專題8.6 雙曲線（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題8.6雙曲線【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】 4【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 5【題型3曲線方程與雙曲線】 5【題型4求雙曲線的軌跡方程】 6【題型5雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題】 7【題型6雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離及最值問題】 7【題型7雙曲線中線段和、差的最值問題】 8【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】 8【題型9雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題】 9【題型10雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題】 10【題型11橢圓與雙曲線綜合】 111、雙曲線考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率)(3)了解雙曲線的簡單應(yīng)用2023年新高考I卷：第16題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分2023年北京卷：第12題，5分2023年天津卷：第9題，5分2024年新高考I卷：第12題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分雙曲線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn).從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與性質(zhì)等知識，題型比較豐富，選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，選擇、填空題中難度中等偏易，解答題中難度偏大，有時(shí)會與向量等知識結(jié)合考查，需要學(xué)會靈活求解.【知識點(diǎn)1雙曲線及其性質(zhì)】1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實(shí)半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程4．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因?yàn)?，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.【知識點(diǎn)2雙曲線方程的求解方法】1．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.(3)與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為.【知識點(diǎn)3雙曲線的焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論】1．雙曲線的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，,為雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用結(jié)論

若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，其中為.【知識點(diǎn)4雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.【知識點(diǎn)5雙曲線中的最值問題的解題策略】1．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【方法技巧與總結(jié)】1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，.3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長為.4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】【例1】（2024·河北邢臺·二模）若點(diǎn)P是雙曲線C：x216?y29=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，則“PF1=8”是“PF2A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【變式1-1】（2024·青海·模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1A．3c?a B．3c+a C．2c?a D．2c+a【變式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知雙曲線C:x2a2?y216=1的左右焦點(diǎn)依次為F1，A．?6 B．6 C．8 D．10【變式1-3】（2024·四川達(dá)州·二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與A．5 B．6 C．8 D．12【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)0,1，離心率為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x2?yC．y2?x【變式2-1】（2024·北京海淀·一模）若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)A．x24?y2=1 B．x【變式2-2】（2024·湖南岳陽·一模）如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分，若C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=2，且點(diǎn)P(6,3)在雙曲線C上，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A．x2?yC．x23?【變式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A．x29?C．x26?【題型3曲線方程與雙曲線】【例3】（2024·四川南充·二模）已知m，n是實(shí)數(shù)，則“mn<0”是“曲線mx2+ny2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-1】（23-24高二上·上?！て谀┊?dāng)ab<0時(shí)，方程ax2?aA．焦點(diǎn)在x軸的橢圓 B．焦點(diǎn)在x軸的雙曲線C．焦點(diǎn)在y軸的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸的雙曲線【變式3-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知曲線C:x24+y2m=1(m≠0)，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“m>1”是“方程x2m?1?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型4求雙曲線的軌跡方程】【例4】（23-24高二上·廣東·期末）已知?jiǎng)訄A與圓F1:(x+4)2+A．x2?yC．x215?【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1F2=6，動(dòng)點(diǎn)P滿足A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【變式4-2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）相距1600m的兩個(gè)哨所A,B，聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，已知當(dāng)時(shí)的聲音速度是320m/s，在A哨所聽到的爆炸聲的時(shí)間比在B哨所聽到時(shí)遲4s．若以AB所在直線為x軸，以線段AB的中垂線為A．x2435600?C．x2435600+【變式4-3】（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知?jiǎng)訄AP與圓M：x+32+y2=1，圓N：x?32+y2A．x2?yC．x2?y【題型5雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題】【例5】（2024·四川成都·三模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)PA．43 B．37 C．4552【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A?2,0，A′2,0，動(dòng)點(diǎn)P滿足4kAP?kA′P=1，圓E：x2+y2=5與點(diǎn)A．5+6 C．5+26 【變式5-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y28=1的左，右焦點(diǎn)，過F1的直線與y軸和C的右支分別交于點(diǎn)A．2 B．4 C．8 D．16【變式5-3】（2024·廣西南寧·一模）設(shè)F1、F2是雙曲線C:x28?y210=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A．5 B．8 C．10 D．12【題型6雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離及最值問題】【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x23?y2=1的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M在直線l:x=32上，線段FM交C于P點(diǎn)，過PA．62 B．33 C．63【變式6-1】（2024·青海玉樹·模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x24?y22A．16 B．18 C．8+42 D．【變式6-2】（2024·河南鄭州·一模）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x23?y2=1的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A．3?2 B．3+2 C．【變式6-3】（2024·山東日照·一模）過雙曲線x24?y212=1的右支上一點(diǎn)P，分別向⊙C1:(x+4)A．28 B．29 C．30 D．32【題型7\t"/gzsx/zj165992/_blank"\o"利用定義求雙曲線中線段和、差的最值"雙曲線中線段和、差的最值問題】【例7】（2024·河南鄭州·一模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長為6，漸近線方程為y=±A．8 B．9 C．10 D．11【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線C：x2?y224=1的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A．5 B．6 C．7 D．8【變式7-2】（23-24高二上·全國·單元測試）已知等軸雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為F1，焦距為4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則PA．22 B．17 C．22+1【變式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知點(diǎn)M1,2，點(diǎn)P是雙曲線C：x24?y212=1左支上的動(dòng)點(diǎn)，N是圓A．5?10 B．10?5 C．13?3【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】【例8】（2024·安徽·模擬預(yù)測）雙曲線x2a2?yA．3 B．2 C．23 D．【變式8-1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,A分別為E的右焦點(diǎn)和左頂點(diǎn)，點(diǎn)M?2,3A．3 B．2 C．62 D．【變式8-2】（2024·四川雅安·三模）設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于點(diǎn)MA．3+12 B．3+1 C．2【變式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的兩點(diǎn)A．2,+∞ B．3,+∞ C．【題型9雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題】【例9】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）以y=±3x為漸近線的雙曲線可以是（

）A．x23?C．y23?【變式9-1】（2024·湖南·三模）雙曲線C:y2a2?x2A．?4 B．4 C．?2 D．2【變式9-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知雙曲線方程為2x2?y2=λ（A．頂點(diǎn)坐標(biāo) B．焦距 C．離心率 D．漸近線方程【變式9-3】（2024·河北·模擬預(yù)測）雙曲線Γ:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2的直線與其一支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第四象限.以FA．y=±6x C．y=±63x【題型10雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題】【例10】（2024·全國·模擬預(yù)測）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)

A．2 B．2 C．72 D．【變式10-1】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬AB=205米，若水面上升5米，則水面寬為（

A．102米 B．152米 C．123【變式10-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其它兩觀測點(diǎn)晚2s，已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（

）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離3403m B．東偏南45°方向，距離3403mC．西偏北45°方向，距離1703m D．東偏南45°方向，距離1703m【變式10-3】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）單葉雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細(xì)處的直徑為100m，樓底的直徑為5022m，樓頂直徑為506m，最細(xì)處距樓底300m，則該地標(biāo)建筑的高為（A．350m B．375m C．400m D．450m【題型11橢圓與雙曲線綜合】【例11】（2024·四川樂山·三模）設(shè)雙曲線C1:x2a2?y2=1(a>0)，橢圓A．28 B．24 C．22【變式11-1】（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線x2a2?y2b2=1（a、bA．37 B．713 C．32【變式11-2】（2024·山東菏澤·二模）已知e1,e2分別為橢圓x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【變式11-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)與雙曲線C2:xA．2+34 B．2+32 C．一、單選題1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知曲線C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x24?y28=1的左，右焦點(diǎn)，過F1的直線與y軸和C的右支分別交于點(diǎn)A．2 B．4 C．8 D．163．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為2,0，以線段FP為直徑的圓與圓O:x2+y2A．x24?y23=1 B．4．（2024·天津南開·二模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．x23?C．x29?5．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，滿足OM=OF.若點(diǎn)A．52 B．102 C．226．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)M在C上且MF⊥x軸，直線MA1，MA2A．y=±26x B．y=±210x C．7．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為0,?6，若動(dòng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且到兩定點(diǎn)F1?3,0，F(xiàn)23,0的距離之差為定值4，則A．3+45 B．3+65 C．4+458．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：x22?y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，C在點(diǎn)P①直線F1P的斜率的取值范圍是②點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為12③|PO|④PM=其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知曲線C的方程為x2a+A．當(dāng)a<0時(shí)，曲線CB．當(dāng)0<a<3時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C．當(dāng)a=3時(shí)，曲線C表示圓D．當(dāng)a>3時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓10．（20