通項公式為，所以當時，常數(shù)項為，故C正確；當時，解得不是整數(shù)，所以展開式不含有項，故D錯誤.故選：BC12．2或4【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可求出相關(guān)線段的長，利用，即可求出答案.【詳解】如圖，記圓的圓心為與交于點，圓的半徑為r，由題意可得，，所以，即，解得或16，即或4，經(jīng)檢驗，都滿足題意．故答案為：2或413．【分析】先求出和的坐標，再由在方向上的投影向量概念，寫出計算公式，代入向量坐標計算即得.【詳解】依題意，,因在方向上的投影向量為，則由，可知在方向上的投影向量的坐標為：.故答案為：.14．23【分析】為的系數(shù)，由二項式定理求得的系數(shù)，由，可得的不等關(guān)系，從而求得實數(shù)的最大值.【詳解】因為展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)為.要使，則為奇數(shù)，且，所以，則，所以的最大值為.故答案為：.15．(1)或(2)過定點或(3)【分析】（1）點在直線上，設(shè)，由對稱性可知，可得，從而可得點坐標．（2）的中點，因為是圓的切線，進而可知經(jīng)過C，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MC為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進而可求得x和y，得到結(jié)果；（3）結(jié)合（2）將兩圓方程相減可得直線的方程，且得直線過定點，由幾何性質(zhì)得，即點N在以為直徑的圓上，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）（1）直線的方程為，點在直線上，設(shè)，因為，由對稱性可得：由對稱性可知，由題所以，所以，解之得：故所求點的坐標為或．（2）設(shè)，則的中點，因為是圓的切線，所以經(jīng)過三點的圓是以為圓心，以為半徑的圓，故圓E方程為：化簡得：，此式是關(guān)于的恒等式，故解得或,所以經(jīng)過三點的圓必過定點或．（3）由可得：，即，由可得過定點.因為N為圓的弦的中點，所以，即，故點N在以為直徑的圓上，點N的軌跡方程為.16．(1)(2)①證明見解析②四邊形面積的最大值為3.【分析】（1）令.設(shè)橢圓C的標準方程為，橢圓經(jīng)過，代入計算即可;（2）①畫出圖形，顯然直線與垂直，設(shè)直線，則直線l與橢圓交于,由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，運用點差法得到.②畫出圖形，得到聯(lián)立方程得，則直線l1與橢圓交線長為,同理可得直線l2與橢圓的一個交點算出D到直線l1的距離，得到四邊形面積，結(jié)合.得到.和分情況討論，結(jié)合基本不等式得到四邊形面積的最大值即可.【詳解】（1）由,令得，令.則可設(shè)橢圓C的標準方程為，橢圓經(jīng)過，代入計算得到.則橢圓的標準方程.（2）①顯然直線與垂直，設(shè)直線，則直線l與橢圓交于,由于直線平分直線l與圓O的交線段，則有，于是,由于則則.②由題知，則易知令得，則直線l1與橢圓交線長為，同理可得直線l2與橢圓的一個交點，則D到直線l1的距離，所以四邊形面積.由于.則.當時，四邊形不存在.當時，所以四邊形面積的最大值,在時取到.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.有時候可以借助基本不等式求解.17．(1)證明見解析(2)存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為，理由見解析【分析】（1）通過建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，即可證明；（2）根據(jù)已知條件EF與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法建立方程，即可求出的值.【詳解】（1）證明：因為側(cè)棱平面，底面為長方形，以A為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.所以，，又因為，E為的中點，F(xiàn)為上的點，，即F為上的中點，所以，又因為側(cè)棱平面，平面，所以，又因為底面為長方形為，有，平面，，所以平面,所以為面的法向量.又因為，所以，又平面，所以平面．（2）存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為.理由如下：設(shè)，所以，因為，所以，，即所以，設(shè)平面的法向量為，由，，則有，解得，令，所以，所以，整理得，，解得，，故存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為.18．(1)、、、四點不共面(2)能，【分析】（1）求出、、，假設(shè)、、、四點共面，則存在、使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解方程組可得出結(jié)論；（2）若、、共面，則存在實數(shù)、，使，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解方程組可得出結(jié)論；設(shè)，、、，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，即可得解.【詳解】（1）解：因為，，，，則，，，顯然、不共線，假設(shè)、、、四點共面，則存在、使得，即，所以，，該方程組無解，假設(shè)不成立，故、、、四點不共面.（2）解：若、、共面，則存在實數(shù)、，使，所以，所以，，該方程