專題10.3 二項(xiàng)式定理（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題10.3二項(xiàng)式定理【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)】 3【題型2求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)系數(shù)】 3【題型3兩個(gè)二項(xiàng)式之積問(wèn)題】 4【題型4三項(xiàng)展開式問(wèn)題】 4【題型5二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問(wèn)題】 4【題型6二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題】 5【題型7整除和余數(shù)問(wèn)題】 5【題型8近似計(jì)算問(wèn)題】 6【題型9證明組合恒等式】 6【題型10二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和】 7【題型11楊輝三角】 81、二項(xiàng)式定理考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題2022年新高考全國(guó)I卷：第13題，5分2023年北京卷：第5題，4分2023年天津卷：第11題，5分2023年上海卷：第10題，5分2024年北京卷：第4題，4分2024年天津卷：第11題，5分2024年上海卷：第6題，5分從近幾年的高考情況來(lái)看，二項(xiàng)式定理是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)以及各項(xiàng)系數(shù)和等問(wèn)題，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度中等，復(fù)習(xí)時(shí)需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1二項(xiàng)式定理】1．二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：=.(2)二項(xiàng)展開式的規(guī)律

①二項(xiàng)展開式一共有(n+1)項(xiàng).

②(n+1)項(xiàng)按a的降冪b的升冪排列.

③每一項(xiàng)中a和b的冪指數(shù)之和為n.2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(即)增減性當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小，因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，展開式的中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，展開式的中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大各二項(xiàng)式

系數(shù)的和【知識(shí)點(diǎn)2展開式中的通項(xiàng)問(wèn)題】1．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的解題策略求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k+1，代回通項(xiàng)公式即可.2．兩個(gè)二項(xiàng)式之積、三項(xiàng)展開式問(wèn)題的解題策略(1)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識(shí)求解.(2)對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.【知識(shí)點(diǎn)3二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問(wèn)題】1．賦值法“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.2．系數(shù)之和問(wèn)題的解題策略若，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.3．展開式的逆用根據(jù)所給式子的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)式展開式的要求，使之具備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項(xiàng)式定理求解.【知識(shí)點(diǎn)4二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題】1．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)開式中第最大，最大值為或.【方法技巧與總結(jié)】1．.2．.【題型1求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)】【例1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）2x?13x8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．112 B．56 C．?56 D．?112【變式1-1】（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式3?x+1A．5564 B．?552 C．?【變式1-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知x2?a3xA．6項(xiàng) B．5項(xiàng) C．4項(xiàng) D．3項(xiàng)【變式1-3】（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）x?2xnA．?160 B．?20 C．20 D．160【題型2求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)系數(shù)】【例2】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）在(x?2x)5的展開式中，xA．?20 B．20 C．?40 D．40【變式2-1】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）1x?x10的展開式中，A．?45 B．?10 C．10 D．45【變式2-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）2x?1x27展開式中含A．420 B．?420 C．560 D．?560【變式2-3】（23-24高二下·海南·期末）x2?x6的展開式中，A．154 B．52 C．54【題型3兩個(gè)二項(xiàng)式之積問(wèn)題】【例3】（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）x+2yx?y5的展開式中x3A．﹣10 B．0 C．10 D．30【變式3-1】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）在yx?2xyx+yA．?4 B．4 C．?8 【變式3-2】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）1+x+x2(1?x)10的展開式中A．28 B．35 C．36 D．56【變式3-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知ax+12x?17的展開式中x3的系數(shù)為448，則該展開式中xA．56 B．?98 C．106 D．?112【題型4三項(xiàng)展開式問(wèn)題】【例4】（2024·新疆喀什·三模）x2+x+15展開式中，xA．20 B．30 C．25 D．40【變式4-1】（2024·河北滄州·二模）在(x?2y+3z)6的展開式中，xy2A．6480 B．2160 C．60 D．?2160【變式4-2】（2024·新疆烏魯木齊·一模）x2?x+y5的展開式中xA．?30 B．?20 C．20 D．30【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在x+1?2x2A．721 B．-61 C．181 D．-59【題型5二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問(wèn)題】【例5】（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在二項(xiàng)式x?12xA．常數(shù)項(xiàng)為154 C．第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為?32【變式5-1】（2024·四川樂(lè)山·三模）設(shè)(x+2024)(2x?1)2023=a0A．1 B．?1 C．2024 D．?2024【變式5-2】（23-24高二上·福建漳州·階段練習(xí)）多項(xiàng)式ax+16的x2項(xiàng)系數(shù)比x3A．1 B．243 C．64 D．0【變式5-3】（2024·廣東江門·一模）已知1+x4+1+x5+?+A．680 B．?680 C．1360 D．?1360【題型6二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題】【例6】（2024·四川雅安·一模）(1?x)10的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【變式6-1】（2024·江西南昌·三模）若2x2?A．第二項(xiàng) B．第三項(xiàng) C．第四項(xiàng) D．第五項(xiàng)【變式6-2】（2024·遼寧丹東·二模）在x?1n的二項(xiàng)展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=（

A．5 B．6 C．7 D．8【變式6-3】（23-24高三上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知x?2xA．?448 B．?1024 C．?1792 D．?5376【題型7整除和余數(shù)問(wèn)題】【例7】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若Cn1x+Cn2xA．x=4，n=6 B．x=4，n=8C．x=5，n=7 D．x=6，n=9【變式7-1】（2024·湖南懷化·二模）若(2x+1)100=a0+A．4 B．5 C．6 D．7【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究，對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a,b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為a≡bmodm．若a=C171A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【變式7-3】（2024·貴州黔南·二模）我國(guó)農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年的生肖年號(hào)，今年2024年是龍年.那么從今年起的1314+1年后是（A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年【題型8\t"/gzsx/zsd29549/_blank"\o"近似計(jì)算問(wèn)題"近似計(jì)算問(wèn)題】【例8】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%，某人存入大額存款a0元，按照復(fù)利計(jì)算10年后得到的本利和為a10，下列各數(shù)中與aA．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34【變式8-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為3%，小張于2024年初存入大額存款10萬(wàn)元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（

A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9【變式8-2】（2024·北京西城·二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減5%，其初始質(zhì)量為m0，10年后的質(zhì)量為m′，則下列各數(shù)中與mA．70% B．65%C．60% D．55%【變式8-3】（2024·江西南昌·一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)α，1+x當(dāng)x比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：1+xa≈1+α?x，并且x的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個(gè)方法計(jì)算5=用這樣的方法，估計(jì)325的近似值約為（

A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930【題型9\t"/gzsx/zsd29550/_blank"\o"證明組合恒等式"證明組合恒等式】【例9】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）k=02n(?1)【變式9-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：C2n+10【變式9-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：k=02n【變式9-3】（24-25高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)fn(x)=(1+λx)n=(1)若n=8，a7=1024，求(2)若λ=?1，求證：k=0n【題型10\t"/gzsx/zsd29551/_blank"\o"二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和"二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和】【例10】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)2x2?17xA．21 B．64 C．78 D．156【變式10-1】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數(shù)為fn，則A．2019110 B．2019505 C．10091010【變式10-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)n∈N?，在數(shù)列an中，a1=1(1)求an(2)在等差數(shù)列bn中，b1=【變式10-3】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a,b∈Z，a≠0.如果存在q∈Z使得b=aq，那么就說(shuō)b可被a整除（或a整除b），記做a|b且稱b是a的倍數(shù)，a是b的約數(shù)（也可稱為除數(shù)、因數(shù)）．b不能被a整除就記做a?b．由整除的定義，不難得出整除的下面幾條性質(zhì)：①若a|b，b|c，則a|c；②a，b互質(zhì)，若a|c，b|c，則ab|c；③若a|bi，則(1)若數(shù)列an滿足，an=2n?1，其前n(2)若n為奇數(shù)，求證：an+b(3)對(duì)于整數(shù)n與k，F(xiàn)n,k=r=1nr【題型11楊輝三角】【例11】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的Cnr換成1(n+1)

A．1nCnC．1(n+1)Cn【變式11-1】（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于第9行的第8個(gè)數(shù)B．第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等C．記“楊輝三角”第n行的第i個(gè)數(shù)為ai，則D．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2:3【變式11-2】（23-24高二下·山東菏澤·期末）在(1+x+x2)n=Dn0+(1)當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D20，D21，D2(2)a+bnn∈N的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖，當(dāng)0≤n≤4，n∈(3)求D2016【變式11-3】（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家?教育家，楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果.楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第10行的各數(shù)之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個(gè)數(shù)一直取到第15行的第3個(gè)數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.一、單選題1．（2024·江西·一模）(2x2A．147 B．?147 C．63 D．?632．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）2x+1x5+xA．30 B．40 C．70 D．803．（23-24高二下·云南麗江·階段練習(xí)）在1+x61+1y4A．200 B．180 C．150 D．1204．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）22024被9除的余數(shù)為（

A．1 B．4 C．5 D．85．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在(x+1)(x+2)(x+m)(x+n)的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是7，則m+n=（

A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若3x?1xnA．8 B．28 C．70 D．2527．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知a=1+C2012+CA．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是8．（23-24高二下·云南·期中）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．1+B．第6行?第7行?第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)C．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11D．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大二、多選題9．（2024·山西臨汾·三模）在2x?3A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為310．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若x2+x?210A．a(chǎn)0=1024 C．a(chǎn)19=10 11．（2024·山西·三模）已知函數(shù)fx=4x?1A．a(chǎn)3=43×C．a(chǎn)1+a2三、填空題12．（2024·河北保定·三模）在(x+ax2)6(a>0)13．（2024·四