專題9.3 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題9.3成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1變量的相關(guān)關(guān)系】 4【題型2樣本相關(guān)系數(shù)】 6【題型3一元線性回歸模型】 8【題型4非線性回歸模型】 11【題型5殘差分析】 16【題型6列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】 18【題型7獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識(shí)綜合】 211、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義(2)了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(3)會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析2022年新高考全國(guó)I卷：第20題，12分2023年全國(guó)甲卷（文數(shù)、理數(shù)）：第19題，12分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第18題，12分2024年天津卷：第3題，5分2024年上海卷：第13題，5分、第19題，12分成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，主要以解答題的形式考查，一般會(huì)與概率等知識(shí)結(jié)合考查，綜合性強(qiáng)，難度中等；有時(shí)也會(huì)在選擇、填空題中出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類問(wèn)題的訓(xùn)練.【知識(shí)點(diǎn)1變量的相關(guān)關(guān)系】1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)函數(shù)關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，常用解析式來(lái)表示.

(2)相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.2．散點(diǎn)圖(1)散點(diǎn)圖

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.

(2)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).3．線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).【知識(shí)點(diǎn)2樣本相關(guān)系數(shù)】1．樣本相關(guān)系數(shù)(1)對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：（其中，，，和，，，的均值分別為和）.①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.

②當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小.【知識(shí)點(diǎn)3一元線性回歸模型】1．一元線性回歸模型把式子為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.2．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|-(+a)|=||，顯然||越小，表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小.

通常用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方之和Q=來(lái)刻畫各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.當(dāng)a，b的取值為時(shí)，Q達(dá)到最小.將=x+稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì).

經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)點(diǎn)(,).3．殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.4．回歸分析的三大常用結(jié)論(1)求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，應(yīng)充分利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心.(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.(3)根據(jù)的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.【知識(shí)點(diǎn)4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】1．2×2列聯(lián)表假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為XY合計(jì)y1y2x1aba+bx2cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).2．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)假定通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d則.(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題的解題策略解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計(jì)算；(3)通過(guò)比較與臨界值的大小關(guān)系來(lái)作統(tǒng)計(jì)推斷.【方法技巧與總結(jié)】1．經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn).2．求時(shí)，常用公式.3．回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤.【題型1變量的相關(guān)關(guān)系】【例1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知變量x與y的回歸直線方程為y=3x?1，變量y與z負(fù)相關(guān)，則（

）A．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) D．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合回歸方程可判斷x與y正相關(guān)，再由變量y與z負(fù)相關(guān)，即可判斷x與z負(fù)相關(guān).【解答過(guò)程】根據(jù)回歸方程y=3x?1可知變量x與y正相關(guān)，又變量y與z負(fù)相關(guān)，由正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的定義可知，x與z負(fù)相關(guān).故選：D.【變式1-1】（23-24高二下·北京豐臺(tái)·期末）在一般情況下，下列各組的兩個(gè)變量呈正相關(guān)的是（

）A．某商品的銷售價(jià)格與銷售量 B．汽車勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間C．氣溫與冷飲的銷售量 D．人的年齡與視力【解題思路】根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，某商品的銷售價(jià)格與銷售量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，汽車勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，氣溫與冷飲的銷售量呈正相關(guān)，故正確；

對(duì)于D，人的年齡與視力呈負(fù)相關(guān)，故錯(cuò)誤.故選：C.【變式1-2】（23-24高二下·四川眉山·期末）根據(jù)物理中的胡克定律，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所受的外力成正比．測(cè)得一根彈簧伸長(zhǎng)長(zhǎng)度x和相應(yīng)所受外力F的一組數(shù)據(jù)如下：編號(hào)123456x11.21.41.61.82.0F3.083.764.315.025.516.25據(jù)此給出以下結(jié)論：①這兩變量不相關(guān)；②這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；③這兩個(gè)變量正相關(guān)．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【解題思路】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷.【解答過(guò)程】畫出彈簧伸長(zhǎng)長(zhǎng)度x和相應(yīng)所受外力F的散點(diǎn)圖，可以判斷這兩變量相關(guān)，且為正相關(guān)，故①②錯(cuò)誤，③正確.故選：C.【變式1-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列散點(diǎn)圖，其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是（

）A．a(chǎn)為正相關(guān)，b為負(fù)相關(guān)，c為不相關(guān) B．a(chǎn)為負(fù)相關(guān)，b為不相關(guān)，c為正相關(guān)C．a(chǎn)為負(fù)相關(guān)，b為正相關(guān)，c為不相關(guān) D．a(chǎn)為正相關(guān)，b為不相關(guān)，c為負(fù)相關(guān)【解題思路】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)性，即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，可得a中的數(shù)據(jù)分布在左下方到右上方的區(qū)域里，為正相關(guān)，b中的數(shù)據(jù)分布在左上方到右下方的區(qū)域里，為負(fù)相關(guān)，c中的數(shù)據(jù)各點(diǎn)分布不成帶狀，相關(guān)性不明確，不相關(guān).故選：A.【題型2樣本相關(guān)系數(shù)】【例2】（2024·上?！と＃┥虾０俾?lián)集團(tuán)對(duì)旗下若干門店的營(yíng)業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖，則下述大小關(guān)系正確的為（

）．A．r1>r2>r3 B．【解題思路】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量的線性相關(guān)性，再根據(jù)線性相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系判斷即可.【解答過(guò)程】由散點(diǎn)圖可知，圖一兩個(gè)變量成正相關(guān)，且線性相關(guān)性較強(qiáng)，故r1圖二、圖三兩個(gè)變量都成負(fù)相關(guān)，且圖二的線性相關(guān)性更強(qiáng)，故r2<0，r3<0，r2故選：C.【變式2-1】（23-24高二上·遼寧·期末）在一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1、x2,y2、?、xn,ynn≥2、xA．2 B．?2 C．?1 D．1【解題思路】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的與線性相關(guān)關(guān)系可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)都在直線y=?2x+1上，所以相關(guān)系數(shù)r滿足r=1又因?yàn)?2<0，所以r<0，所以r=?1.故選：C.【變式2-2】（2024·四川成都·二模）對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)xi,yii∈N*，得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)ui,viA．變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且r1<r2 B．變量xC．變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且r1>r2 D．變量x【解題思路】利用散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的知識(shí)可得答案.【解答過(guò)程】由題意可知，變量x,y的散點(diǎn)圖中，y隨x的增大而增大，所以變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)；再分別觀察兩個(gè)散點(diǎn)圖，圖1比圖2點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù)r1故選：C.【變式2-3】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對(duì)近段時(shí)間騎行鍛煉情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分x與騎行用時(shí)y（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分x12345用時(shí)(y/小時(shí)）9.58.87.876.1由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（

）參考數(shù)據(jù)：i=1參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1A．身體綜合指標(biāo)評(píng)分x與騎行用時(shí)y正相關(guān)B．身體綜合指標(biāo)評(píng)分x與騎行用時(shí)y的相關(guān)程度較弱C．身體綜合指標(biāo)評(píng)分x與騎行用時(shí)y的相關(guān)程度較強(qiáng)D．身體綜合指標(biāo)評(píng)分x與騎行用時(shí)y的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合【解題思路】求出相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小確定答案即可.【解答過(guò)程】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r=i=1即相關(guān)系數(shù)近似為?1,y與x負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.所以選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.【題型3一元線性回歸模型】【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，亞運(yùn)會(huì)的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=?0.6x+a，則下列說(shuō)法不正確的是（時(shí)間x12345銷售量y/萬(wàn)只54.543.52.5A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān)B．當(dāng)x=5時(shí)，殘差為0.2C．可以預(yù)測(cè)當(dāng)x=6時(shí)銷量約為2.1萬(wàn)只D．線性回歸方程y=?0.6x+a【解題思路】對(duì)于選項(xiàng)A，利用表中數(shù)據(jù)變化情況或看回歸方程的b正負(fù)均可求解；對(duì)于選項(xiàng)B，利用樣本中心點(diǎn)求出線性回歸方程，再利用回歸方程即可求出預(yù)測(cè)值，進(jìn)而可求出殘差；對(duì)于選項(xiàng)C，利用回歸方程即可求出預(yù)測(cè)值；對(duì)于選項(xiàng)D，利用回歸方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，從數(shù)據(jù)看，y隨x的增大而減小，所以變量y與x負(fù)相關(guān)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由表中數(shù)據(jù)知x=1+2+3+4+55所以樣本中心點(diǎn)為(3,3.9)，將樣本中心點(diǎn)(3,3.9)代入y=?0.6x+a中得所以線性回歸方程為y=?0.6x+5.7，所以y5=?0.6×5+5.7=2.7對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x=6時(shí)銷量約為y=?0.6×6+5.7=2.1對(duì)于選項(xiàng)D，由B選項(xiàng)可知a=3.9+1.8=5.7故選：B.【變式3-1】（2024·河北滄州·二模）隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多商場(chǎng)都在搞“6?18”促銷活動(dòng).市物價(jià)局派人對(duì)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)x（單位：元）和銷售量y（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)：x2025303540y578911用最小二乘法求得y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y=0.28x+a，當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，預(yù)測(cè)該商品的銷售量件數(shù)大約為（A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2【解題思路】求出x，y，根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)x,y求出【解答過(guò)程】因?yàn)閤=15所以回歸直線y=0.28x+a過(guò)點(diǎn)30,8，故8=0.28×30+a所以y=0.28x?0.4，將x=45代入y=0.28x?0.4中，得即當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，該商品的銷售量件數(shù)大約為12.2百件.故選：D.【變式3-2】（2024·青海西寧·二模）只要騎車，都應(yīng)該戴頭盔．騎行頭盔是騎行中生命堅(jiān)實(shí)的保護(hù)屏障．騎行過(guò)程中的摔倒會(huì)對(duì)頭部造成很大的損害，即使騎行者是以較低的車速沿著坡度平穩(wěn)的自行車道騎行，也同樣不可忽視安全問(wèn)題．佩戴頭盔的原因很簡(jiǎn)單也很重要——保護(hù)頭部，減少傷害．相關(guān)數(shù)據(jù)表明，在每年超過(guò)500例的騎車死亡事故中，有75%的死亡原因是頭部受到致命傷害造成的，醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，騎車佩戴頭盔可防止85%的頭部受傷，并且大大減小了損傷程度和事故死亡率．某市對(duì)此不斷進(jìn)行安全教育，下表是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設(shè)備抓拍到通過(guò)該路口的騎電動(dòng)車不戴頭盔的人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20192020202120222023年份序號(hào)x12345不戴頭盔人數(shù)y1450130012001100950(1)求不戴頭盔人數(shù)y與年份序號(hào)x之間的線性回歸方程；(2)預(yù)測(cè)該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)．參考公式：回歸方程y=bx+【解題思路】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出x，y，i=15xi?x2，（2）求出x=6時(shí)y即可得解.【解答過(guò)程】（1）由題意知x=1+2+3+4+55所以i=15i=15xi所以b=所以a=所以不戴頭盔人數(shù)y與年份序號(hào)x之間的線性回歸方程為y=?120x+1560（2）當(dāng)x=6時(shí)，y=?120×6+1560=840即預(yù)測(cè)該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)為840．【變式3-3】（2024·吉林延邊·二模）我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金．該企業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額x（單位：百萬(wàn)元）對(duì)年收入的附加額y（單位：百萬(wàn)元）的影響，對(duì)往年研發(fā)資金投入額xi和年收入的附加額y投入額x234568911年收入的附加額y3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求年收入的附加額y與投入額x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1，則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”，現(xiàn)從上面8個(gè)投入額中任意取3個(gè)，用X表示這3個(gè)投入額為“優(yōu)秀投資額”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【參考數(shù)據(jù)】i=18xiyi【附】在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中，【解題思路】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可出y與投入額x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）求出X的所有可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案.【解答過(guò)程】（1）x=2+3+4+5+6+8+9+118b=又因?yàn)閍=y?所以年收入的附加額y與投入額x的線性回歸方程為y（2）8個(gè)投入額中，“優(yōu)秀投資額”的個(gè)數(shù)為5個(gè)，故X的所有可能取值為0，1，2，3，PX=0=C33C則X的分布列為X0123P115155EX=0×1【題型4非線性回歸模型】【例4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)和直播帶貨技術(shù)的發(fā)展，直播帶貨已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過(guò)展示產(chǎn)品，使顧客對(duì)商品有更全面的了解.下面統(tǒng)計(jì)了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個(gè)月的銷售量yi(萬(wàn)件)(i=1,2,3,4,5)的數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中6月份至10月份相應(yīng)的代碼為xi(i=1,2,3,4,5)(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①y=a+bx與模型②y=c+dx2哪一個(gè)更適宜作為月銷售量y關(guān)于月份代碼(2)（i）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程;(計(jì)算結(jié)果精確到0.01)（ⅱ）根據(jù)結(jié)果預(yù)測(cè)12月份的銷售量大約是多少萬(wàn)件?參考公式與數(shù)據(jù):b=i=1nxi?xyi?yi=1n【解題思路】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合一次函數(shù)以及二次函數(shù)圖象特征分析判斷；（2）（i）令t=x（ⅱ）令x=7，代入回歸方程運(yùn)算求解即可.【解答過(guò)程】（1）由散點(diǎn)圖可知增加幅度不一致，且散點(diǎn)圖接近于曲線，非線性，結(jié)合圖象故選模型②y=c+dx（2）（i）令t=x2，則可得t=15則d=i=15所以y關(guān)于t的回歸方程為y=1.65+0.25t即y關(guān)于x的回歸方程y=1.65+0.25（ⅱ）令x=7，可得y=1.65+0.25×預(yù)測(cè)12月份的銷售量大約是13.9萬(wàn)件.【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）腦機(jī)接口，即指在人或動(dòng)物大腦與外部設(shè)備之間創(chuàng)建的直接連接，實(shí)現(xiàn)腦與設(shè)備的信息交換.近日埃隆.馬斯克宣布，腦機(jī)接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申請(qǐng)，該試驗(yàn)可以實(shí)現(xiàn)意念控制手機(jī)和電腦.未來(lái)10到20年，我國(guó)腦機(jī)接口產(chǎn)業(yè)將產(chǎn)生數(shù)百億元的經(jīng)濟(jì)價(jià)值.為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，同時(shí)兼顧企業(yè)盈利的預(yù)期，某科技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過(guò)調(diào)研，得到年收益增量y（單位：億元）與研發(fā)人員增量x（人）的10組數(shù)據(jù).現(xiàn)用模型①y=bx+a，②y=c+dx根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到下表數(shù)據(jù)，其中tiyti=1i=1i=1i=17.52.2582.504.5012.142.88(1)根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個(gè)模型；（無(wú)需說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；并用該模型預(yù)測(cè)，要使年收益增量超過(guò)8億元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）附：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)x1,y1【解題思路】（1）根據(jù)殘差圖分析判斷；（2）令t=x,y與t可用線性回歸來(lái)擬合，有y=c+dt，然后根據(jù)公式結(jié)合已知的數(shù)據(jù)求出c,d，從而可求出y關(guān)于t【解答過(guò)程】（1）選擇模型②，理由如下：由于模型②殘差點(diǎn)比較均勻在落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①帶狀寬度窄，所以模型②的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會(huì)越高，所以模型②比較合適.（2）根據(jù)模型②，令t=x,y與t可用線性回歸來(lái)擬合，有則d=i=1則y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.64t+6.06，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為由題意，y^=0.64x+6.06>8，解得x>97所以，要使年收益增量超過(guò)8億元，研發(fā)人員增量至少為10人.【變式4-2】（2024·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）某大型商場(chǎng)的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量y（單位：瓶）與天氣溫度x（單位：℃）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料，該商場(chǎng)對(duì)天氣溫度x和飲料的銷售量y進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：x10152025303540y41664256204840968192經(jīng)分析，可以用y=a?2kx作為y關(guān)于(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺(tái)飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中需添加飲料的概率均為13，在商場(chǎng)的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺(tái)，記總得分為隨機(jī)變量X，求X參考公式及數(shù)據(jù)：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,y1【解題思路】（1）設(shè)z=log2y,m=log2a，轉(zhuǎn)化為z=kx+m，利用最小二乘法，求得k=（2）根據(jù)題意，得到變量X的可能取值為3,4,5,6，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)z=log2y,m=log2因?yàn)閘og24=2,loglog28192=13，所以由表中的數(shù)據(jù)可得x=則i=17所以k=則m=z?所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^（2）解：由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5,6，可得PX=3=2PX=5=C所以變量X的分布列為X3456P8421所以，期望為E【變式4-3】（2024·重慶·二模）某商場(chǎng)推出“云閃付”購(gòu)物活動(dòng)，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引了越來(lái)越多的顧客使用這種支付方式.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用“云閃付”支付的人數(shù)，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用該支付方式的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：x1234567y613254073110201根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，支付的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的回歸方程適合用y=c?d(1)求該回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用“云閃付”的人數(shù)；（lgc,(2)推廣期結(jié)束后，商場(chǎng)對(duì)顧客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：支付方式云閃付會(huì)員卡其它支付方式比例303040商場(chǎng)規(guī)定：使用會(huì)員卡支付的顧客享8折，“云閃付”的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，其它支付方式的顧客無(wú)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用“云閃付”的顧客，享7折的概率為13，享8折的概率為16，享9折的概率為12.設(shè)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為a元的商品支付的費(fèi)用為X，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率，寫出X參考數(shù)據(jù)：設(shè)vi參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v1,【解題思路】（1）由y=c?d（2）根據(jù)概率的乘法公式進(jìn)行求解列出分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）由y=c?dx，得lgy=lgc+lgd?x，設(shè)v=x=4,lgd=把樣本中心點(diǎn)4,1.59代入方程得lgc=所以v=0.24x+0.63，即lg其回歸方程為y=當(dāng)x=8時(shí)，y=（2）X的可能取值為：0.7a,0.8a,0.9a,a.PP分布列如下：X0.7a0.8a0.9aaP0.10.350.150.4所以，購(gòu)物的平均費(fèi)用為：EX【題型5殘差分析】【例5】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，，xn,yA．38.1 B．22.6 C．?38.1 D．91.1【解題思路】對(duì)于響應(yīng)變量y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)為觀測(cè)值，通過(guò)線性回歸方程得到y(tǒng)的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.【解答過(guò)程】因?yàn)橛^測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差，所以當(dāng)x=9時(shí)，y=?30.4+13.5×9=91.1所以殘差為53?91.1=?38.1.故選：C.【變式5-1】（2024·河北石家莊·三模）下列殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是（

）A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假定即可判斷結(jié)果.【解答過(guò)程】圖A顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分；圖B說(shuō)明殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測(cè)時(shí)間變大而變大；圖C顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；圖D的殘差較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，可見D滿足一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假定．故選：D．【變式5-2】（23-24高二下·河北唐山·階段練習(xí)）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y（單位：萬(wàn)元）之間有下表關(guān)系：x24568y3040605070y與x的線性回歸方程為y=6.5x+17.5，當(dāng)廣告支出5萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（

A．?10 B．?20 C．20 D．10【解題思路】隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值【解答過(guò)程】當(dāng)廣告支出5萬(wàn)元時(shí)，觀測(cè)值為60，預(yù)測(cè)值為y=6.5×5+17.5=50，則隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為60?50=10故選：D.【變式5-3】（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)某制造公司進(jìn)行技術(shù)升級(jí)后的第x個(gè)月（x=1,2,3,4,5）的利潤(rùn)為y（單位：百萬(wàn)元），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=6x+3，若x=1時(shí)的觀測(cè)值y=10，則x=1時(shí)的殘差為（

A．?1 B．1 C．3 D．6【解題思路】利用殘差的定義求解.【解答過(guò)程】解：因?yàn)閤=1時(shí)的預(yù)測(cè)值為y^所以殘差為10?9=1．故選：B．【題型6列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)】【例6】（2024·上海閔行·二模）某疾病預(yù)防中心隨機(jī)調(diào)查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：不吸煙者吸煙者總計(jì)不患慢性氣管炎者121162283患慢性氣管炎者134356總計(jì)134205339假設(shè)H0：患慢性氣管炎與吸煙沒(méi)有關(guān)系，即它們相互獨(dú)立.通過(guò)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2，得χ2≈7.468，根據(jù)χ2分布概率表:P(χ2≥6.635)≈0.01，①“患慢性氣管炎與吸煙沒(méi)有關(guān)系”成立的可能性小于5%②有99%③χ2分布概率表中的0.05、0.01A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解題思路】根據(jù)χ2【解答過(guò)程】解：因?yàn)棣?≈7.468，且所以有99%即“患慢性氣管炎與吸煙沒(méi)有關(guān)系”成立的可能性小于5%故①②正確；χ2分布概率表中的0.05、0.01故選：D.【變式6-1】（2024·遼寧鞍山·二模）校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查．其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同．男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的45，女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)35．若有90%附表：P0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828其中，K2A．20 B．30 C．35 D．40【解題思路】借助卡方計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】設(shè)總?cè)藬?shù)為2n，則男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)為45n，女生選生物學(xué)的人數(shù)為則K2即n≥2.706×212≈28.413，又n為5故選：A.【變式6-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某醫(yī)院對(duì)治療支氣管肺炎的兩種方案A，B進(jìn)行比較研究，將志愿者分為兩組，分別采用方案A和方案B進(jìn)行治療，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：有效無(wú)效合計(jì)使用方案A組96120使用方案B組72合計(jì)32(1)完成上述列聯(lián)表，并比較兩種治療方案有效的頻率；(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為治療是否有效與方案選擇有關(guān)？附：K2P(K20.0050.0100.001k03.8416.63510.828【解題思路】(1)根據(jù)合計(jì)數(shù)可以完善表格，結(jié)合頻數(shù)可得頻率；(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和卡方公式，計(jì)算觀測(cè)值，比較觀測(cè)值和臨界值可得結(jié)論.【解答過(guò)程】解：(1)列聯(lián)表如下：有效無(wú)效合計(jì)使用方案A組9624120使用方案B組72880合計(jì)16832200使用方案A組有效的頻率為96120＝0.8；使用方案B組有效的頻率為72(2)K2所以，不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為治療是否有效與方案選擇有關(guān)．【變式6-3】（2024·上?！じ呖颊骖}）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）(3)是否有95%（附：χ2=n(ad?bc)2【解題思路】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比179+43+28580則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000×25（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為15800.52則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí).（3）由題列聯(lián)表如下：1,2其他合計(jì)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580提出零假設(shè)H0其中α=0.05．χ2則零假設(shè)不成立，即有95%【題型7獨(dú)立性檢驗(yàn)與其他知識(shí)綜合】【例7】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）跑步是人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷囊环N鍛煉方式，其可以提高人體呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，抑制人體癌細(xì)胞生長(zhǎng)和繁殖.為了解人們是否喜歡跑步，某調(diào)查機(jī)構(gòu)在一小區(qū)隨機(jī)抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.喜歡不喜歡合計(jì)男12820女101020合計(jì)221840(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對(duì)跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？(2)該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，張先生跑步上班準(zhǔn)時(shí)到公司的概率為23，張先生跑步上班遲到的概率為13.對(duì)于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準(zhǔn)時(shí)到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無(wú)論周四是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)公司）.設(shè)從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望附：χ2=nP0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828【解題思路】（1）由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2（2）由題意，得到變量X的可能取值為1,2,3,4，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【解答過(guò)程】（1）解：假設(shè)H0根據(jù)題意，由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2因?yàn)镻χ（2）解：由題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值分別為1,2,3,4，可得PX=1=13，PX=4所以變量X的概率分布為X1234P1248所以，期望為EX【變式7-1】（2024·安徽蕪湖·三模）在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇．現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過(guò)3次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過(guò)3次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”．學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐402060不喜歡食堂就餐103040合計(jì)5050100(1)依據(jù)小概率值α=0．(2)該校甲同學(xué)逢星期二和星期四都在學(xué)校食堂就餐，且星期二會(huì)從①號(hào)、②號(hào)兩個(gè)套餐中隨機(jī)選擇一個(gè)套餐，若星期二選擇了①號(hào)套餐，則星期四選擇①號(hào)套餐的概率為45；若星期二選擇了②號(hào)套餐，則星期四選擇①號(hào)套餐的概率為23，求甲同學(xué)星期四選擇(3)用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X．事件“X=k”的概率為PX=k，求使PX=k取得最大值時(shí)參考公式：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【解題思路】（1）計(jì)算χ2（2）全概率公式計(jì)算概率；（3）依題意可得ξ～B10，35，即可得到【解答過(guò)程】（1）H0由列聯(lián)表可得χ所以依據(jù)小概率值α=0．（2）記星期二選擇了①號(hào)套餐為事件A1，選擇②號(hào)套餐為A星期四選擇了①號(hào)套餐為事件B1，選擇②號(hào)套餐為B則PA所以PB所以PB（3）依題意可得學(xué)生“喜歡飯?zhí)镁筒汀钡母怕蔖=60則ξ～B10，35，所以若Pξ=k取得最大值，則PC即25≥又0≤k≤10且k∈N，所以k=6【變式7-2】（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）某市開展“安全隨我行”活動(dòng)，交警部門在某個(gè)交通路口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動(dòng)摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)y與天數(shù)x的情況，對(duì)統(tǒng)計(jì)得到的樣本數(shù)據(jù)xixyYi=1i=1i=15.58.71.930138579.75表中Yi=ln(1)依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，y=bx+a與y=ebx+a哪一個(gè)更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)(2)依據(jù)（1）的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸方程.(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性，交警對(duì)該路口騎電動(dòng)摩托車市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別佩戴頭盔合計(jì)不佩戴佩戴女性81220男性14620合計(jì)221840依據(jù)α=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民騎電動(dòng)摩托車佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)？參考公式：b=i=1nxiyiα0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解題思路】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，可判斷更適宜作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)x的回歸方程類型.（2）將y=e（3）應(yīng)用卡方公式求卡方值，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想下結(jié)論即可.【解答過(guò)程】（1）依據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷，y=ebx+a更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)（2）由Yi=ln依題意得b=a=所以Y=?0.3x+3.55，即y=e（3）零假設(shè)H0根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：χ2根據(jù)小概率值α=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10.【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某醫(yī)療科研小組為研究某市市民患有疾病A與是否具有生活習(xí)慣B的關(guān)系，從該市市民中隨機(jī)抽查了100人，得到如表數(shù)據(jù)．（注：用M表示M的對(duì)立事件）疾病A生活習(xí)慣B具有不具有患病2515未患病2040(1)是否有超過(guò)99%的把握認(rèn)為，該市市民患有疾病A與是否具有生活習(xí)慣B(2)從該市市民中任選一人，M表示事件“選到的人不具有生活習(xí)慣B”，N表示事件“選到的人患有疾病A”，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，求PN(3)從該市市民中任選3人，記這3人中具有生活習(xí)慣B，且未患有疾病A的人數(shù)為X，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，求X的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值．附：k2=nα0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【解題思路】（1）先完善列聯(lián)表，然后根據(jù)公式計(jì)算卡方，對(duì)照臨界值表即可得結(jié)論；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別求出P(M（3）由二項(xiàng)分布的期望公式可得.【解答過(guò)程】（1）由已知得列聯(lián)表如下:疾病A生活習(xí)慣B合計(jì)具有不具有患病251540未患病204060合計(jì)4555100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得：k故有超過(guò)99%的把握認(rèn)為，該市市民患有疾病A與是否具有生活習(xí)慣B（2）由（1）數(shù)據(jù)可得:P(M所以P(N（3）由（2）知，P(N所以X~B3,15，所以E(X)一、單選題1．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知變量x和y滿足關(guān)系y=?x+1，變量y與z正相關(guān)，則（

）A．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)【解題思路】根據(jù)關(guān)系式判斷x,y負(fù)相關(guān)，再由變量y與z正相關(guān)可得x,z負(fù)相關(guān)即可判斷.【解答過(guò)程】因?yàn)樽兞縳和y滿足關(guān)系y=?x+1，變量y與z正相關(guān)，由正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的定義可知x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān).故選：A.2．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測(cè)值與期望值之間的差異B．兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若r越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．若一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)（D．由一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)（i=1,2,3,?,n【解題思路】根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)和線性回歸方程的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷，得到答案.【解答過(guò)程】A，獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測(cè)值與期望值之間的差異，從而確定研究對(duì)象是否有關(guān)聯(lián)，A正確；B，兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，若r越接近1，則x與y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，B正確；C，若一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)（D，由殘差分析可知，i=1n故選：C.3．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,3,?,n所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線y=?12A．?1 B．1 C．?12【解題思路】結(jié)合回歸方程，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.【解答過(guò)程】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線y=?1所以變量y,x為負(fù)相關(guān)關(guān)系，且r=?1，故選：A．4．（2024·江西南昌·三模）如圖對(duì)兩組數(shù)據(jù)x，y和v，u分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)圖如圖，并求得線性回歸方程分別是y=b1x+a1和u=b2v+a2，并對(duì)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)A．b1>0 B．b2<0 C．【解題思路】由兩散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的位置關(guān)系直接得答案.【解答過(guò)程】由散點(diǎn)圖可知，x與y負(fù)相關(guān)，v與u正相關(guān)，則b1<0，且圖形中點(diǎn)x,y比v,u更加集中在一條直線附近，則r1>r2，又r1故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.5．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）某學(xué)習(xí)小組對(duì)一組數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,3,?,7進(jìn)行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程y=5x+4，樣本點(diǎn)的中心為2,m.乙同學(xué)對(duì)甲的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)2,3誤輸成3,2，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程A．5013 B．2533 C．1123【解題思路】根據(jù)題意分析求得x2+x【解答過(guò)程】由題意可得m=5×2+4=14，即修正前的樣本中心點(diǎn)為2,14，假設(shè)甲輸入的x1,y則3+x2+且2+y2+則改為正確數(shù)據(jù)后，則x=17所以修正后的樣本中心點(diǎn)為137將點(diǎn)137,997代入回歸直線方程y=kx+7故選：A.6．（2024·湖北荊州·三模）根據(jù)變量Y和x的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型Y=bx+a+eEe=0,De=A．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B．不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0的假設(shè)C．不滿足一元線性回歸模型的D(e)=σD．不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0和D(e)=σ【解題思路】根據(jù)一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=【解答過(guò)程】用一元線性回歸模型Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2根據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差圖，殘差的均值E(e)=0不可能成立，且殘差圖中的點(diǎn)分布在一條拋物線形狀的彎曲帶狀區(qū)域上，說(shuō)明殘差與坐標(biāo)軸變量有二次關(guān)系，D(e)=σ故選：D.7．（2024·天津河北·二模）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來(lái)，我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng).已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型y=c1ec2年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼x12345z=ln22.433.64由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0.52x+a，則2026年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為（

（參考公式：a=A．e5.08 B．e5.6 C．e6.12【解題思路】根據(jù)a=z?bx可得線性回歸方程，再由回歸方程求出2026年【解答過(guò)程】因?yàn)閤所以a=即經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0.52x+1.44當(dāng)x=9時(shí)，z=0.52×9+1.44=6.12所以y=即2026年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為e6.12故選：C.8．（2024·四川成都·三模）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀甲班10b乙班c30附：K2=nP0.050.0250.0100.005k3.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為27，則下列說(shuō)法正確的是（

A．甲班人數(shù)少于乙班人數(shù)B．甲班的優(yōu)秀率高于乙班的優(yōu)秀率C．表中c的值為15，b的值為50D．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%【解題思路】根據(jù)條件解出b=45，c=20，然后直接計(jì)算即可判斷A，B，C錯(cuò)誤，使用K2的計(jì)算公式計(jì)算K2，并將其與【解答過(guò)程】對(duì)于C，由條件知10+b+c+30=105，10+c105=27，故所以b=45，c=20，故C錯(cuò)誤；對(duì)于A，由于甲班人數(shù)為10+b=10+45=55，乙班人數(shù)為c+30=20+30=50<55，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于甲班優(yōu)秀率為1055=2對(duì)于D，由于K2故選：D.二、多選題9．（2024·廣東東莞·三模）下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1B．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高C．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,σD．若數(shù)據(jù)2x1+1,2【解題思路】對(duì)于AB，結(jié)合相關(guān)系數(shù)，殘差的定義，即可求解；對(duì)于C，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合方差的線性公式，即可求解．【解答過(guò)程】若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)|r|的值越接近于1，故A正確；在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高，故B正確；隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ則P(2<X<4)=P(X<4)?P(X≤2)=0.8?0.5=0.3，故C錯(cuò)誤；設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x16的方差為m，因?yàn)閿?shù)據(jù)2x1+1，則22×m=8，解得故選：ABD.10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)pp最近5個(gè)月的下載量如表所示，若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y^=?0.6x+a月份編號(hào)x12345下載量y（萬(wàn)次）54.543.52.5A．y與x負(fù)相關(guān) B．a(chǎn)C．預(yù)測(cè)第6個(gè)月的下載量是2.1萬(wàn)次 D．殘差絕對(duì)值的最大值為0.2【解題思路】對(duì)于A：根據(jù)回歸方程分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)回歸方程進(jìn)而預(yù)測(cè)；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合殘差的定義分析判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A：因?yàn)?0.6<0，所以變量y與x負(fù)相關(guān)，故A正確；對(duì)于B：x=y=y=?0.6x+a，則解得a=5.7，故B對(duì)于C：當(dāng)x=6時(shí)，y=?0.6×6+5.7=2.1故可以預(yù)測(cè)第6個(gè)月的下載量約為2.1萬(wàn)次，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)x=1時(shí)，y1=?0.6×1+5.7=5.1，當(dāng)x=2時(shí)，y2=?0.6×2+5.7=4.5，當(dāng)x=3時(shí)，y3=?0.6×3+5.7=3.9，當(dāng)x=4時(shí)，y4=?0.6×4+5.7=3.3，當(dāng)x=5時(shí)，y5=?0.6×5+5.7=2.7，故殘差絕對(duì)值的最大值為0.2，故D正確.故選：ACD.11．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)為更好的開展素質(zhì)教育，現(xiàn)對(duì)外出研學(xué)課程是否和性別有關(guān)做了一項(xiàng)調(diào)查，其中被調(diào)查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的35，女生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的12．若依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)”．則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（男生女生合計(jì)選修外出研學(xué)課程aba+b未選修外出研學(xué)課程cdc+d合計(jì)a+cb+d附：P0.050.010k3.8416.635K2=A．150人 B．225人 C．300人 D．375人【解題思路】設(shè)男生人數(shù)為5nn∈N?，根據(jù)題意用n表示出女生人數(shù)、男生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)、女生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)，進(jìn)而表示出表格中其它人數(shù)，利用公式計(jì)算出K2，由【解答過(guò)程】設(shè)男生人數(shù)為5nn∈N?男生女生合計(jì)選修外出研學(xué)課程3n5n11n不選修外出研學(xué)課程2n5n9n合計(jì)5n5n10n則K2若有95%的把握認(rèn)為喜歡選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)，則10n解得n>38.03，則5n>190.13．故選：BCD．三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某試驗(yàn)小組收集了部分父親和兒子的身高數(shù)據(jù)，通過(guò)測(cè)量與回歸方程計(jì)算得到如下五組兒子身高的觀測(cè)值與估計(jì)值，則該組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的決定系數(shù)R2=兒子身高觀測(cè)值/cm161.3167.7170.0173.5177.5兒子身高估計(jì)值/cm161.3167.7170.0173.5177.5【解題思路】根據(jù)決定系數(shù)的意義及表格中的數(shù)據(jù)即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)闆Q定系數(shù)R2從表中數(shù)據(jù)可知沒(méi)有誤差，所以R2故答案為：1．13．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知某品牌的新能源汽車的使用時(shí)間x（年）與維護(hù)費(fèi)用y（千元）之間有如下數(shù)據(jù)：使用時(shí)間x（年）246810維護(hù)費(fèi)用y（千元）2.43.24.46.87.6若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7x+a．據(jù)此估計(jì)，該品牌的新能源汽車的使用時(shí)間為12年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用約為【解題思路】求出x,y，得到樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入回歸方程可求出a，然后將【解答過(guò)程】由題意可得x=2+4+6+8+10由于回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)，所以0.7×6+a=4.88，解得所以回歸直線方程為y=0.7x+0.68，當(dāng)x=12時(shí)，y所以當(dāng)該品牌的新能源汽車的使用時(shí)間為12年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用約為9.08千元．故答案為：9.08.14．（2024·上海金山·二模）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病服用m50?m50未服用80?mm?3050合計(jì)8020100取顯著性水平α=0.05，若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則m(m≥40,m∈N)的最小值為44．(參考公式：χ2=n【解題思路】由題意列出不等式，結(jié)合近似計(jì)算求出m的取值范圍，即可得答案.【解答過(guò)程】由題意可知χ2則(100m?4000)2解得m≥43.92或m≤36.08，而m≥40,m∈N，故m的最小值為44.故答案為：44.四、解答題15．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國(guó)2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬(wàn)噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)年份2015~2023．已知i=19yi≈12000，i=19(1)可否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請(qǐng)分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明．(2)若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型y=?138t+2025附：相關(guān)系數(shù)r=i=1【解題思路】（1）根據(jù)題意，由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由線性回歸方程的意義，即可判斷.【解答過(guò)程】（1）從折線圖看，各點(diǎn)落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，由題意知t=相關(guān)系數(shù)r=i=1故可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．（2）可以預(yù)測(cè)2024年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢(shì)，故可以用此模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持不變，但從長(zhǎng)期看很有可能會(huì)變化，因而用此模型預(yù)測(cè)可能是不準(zhǔn)確的．16．（2024·青海·二模）某企業(yè)近年來(lái)的廣告費(fèi)用x（百萬(wàn)元）與所獲得的利潤(rùn)y（千萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表所示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.年份20182019202020212022廣告費(fèi)用x/百萬(wàn)元1.51