專(zhuān)題6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【十一大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差數(shù)列的基本量運(yùn)算】 3【題型2等差數(shù)列的判定與證明】 5【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 7【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】 9【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 11【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】 12【題型7等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 14【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問(wèn)題】 16【題型9含絕對(duì)值的等差數(shù)列問(wèn)題】 20【題型10等差數(shù)列中的恒成立問(wèn)題】 23【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問(wèn)題】 261、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義(2)探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系(3)能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題(4)體會(huì)等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系2022年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第13題，5分2023年新高考I卷：第7題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2024年新高考I卷：第19題，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分等差數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，等差數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.去年高考?jí)狠S題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的概念】1．等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.2．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為=+(n-1)d，其中為首項(xiàng)，d為公差.4．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無(wú)論公差為何值，等差數(shù)列都不會(huì)是擺動(dòng)數(shù)列. 5．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.

(2)數(shù)列{+b}(,b是常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.

(3)若{}是公差為d'的等差數(shù)列，{}與{}的項(xiàng)數(shù)一致，則數(shù)列{+(,為常數(shù))是公差為d+d'的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng),,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.【知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略】1．等差數(shù)列的基本運(yùn)算的兩大求解思路：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.【知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的判定的方法與結(jié)論】1．證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an-1的an代入an-an-1，在化簡(jiǎn)得到定值.(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項(xiàng)公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）是等差數(shù)列.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義.【知識(shí)點(diǎn)4等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用】1．項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.2．和的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，Sn為其前n項(xiàng)和，則(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.3．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常用方法：(1)鄰項(xiàng)變號(hào)法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(3)不等式組法：借助當(dāng)Sn最大時(shí)，有，解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和對(duì)應(yīng)Sn的值(即Sn最大值)，類(lèi)似可求Sn的最小值.【方法技巧與總結(jié)】1．已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=pn+q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.3．等差數(shù)列{}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，{}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{}是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{}是常數(shù)列.4．?dāng)?shù)列{}是等差數(shù)列(A,B為常數(shù)).【題型1等差數(shù)列的基本量運(yùn)算】【例1】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列an滿(mǎn)足an+an+1=4n+1，則a1=（

）A．3 B．32 C．1 D．【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由通項(xiàng)公式寫(xiě)出an=a1+(n?1)d和【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=因?yàn)閍n+a所以有2a1?d=1故選：B.【變式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d>0.若數(shù)列aA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】依題意可得an=dn+1?d，即可表示出an【解答過(guò)程】依題意an=dn+1?dd>0，則則an+1又an2?4n是等差數(shù)列，所以?(1?d)故選：C.【變式1-2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S5=4a1，a1>0，若A．11 B．12 C．20 D．22【解題思路】根據(jù)S5=4a1，求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，再根據(jù)【解答過(guò)程】設(shè)公差為d，由S5=4a1，得由a1>0故an則Sn因?yàn)镾n所以n?21dn化簡(jiǎn)得n2?23n+22=0，解得n=22或故選：D.【變式1-3】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若a5+a11=62A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式求出a8、a【解答過(guò)程】因?yàn)閍5+a又S13=13(所以d=a故選：B．【題型2等差數(shù)列的判定與證明】【例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an，則“an?2+an+2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先判斷充分性：由已知可得an+2?an=an?a【解答過(guò)程】先判斷充分性：∵a令n=2kk∈N?，則a令n=2k?1k∈N*，則a但數(shù)列an∴“an?2+a再判斷必要性：若數(shù)列an是等差數(shù)列，則2∴2an=an?2綜上，“an?2+a故選：B.【變式2-1】（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且SnA．a(chǎn)n是等差數(shù)列B．Sn是等差數(shù)列C．a(chǎn)n單調(diào)遞增【解題思路】先利用an和Sn的關(guān)系求出Sn2=n【解答過(guò)程】依題意可得：an=S因?yàn)镾n所以當(dāng)n=1時(shí)，S1=12a當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=1所以數(shù)列Sn2是以1為首項(xiàng)，從而Sn2=n因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，ann=1也適合上式，所以an因?yàn)閍2所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：D.【變式2-2】（2023·新疆·一模）非零數(shù)列an滿(mǎn)足an+1?(1)設(shè)bn=a(2)設(shè)cn=1anan+1【解題思路】（1）對(duì)已知條件因式分解可得2a（2）利用累乘法求得an=n，然后由裂項(xiàng)相消法可得【解答過(guò)程】（1）由an+1得an+12a所以2an+1?所以bn+1而a1=1,a所以數(shù)列bn是以1為公差，b（2）由（1）知，bn=n，即整理得an+1由累乘法得a2a1又a1=1，所以則cn所以Tn【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的積記為T(mén)n，且滿(mǎn)足(1)證明：數(shù)列Tn(2)設(shè)bn=1TnTn+1【解題思路】（1）分類(lèi)討論n=1與n≥2兩種情況，利用遞推式求得T1與T（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?T當(dāng)n=1時(shí)，1T1=1a1=當(dāng)n≥2時(shí)，1Tn=an故數(shù)列Tn（2）由（1）得Tn則bn所以Sn【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例3】（2024·山西運(yùn)城·三模）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，12a3?A．4 B．?2 C．?4 D．?【解題思路】利用下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【解答過(guò)程】因?yàn)?2a3?a5=2解得a7所以a5故選：C.【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，已知2an+1=an+A．256 B．196 C．144 D．96【解題思路】由已知，an【解答過(guò)程】由2an+1=an又a5+a故選：D．【變式3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足a1a3+A．52 B．5 C．5或－5 D．52【解題思路】根據(jù)式子a1【解答過(guò)程】由題a1a3+a故選：C.【變式3-3】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列{an}的公差不為0，a2024=0，給定正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n∈N*（n<m且m>2A．4047 B．4046 C．2024 D．4048【解題思路】分n>m?n與n<m?n兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和a1+a【解答過(guò)程】若n>m?n，由題意知am?n+1由等差數(shù)列的性質(zhì)知，若p+q=s+t，則有ap+a因?yàn)楣頳≠0，且a2024=0，所以a1所以m=4047．若n<m?n，可得an+1由等差數(shù)列性質(zhì)知，若p+q=s+t，則有ap+a因?yàn)楣頳≠0，且a2024=0，所以a1所以m=4047．故選：A.【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】【例4】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=32n+1.【解題思路】依題意可得2Sn+Sn+1=an+12?3，即可得到2Sn?1+【解答過(guò)程】因?yàn)镾n+S當(dāng)n=1時(shí)，2S1+即a22?2a2當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1+因?yàn)閍n>0，可得又a2?a1=2所以數(shù)列an表示首項(xiàng)為3，公差為2所以an故答案為：2n+1.【變式4-1】（23-24高二下·廣東汕尾·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+n+c（其中c為常數(shù)，c∈R），寫(xiě)出使an【解題思路】利用an【解答過(guò)程】n=1時(shí)，a1n≥2時(shí)，an所以an=2nn≥2若an為等差數(shù)列，則a1=2此時(shí)an故答案為：2n.【變式4-2】（2024高三·廣東·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列，S7=77（1）求數(shù)列an（2）若數(shù)列bn滿(mǎn)足1bn+1?1bn【解題思路】本題第（1）題先設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d≠0)，然后根據(jù)題干可列出關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的方程組，解出a1與d的值，即可計(jì)算出數(shù)列a第（2）題由題干1bn+1?1bn=an【解答過(guò)程】解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d≠0)7a1+21d=77，a所以an（2）依題意，由1bn+1?則n≥2時(shí)，1==(n?1)(n?2+5)+3=n(n+2)當(dāng)n=1時(shí)，b1=1∴1∴bT===3【變式4-3】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an,bn，其中數(shù)列an是等差數(shù)列，且滿(mǎn)足b(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=1anan+1【解題思路】（1）由已知bn?an=?1nn2（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閎n所以b1?a由a1+b1=1b1又?jǐn)?shù)列an所以an的公差d=故數(shù)列an的通項(xiàng)公式a所以bn即bn的通項(xiàng)公式b（2）由（1）知cn則Sn【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【例5】（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=2，S8A．30 B．58 C．60 D．90【解題思路】借助等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】由數(shù)列an故S4、S8?S4、S由S4=2，S8故S12?S8=18即有S12=18+S8=30故選：D.【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,TA．516 B．716 C．1116【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式可得結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)镾n為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，所以可設(shè)Sn同理因?yàn)門(mén)n為等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，所以可設(shè)又SnTn=n?1整理得An2+不妨設(shè)Sn=nn?1，則Tn=n故選：D．【變式5-2】（2024·四川樂(lè)山·一模）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【解題思路】根據(jù)S3【解答過(guò)程】由題意得S3即9,36?9,a即2×36?9=9+a故選：C.【變式5-3】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意正整數(shù)n都有SnA．37 B．521 C．1941 D．【解題思路】運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即可.【解答過(guò)程】由等差數(shù)列的等和性可得，a3故選：C.【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】【例6】（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列an中，a1>0，S7=S9A．7 B．8 C．9 D．10【解題思路】根據(jù)條件，可得數(shù)列an為遞減數(shù)列，且a8>0【解答過(guò)程】在等差數(shù)列an中，a1>0，由S∴a8>0，a所以使得前n項(xiàng)的和最大的n值為8.故選：B.【變式6-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（A．若an=2n?25，則SnB．若an=?3n+27，則C．若S13=D．若首項(xiàng)a1>0，S6=S【解題思路】對(duì)于A(yíng)B，利用等差數(shù)列求和公式求出Sn，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)等差數(shù)列和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)求和即可判斷；對(duì)于D，利用S6=S12【解答過(guò)程】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)閍n=2n?25，所以所以Sn所以當(dāng)n=12時(shí)，Sn對(duì)于B，因?yàn)閍n=?3n+27，所以所以Sn所以當(dāng)n=8或n=9時(shí)，Sn取得最大值為S對(duì)于C，若S13=S17，則所以a16+a對(duì)于D，若a1>0，又a12+a7=所以等差數(shù)列an為遞減數(shù)列，所以a所以Sn取最大值時(shí)n故選：D.【變式6-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，已知a4=?2,S9=0A．1 B．4 C．5 D．4或5【解題思路】由題意可得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，找出數(shù)列a【解答過(guò)程】由題意可知a1+3d=?29所以an令an≤0，則2n?10≤0，解得所以Sn取最小值時(shí)n=4或n=5故選：D．【變式6-3】（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n,SA．C0=1 B．若A=0，則?nC．若A>0，則?n0∈N?，使Sn最大 D．若【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12dn2+(a1?12d)n【解答過(guò)程】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和S所以?n∈N?，點(diǎn)(n,S對(duì)于A(yíng)中，因?yàn)?n,Sn)(n∈可得A=12d，B=a1對(duì)于B中，若A=0，則d=0，此時(shí)Sn當(dāng)a1>0時(shí)，不存在n0對(duì)于C中，若A>0，則d>0，Sn對(duì)于D中，若A<0，則d<0，Sn故選：D.【題型7等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例7】（2024·湖南·二模）張揚(yáng)的父親經(jīng)營(yíng)著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列．有一天，張揚(yáng)幫助他的父親整理某一型號(hào)的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進(jìn)貨，張揚(yáng)在進(jìn)貨單上標(biāo)記了兩個(gè)缺貨尺寸．幾天后，張揚(yáng)的父親詢(xún)問(wèn)那些缺貨尺寸是哪些，但張揚(yáng)無(wú)法找到標(biāo)記缺貨尺寸的進(jìn)貨單，他只記得其中一個(gè)尺寸是28.5碼，并且在當(dāng)時(shí)將所有有貨尺寸加起來(lái)的總和是677碼．現(xiàn)在問(wèn)題是，另外一個(gè)缺貨尺寸是（

）A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼【解題思路】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得尺碼的總個(gè)數(shù)，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得總尺碼，繼而得到缺貨尺寸的總碼數(shù)，進(jìn)一步計(jì)算即可.【解答過(guò)程】設(shè)第一個(gè)尺碼為a1，公差為d則a1則an當(dāng)an=0.5n+24.5=36.5時(shí)，故若不缺碼，所有尺寸加起來(lái)的總和為S24所有缺貨尺碼的和為738?677=61碼，又因?yàn)槿必浀囊粋€(gè)尺寸為28.5碼，則另外一個(gè)缺貨尺寸61?28.5=32.5碼，故選：C.【變式7-1】（2023·四川達(dá)州·一模）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個(gè)，只知道將它們?nèi)齻€(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下2個(gè)；五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下3個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，也會(huì)剩下2個(gè).這些物品的數(shù)量是多少個(gè)？若一個(gè)正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前5個(gè)數(shù)的和為（

）A．189 B．190 C．191 D．192【解題思路】根據(jù)題意，構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，得到an【解答過(guò)程】根據(jù)題意，被以3除余2，除以5余3的數(shù)，構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為15的等差數(shù)列，則an所以將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前5個(gè)數(shù)的和為5?(8+15×5?7)2故選：B.【變式7-2】（2024·山西晉城·一模）生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會(huì)員來(lái)健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會(huì)比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒(méi)有積分，且第二天打卡須從1積分重新開(kāi)始．某會(huì)員參與打卡活動(dòng)，從3月1日開(kāi)始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日【解題思路】利用等差數(shù)列求和公式列方程求解.【解答過(guò)程】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開(kāi)始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為2，第n天所得積分為2n?1．假設(shè)他連續(xù)打卡n天，第n+1天中斷了，則他所得積分之和為(1+3+???+2n?1)+=n(1+2n?1)2+解得n=7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故選：D.【變式7-3】（2024·四川達(dá)州·一模）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個(gè)，只知道將它們?nèi)齻€(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下2個(gè)；五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，會(huì)剩下3個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，也會(huì)剩下2個(gè)，這些物品的數(shù)量是多少個(gè)？若一個(gè)正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前10個(gè)數(shù)的和為（

）A．754 B．755 C．756 D．757【解題思路】由題意可得除以三余二且除以五余三的正整數(shù)是以8為首項(xiàng)，15為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得解.【解答過(guò)程】設(shè)除以三余二的正整數(shù)為數(shù)列an，則a除以五余三的正整數(shù)為數(shù)列bn，則b除以三余二且除以五余三的正整數(shù)為數(shù)列cn而3和5的最小公倍數(shù)為15，則數(shù)列cn是由數(shù)列an和數(shù)列cn是以8為首項(xiàng)，15則cn所以前10個(gè)數(shù)的和為10×8+143故選：B.【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問(wèn)題】【例8】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求S9(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)an,Sn的關(guān)系，化為（2）由遞推關(guān)系可得an+2?a【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镾n所以Sn+2兩式相減，得an+2所以S=3+4×3+9（2）由（1）知an+2可得an+a因?yàn)閍1所以a2=5，又所以a又由①②得an+2所以a2n=a則當(dāng)n≥3，且為奇數(shù)時(shí)，an又a1=3,a【變式8-1】（2023·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n(1)求數(shù)列an(2)記cn=?1nana【解題思路】（1）根據(jù)Sn,a(2)數(shù)列{cn}的前n又a2，a4，…，【解答過(guò)程】（1）由2Sn=a兩式相減得2an=因?yàn)閍n>0，所以an?a在2Sn=a所以an（2）當(dāng)n=2k時(shí)T+a2k?3a又a2，a4，...，所以a2故T2k=2當(dāng)n=2k+1時(shí)T+a2k?3a又a2，a4，...，a所以2a故T2k+1=?2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=n2+2n【變式8-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an中，a1=1，a(1)求數(shù)列an(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足bn2=【解題思路】（1）依題意可得an+2?an+1=（2）由（1）可得bn=±2n?1，由bnbn+1<0【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍n+2+a所以數(shù)列an+1?an是公差為于是an+1則an?an?1=8a3?a所以an所以an=4n2?4n+1（2）由（1）問(wèn)知，an=2n?1又bnbn+1<0，則bn+1因此bn與b因?yàn)閎1b2<0，所以當(dāng)b1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)b1=?1時(shí)，b2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn綜上，當(dāng)b1=1時(shí)，Sn=?1【變式8-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)(1)求證：數(shù)列Tn是等差數(shù)列，并求數(shù)列a(2)令bn=?1n?1an+1【解題思路】（1）由前n項(xiàng)積定義可得an=TnT（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，對(duì)n的奇偶進(jìn)行分類(lèi)討論即可得Sn【解答過(guò)程】（1）由題意得當(dāng)n=1時(shí)，T1因?yàn)閍n≠0，所以Tn當(dāng)n≥2時(shí)，an=TnT所以數(shù)列Tn可得Tn所以an（2）由題意知bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn所以Sn=4n+42n+1【題型9含絕對(duì)值的等差數(shù)列問(wèn)題】【例9】（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=?12(1)確定常數(shù)k，并求an(2)求數(shù)列an的前15項(xiàng)和T【解題思路】（1）根據(jù)題意，求得Sn=?12n（2）由（1）求得Sn=?1【解答過(guò)程】（1）解：由數(shù)列an的前n項(xiàng)和S根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)n=k時(shí)，Sn即Sk=?12k2當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）解：由（1）知an=7且當(dāng)n≤3且n∈N?時(shí)，可得an>0；當(dāng)n≥4且所以數(shù)列an的前15項(xiàng)和：T【變式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，公差d>0，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1，(1)求an(2)求數(shù)列an?8的前n項(xiàng)和【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用等比中項(xiàng)的意義、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.（2）令bn=an?8【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镾1,S即2+d2=4+6d，而d>0，解得d=2，則所以an的通項(xiàng)公式是a（2）由（1）知，令bn=a設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Pn，則若n≤4，Tn=b1+若n≥5，T=P所以Tn【變式9-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an,a1=?10，記Sn為an的前n(1)求Sn(2)設(shè)an的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，分別選擇①②③，求得公差d的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n（2）由（1）中的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且a選擇①：（1）因?yàn)?a5+a8所以an=a利用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性和開(kāi)口方向知，Sn=n因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n=5或6時(shí)，選擇②：因?yàn)镾11=?55，可得因?yàn)閍1=?10，所以a11=0，此時(shí)因?yàn)閐>0，所以an單調(diào)遞增，且當(dāng)n≥11時(shí)，a所以當(dāng)n=10或11時(shí)，Sn最小，此時(shí)S選擇③：因?yàn)镾77?S55=2所以an=a利用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性和開(kāi)口方向知，Sn=n因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n=5或6時(shí)，（2）解：若選擇①或③：由（1）知an=2n?12，當(dāng)n≥6時(shí)，所以TT20=a若選擇②：由（1）知an=n?11，且當(dāng)n≥11時(shí)，an所以TT20=a【變式9-3】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an與bn為等差數(shù)列，a2=b3，a1(1)求出an與b(2)是否存在每一項(xiàng)都是整數(shù)的等差數(shù)列cn，使得對(duì)于任意n∈N+，cn都能滿(mǎn)足【解題思路】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式及通項(xiàng)公式，可求出an與b（2）根據(jù)第一小問(wèn)求得的an與bn的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意，可得出【解答過(guò)程】（1）∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為d2n2+a1?∴d2=12，a1?d又∵b3=a2=11，b1=綜上所述：an=n+9，（2）由題意可知，cn需滿(mǎn)足4n+11當(dāng)n≤3時(shí)，3n+2≤cn≤n+9，即5≤c1當(dāng)n≥4時(shí)，n+9≤cn≤3n+2若c3=11，c4=13，則c1=7，c2若c3=11，c4=14，則c1=5，c2若c3=12，c4=13，則c1=10，c2若c3=12，c4=14，則c1=8，c2綜上所述：存在數(shù)列cn，為cn=2n+5，cn=3n+2【題型10等差數(shù)列中的恒成立問(wèn)題】【例10】（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知an為等差數(shù)列，且a5＝(1)求an(2)若2n?λ≥a【解題思路】（1）根據(jù)題意建立方程求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，從而可求解；（2）先求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，再將恒成立問(wèn)題參變分離，接著利用數(shù)列的單調(diào)性求出最值，從而得解．【解答過(guò)程】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則根據(jù)題意可得a解得a1=4d=2（2）由（1）可知運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，得到Sn又2n?λ≥a設(shè)fn=n當(dāng)n＝1時(shí)，f2當(dāng)n≥2時(shí)，?n2?n+4≤?2，則f(n+1)?f則fnmax=f(2)故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[5【變式10-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)若a1≠2，求證：(2)對(duì)任意n,m∈N*,m≠n，都有S【解題思路】（1）先寫(xiě)出數(shù)列an+S（2）設(shè)n>m，將Sn?Smn?m>1恒成立轉(zhuǎn)化為Sn【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍n+S所以an所以an+1由②-①，得2an+1?因?yàn)閍1≠2，即所以an?2是以a1（2）由（1）得當(dāng)a1≠2時(shí)，當(dāng)a1=2時(shí)，適合上式，所以因?yàn)閷?duì)任意n,m∈N*,m≠n不妨設(shè)n>m，則Sn?Sm>n?m設(shè)fn則fn+1所以a1?2?因?yàn)??2n單調(diào)遞減，所以2?2綜上所述，a1的取值范圍是0,+【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知Sn為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前(1)求{a(2)設(shè)bn=1anan+1，數(shù)列{bn【解題思路】（1）先求得a1的值，然后利用an與Sn的關(guān)系推出數(shù)列{（2）首先結(jié)合（1）求bn的表達(dá)式，然后用裂項(xiàng)法求得Tn，再根據(jù)數(shù)列{T【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，由題設(shè)得a12+3a1+2=6a由an2+3兩式相減得：an+12?由于an>0，可得an+1所以{an}是首項(xiàng)為1所以an（2）由an=3n?2Tn=b因?yàn)門(mén)n+1所以Tn+1>T所以t≤4Tn?t4【變式10-3】（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)之和bn=a1+a2+?+(1)求證：1cn為等差數(shù)列，并分別求(2)設(shè)數(shù)列an?bn+1的前n項(xiàng)和為Sn，不等式S【解題思路】（1）利用已知關(guān)系可得bn=cncn?1，代入bn（2）由（1）得an?bn+1=1n【解答過(guò)程】（1）由題意知：當(dāng)n≥2時(shí)，bn=cnc所以1c由b1=c所以1c所以1cn=n+1，c當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1=b（2）由（1）得an所以S==3顯然Sn單調(diào)遞增，所以S由題意得1λ+λ?13又λ>0，所以λ的取值范圍為12【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問(wèn)題】【例11】（2024·黑龍江·三模）如果n項(xiàng)有窮數(shù)列an滿(mǎn)足a1=an，a2=(1)設(shè)數(shù)列bn是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中b1,b2(2)設(shè)數(shù)列cn是項(xiàng)數(shù)為2k?1(k∈N?且k≥2)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，且滿(mǎn)足cn+1?cn①若c1，c2，…，ck構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且ck=2023②若c1=2024，且S2k?1【解題思路】（1）根據(jù)新定義“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”的定義和已知條件可求得公比，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）①根據(jù)對(duì)稱(chēng)數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解；②由條件得到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系，并結(jié)合定義求得的取值范圍，然后結(jié)合已知條件確定出最后的結(jié)果【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閿?shù)列bn是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，所以b又因?yàn)閎1,b所以數(shù)列bn（2）①由c1，c2，…，ck是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列cn是項(xiàng)數(shù)為可知c1，c2，…，ck構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，ck，ck+1故S=22023k+所以當(dāng)k=?4048?4=1012②因?yàn)閏n+1?c所以cn+1?c于是ck因?yàn)閿?shù)列{c所以S≥(2k?1)c因?yàn)镾2k?1=2024，故解得k≤1或k≥2025，所以k≥2025，當(dāng)c1，c2，…，ck構(gòu)成公差為?2且S2k?1=2024，此時(shí)k=2025，所以【變式11-1】（2024·福建南平·二模）若數(shù)列cn共有mm∈N*,m≥3項(xiàng)，對(duì)任意ii∈N*,i≤m都有cicm+1?i=S（S為常數(shù)，且S>0(1)若m=3，a1=1，a2(2)已知數(shù)列bn是公差為dd≠0的等差數(shù)列，b1=?11，若m=10，an(3)若數(shù)列an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，求證：a【解題思路】（1）依題意可得S=a2a（2）依題意aia11?i=S，即可得到（3）依題意可得am?i+1【解答過(guò)程】（1）依題意S=a2a2=4（2）法一：由m=10知對(duì)任意ii∈N*,i≤10即bi+2所以b1所以?d所以?d因?yàn)閐≠0，b1=?11，所以S=122法二：當(dāng)i=1,2時(shí)由S=a1a所以b1即b1令p=b12則p+16d因?yàn)閐≠0，b1=?11，所以p=q，即d=2，S=1，當(dāng)1≤i≤10時(shí)都有a=?9+2i所以d=2，S=1成立.（3）由已知a1am=S，所以am?i+1所以a<S<S1即am【變式11-2】（2024·江蘇南京·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．若對(duì)每一個(gè)n∈N?，有且僅有一個(gè)m∈N?，使得Sm≤an<Sm+1(1)若an的前四項(xiàng)依次為0，1，?1，1，試判斷an是否為“(2)若Sn=2n，證明(3)已知正項(xiàng)數(shù)列an為“X數(shù)列”，且an的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列，證明：【解題思路】（1）依次求出S1,S（2）由Sn=2n先求出數(shù)列an（3）先探究b1,b2得出“余項(xiàng)數(shù)列”公差情況d≤0，再討論d<0時(shí)n>1?a2d推出矛盾得到d=0，接著探究n≥3時(shí)若m+1≥n【解答過(guò)程】（1）由題S1所以有S1≤a故根據(jù)“X數(shù)列”的定義an不是“X（2）因?yàn)镾n所以當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an則a1=2不滿(mǎn)足an令Sm≤a則當(dāng)n=1時(shí)，有2m≤a當(dāng)n≥2時(shí)，有2m≤2n?1<則對(duì)每一個(gè)n∈N?n≥2，有且僅有一個(gè)m∈N?綜上，對(duì)任意n∈N?，有且僅有一個(gè)m∈N所以an為“X由上bn=S即an的“余項(xiàng)數(shù)列”通項(xiàng)公式為bn=（3）因?yàn)閍n是正項(xiàng)數(shù)列，所以S所以S1≤a因?yàn)閍2<S2，且所以a1=S1≤an的“余項(xiàng)數(shù)列”bn為等差數(shù)列，故其公差因?yàn)镾m≤a若d<0，則當(dāng)n>1?a2d時(shí)，b故d=0，所以bn=a2=對(duì)于n≥3，若m+1≥n，則a2≤S所以m+1≤n?1，故Sn所以Sn?a所以Sn又S1所以Sn≤1+【變式11-3】（2024·貴州·三模）差分密碼分析（DifferentialCryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過(guò)觀(guān)察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來(lái)推斷出密碼算法的密鑰信息.對(duì)于數(shù)列ann∈N*，規(guī)定Δan為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Δan=an+1?an；規(guī)定Δ2a(1)設(shè)數(shù)列A:1,3,7,9,13,15，判斷數(shù)列A是否為“絕對(duì)差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=2(3)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列cn為“累差不變數(shù)列”，其前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)?n∈N*，都有k=1nΔ2ck=Δ【解題思路】（1）根據(jù)“絕對(duì)差異數(shù)列”和“累差不變數(shù)列”的定義判斷即可；（2）分別求出數(shù)列Δa（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及新定義求解出Sn+Sm，運(yùn)用基本不等式求解出【解答過(guò)程】（1）對(duì)于數(shù)列A:1,3,7,9,13,15，可得：一階差分?jǐn)?shù)列為2,4,2,4,2，不滿(mǎn)足Δa所以不是“絕對(duì)差異數(shù)列”，二階分差數(shù)列為2,?2,2,?2，滿(mǎn)足Δ2所以是“累差不變數(shù)列”；（2）因?yàn)閍n所以Δan=因?yàn)棣1=7，所以數(shù)列Δan因?yàn)棣?所以數(shù)列數(shù)列Δan是首項(xiàng)為4，公差為（3）由題意得Δ2對(duì)?n∈N*，都有所以Δ2所以Δ2所以cn+2?c設(shè)數(shù)列cn的公差為d，則c當(dāng)d=0時(shí)，cn=c當(dāng)d<0時(shí)，當(dāng)n>1?c1d與數(shù)列cn的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，故d>0Sn則SnSk因?yàn)閙≠n，所以m2所以Sn則當(dāng)t≤2時(shí)，不等式Sn另一方面，當(dāng)t>2時(shí)，令m=k+1,n=k?1k∈則SnSk則t=d因?yàn)閐2所以當(dāng)k>dt?2c即有Sn+S綜上所述，實(shí)數(shù)t的最大值為2.一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an滿(mǎn)足a2+a3=14，且A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍2+所以a2+a故選：A.2．（2024·新疆·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S6【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可，或根據(jù)題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)S10【解答過(guò)程】因?yàn)閍7a8=?1，所以因?yàn)镾10?S另解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由a7a8所以a1+6d+a1+7d=0所以S10因?yàn)镾4S5S6S7所以S故選：A．3．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知數(shù)列an為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，4SnA．4 B．8 C．12 D．16【解題思路】由數(shù)列的遞推式，分別令n=1,n=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案．【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an公差為d，∵4∴當(dāng)n=1時(shí)，4S1=4∴a1當(dāng)n=2時(shí)，4S2=a2?a3?4a∴a1∴a8故選：D．4．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列an，bn均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn，TA．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閿?shù)列an,b且b6+b10=因此a7故選：A．5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）2024年春節(jié)前夕，某商城針對(duì)顧客舉辦了一次“購(gòu)物送春聯(lián)”的促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：將一天內(nèi)購(gòu)物不少于800元的顧客按購(gòu)物順序從1開(kāi)始依次編號(hào)，編號(hào)能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對(duì)，否則不能獲得春聯(lián)．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對(duì)春聯(lián)的人數(shù)為（

）A．167 B．168 C．169 D．170【解題思路】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為an【解答過(guò)程】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為an則an故an?1為12的倍數(shù)，所以所以an令1≤an≤2000，即1≤12n?11≤2000，且n∈且n∈N*，又故選:A.6．（2024·山東泰安·三模）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=?21，S7A．?99 B．?100 C．?110 D．?121【解題思路】設(shè)an的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得d=2，得到an=2n?23【解答過(guò)程】設(shè)an的公差為d，因?yàn)閍1=?21可得a1=?217a1可得Sn所以當(dāng)n=11時(shí)，Sn取得最小值S故選：D.7．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列an的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為A，偶數(shù)項(xiàng)的和為B，且B?A=45，2A=B+615，則an=A．3n?2 B．3n?1 C．3n+1 D．3n+2【解題思路】根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首項(xiàng)為a1則B?A=15d=45，所以d=3，因?yàn)?A=B+615，即2A=A+45+615，則A=660，等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以a1為首項(xiàng)，2d為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列an的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有15項(xiàng)，所以A=15a所以an故選：B.8．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．?2 B．0 C．1 D．2【解題思路】由Sn與an的關(guān)系且an為等差數(shù)列，求出an，由ann<2，得x2?(1+a)x?2【解答過(guò)程】因?yàn)镾n=n2+mn≥2時(shí)，an所以a1=1+m，a2因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a1=1從而an=2n?1，所以x2?(1+a)x?2a則當(dāng)0≤a≤1時(shí)，g(a)=2ag(0)=?x2+x≤0g(1)=2+1+x?x只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A.二、多選題9．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，公差d=6，在an中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入k個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列A．a(chǎn)n=6n?5 B．當(dāng)k=2C．當(dāng)k=2時(shí)，b19不是數(shù)列an中的項(xiàng) D．若b8是數(shù)列a【解題思路】對(duì)A，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；對(duì)B，分析bn的公差再求解即可；對(duì)C，由B中通項(xiàng)公式判斷即可；對(duì)D，根據(jù)題意判斷當(dāng)k=6時(shí)a【解答過(guò)程】對(duì)A，an對(duì)B，當(dāng)k=2時(shí)，bn公差d=63對(duì)C，當(dāng)k=2時(shí)bn=2n?1，此時(shí)b19=2×19?1=37，a7對(duì)D，當(dāng)k=6時(shí)，b1=a故選：ABD.10．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是公差為dd≠0的等差數(shù)列，若它的前2m(m>1)項(xiàng)的和S2mA．若d<0，使an>0的最大nB．Sm是SC．3D．a(chǎn)【解題思路】由題設(shè)可推得am+am+1=0，對(duì)于A(yíng)，由d<0【解答過(guò)程】由題意，S2m=2m(a1對(duì)于A(yíng)，因d<0，則am+1<a故使an>0的最大n的值為對(duì)于B，若d<0，由A項(xiàng)知，am即數(shù)列an的前m項(xiàng)都是正數(shù)項(xiàng)，第m+1即此時(shí)Sm是S對(duì)于C，由(3am+1=3(a因am+a故上式的值為0，即3a對(duì)于D，由(am+1=(a由C分析知，am+a故上式的值也為0，即am?1故選：ACD.11．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)an是各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)于?n∈N*，an+12?aA．若an是等方差數(shù)列，則aB．?dāng)?shù)列2nC．若an是等方差數(shù)列，則數(shù)列aD．若an是等方差數(shù)列，則存在正整數(shù)n，使得【解題思路】對(duì)于B：代入定義計(jì)算即可判斷；根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的定義分析判斷A；借助題目條件，借助放縮將等式轉(zhuǎn)換為不等式后結(jié)合數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)分析判斷C；由題意將i=1n1a【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)B：若an=2n時(shí)，則則an+1所以數(shù)列2n對(duì)于選項(xiàng)ACD