專題5.1 平面向量的概念及線性運算（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題5.1平面向量的概念及線性運算【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量的基本概念】 2【題型2向量加、減法的幾何意義】 4【題型3向量的線性運算】 6【題型4根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】 7【題型5向量共線定理及其應(yīng)用】 91、平面向量的概念及線性運算考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義

(2)掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義

(3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義2022年新高考全國I卷：第3題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第4題，5分平面向量是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的概念和平面向量的線性運算主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易，考查形式比較穩(wěn)定.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對向量的線性運算法則、向量共線定理的理解.【知識點1平行向量有關(guān)概念的歸納】1．平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量.【知識點2平面向量線性運算問題的解題策略】1．平面向量線性運算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2．向量線性運算的含參問題的解題策略：與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.3．利用共線向量定理解題的策略：(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.【方法技巧與總結(jié)】1．中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則.2．(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.3．解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.【題型1平面向量的基本概念】【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量a，b為非零向量，則“向量a，b的夾角為180°”是“a//b”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】判斷命題“若向量a，b的夾角為180°，則a//b”和命題“若a//b，則向量【解答過程】因向量a，b為非零向量，則當(dāng)向量a，b的夾角為180°時，a與b方向相反，即a//當(dāng)a//b時，a與b方向相同或者方向相反，即向量a，所以“向量a，b的夾角為180°”是“a//故選：A.【變式1-1】（2024·北京·三模）若a,b為非零向量，則“aa=bA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】aa=bb表示與【解答過程】依題意a,b為非零向量，aa表示與a同向的單位向量，b則aa=bb表示與a,b共線可能同向共線、也可能反向共線，所以a,故選：B.【變式1-2】（2023·江蘇鹽城·三模）已知ABCD是平面四邊形，設(shè)p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，則p是q的條件（A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【解題思路】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【解答過程】在四邊形ABCD中，若AB=2則AB∥DC，且AB=2DC，即四邊形ABCD為梯形，充分性成立；若當(dāng)AD，BC為上底和下底時，滿足四邊形ABCD為梯形，但AB=2故p是q的充分不必要條件.故選：A.【變式1-3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷錯誤的是（

）A．若AD=BC，則四邊形B．若AD=13C．若AB=DC，且|ABD．若AB=DC，且AC⊥【解題思路】根據(jù)向量共線、相等的知識確定正確答案.【解答過程】A選項，AD=BC，則AD//B選項，AD=13BC，則C選項，AB=DC，則AB//DC,AB=DC，四邊形ABCD是平行四邊形；由于D選項，AB=DC，則AB//DC,AB=DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形；由于故選：D.【題型2向量加、減法的幾何意義】【例2】（2024·河南開封·三模）在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則下列向量與AB+DC不相等的是（A．2EF B．AC+DB C．EB【解題思路】根據(jù)向量的加減法法則結(jié)合已知條件逐個分析判斷即可【解答過程】因為在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，所以AE=因為EF=EA所以2EF所以A正確，因為DC=所以DC+因為DC=所以DC+因為FA+所以D錯誤，故選：D.【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）等邊三角形ABC的垂心為O，點D是線段BC上靠近B的三等分點，則AD=（

A．OB+23C．OB+34【解題思路】首先延長BO交AC于點E，根據(jù)題意得到E為AC的中點，再利用向量的線性運算計算AD即可.【解答過程】如圖所示：延長BO交AC于點E，因為O為等邊三角形ABC的垂心，所以E為AC的中點，所以A=AC故選：A.【變式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在△ABC中，AB=4,AC=6，點D，E分別在線段AB，AC上，且D為AB中點，AE=12EC，若AP=AD+A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)題意，可得四邊形ADPE為菱形，即可得到AP平分∠BAC，從而得到結(jié)果.【解答過程】因為AB=4,AC=6，且D為AB中點，AE=則AD=又因為AP=AD+即AP為菱形ADPE的對角線，所以AP平分∠BAC，即直線AP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心故選:A.【變式2-3】（2024·廣東·模擬預(yù)測）等腰△ABC中，∠B=∠C=30°,AB=1，D為線段AB上的動點，過D作DE∥BC交AC于E．過D作DF⊥BC交BC于F，則|2BF+DEA．3 B．23 C．33 【解題思路】根據(jù)題意可得△BDF≌△CEG，得到BF=GC，結(jié)合|2BF【解答過程】如圖所示，根據(jù)題意可得△BDF≌△CEG，所以BF=GC，所以2BF=BF故選：A.【題型3向量的線性運算】【例3】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）下列向量關(guān)系式中，正確的是（

）A．MN=NM C．AB+CA=【解題思路】由向量加減法的運算規(guī)則，驗證各選項的結(jié)果.【解答過程】MN=?BC=AB+由向量加法的運算法則，有MN+故選：D.【變式3-1】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知向量a,b，則2aA．a(chǎn)+b C．3a+b【解題思路】直接由向量的線性運算即可求解.【解答過程】由題意2a故選：D.【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，NA+NC=A．NM=?13C．NM=?13【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運算法則，準(zhǔn)確化簡、運算，即可求解.【解答過程】在△ABC中，因為NA+NC=0，所以又因為BM=2MC，所以M為線段BC的靠近所以NM=故選：D．【變式3-3】（2024·四川自貢·一模）如圖所示的△ABC中，點D是線段BC上靠近B的三等分點，點E是線段AB的中點，則DE=（

A．?13ABC．?56AB【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運算求得正確答案.【解答過程】DE=1故選：B.【題型4根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】【例4】（2023·寧夏石嘴山·二模）如圖，已知△ABC中，D是AB邊上一點，若DB=12AD，3CD

A．?2 B．2 C．?1 D．3【解題思路】根據(jù)平面向量加減法運算求解即可.【解答過程】連接CD，如圖所示：

因為DB=所以CD=所以3CD=CA故選：B.【變式4-1】（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知在△ABC中，點D為邊BC的中點，若AD+BC=λAB+μA．1 B．－1 C．2 D．－2【解題思路】結(jié)合幾何關(guān)系，利用向量的線性運算法則即可將AD+BC用【解答過程】因為點D為邊BC中點，所以AD+所以λ=?12，μ=3故選：D.【變式4-2】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，AC與MD相交于點P，若AP=xAB+yAD，則A．23 B．916 C．34【解題思路】利用平行分線段成比例得到APPC【解答過程】因為平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，AC與MD相交于點P，所以APPC所以AP=34所以x=y=34，故選：B.【變式4-3】（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）在△ABC中，D是線段BC上一點，滿足BD=2DC,M是線段AD的中點，設(shè)BM=xAB+yA．x?y=?12 C．x?y=12 【解題思路】利用向量的線性運算，求出BM=?56【解答過程】因為D是線段BC上一點，滿足BD=2DC，所以AD=又M是線段AD的中點，所以AM=所以BM=所以x=?56,y=故選：B.【題型5向量共線定理及其應(yīng)用】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量a，b，則“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λA．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用向量共線的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【解答過程】當(dāng)a≠0，b=0時，滿足a//當(dāng)a=λb時，可得所以“a//b”是“存在λ∈R，使得故選：A.【變式5-1】（2024·上海崇明·一模）設(shè)O為△ABC所在平面上一點.若實數(shù)x、y、z滿足xOA+yOB+zOC=0x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件.【解題思路】先由xyz=0得x,y,z中只能有一個為0，假設(shè)x=0可得點O在△ABC的邊BC所在直線上，滿足充分性；若點O在△ABC的邊所在直線上，假設(shè)在AB上，容易得z=0，必要性滿足，則可得答案.【解答過程】∵O為△ABC所在平面上一點，且實數(shù)x、y、z滿足x∴x若“xyz=0”，則x,y,z中只能有一個為0，否則若x=y=0，得z=0，這與x2假設(shè)x=0（y,z不為0），可得yOB=?zOC∴向量OB和OC共線，∴點O在△ABC的邊BC所在直線上；若點O在△ABC的邊所在直線上，假設(shè)在AB上，說明向量OB和OA共線，∴z=0,∴xyz=0，∴“xyz=0”是“點O在△ABC的邊所在直線上”的充分必要條件.故選：C.【變式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知a,b是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a+λbA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量的模長關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進(jìn)行判斷.【解答過程】若a∥b，則則存在唯一的實數(shù)μ≠0，使得a故|a而|a存在λ使得|λ+μ|=|λ|+|μ|成立，所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a若λ≠0且|a+λb|=|a|+|λb|，則所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a故a∥b”是“存在λ≠0，使得||a故選:C.【變式5-3】（2023·甘肅武威·一模）已知正三角形ABC的邊長為6，AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，則點A．23 B．3 C．33 【解題思路】由AP=32λAD+2μAE結(jié)合32λ+2μ=1【解答過程】因為3λ+4μ=2，所以32所以AP=λAB+μAE=12AC，則AP=所以點P在線段DE上運動，顯然，當(dāng)點P與點E重合時，點P到直線BC的距離取得最大值33故選：D.一、單選題1．（2023·北京大興·三模）設(shè)a，b是非零向量，“aa=bb”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【解答過程】由aa=bb表示單位向量相等，則由a=b表示a,所以“aa=b故選：B.2．（2023·福建南平·模擬預(yù)測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足AB+BC=2AM，則A．12 B．1 C．22 【解題思路】根據(jù)幾何關(guān)系求解.【解答過程】如圖，AB+BC=AC=2AM，所以故選：C.3．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD的邊長為1，則AB+BC?A．0 B．2 C．22 【解題思路】利用向量運算法則得到AB+【解答過程】AB+因為正方形ABCD的邊長為1，所以AC=1+1故AB+故選：C.4．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，點M是BC的中點，則AM=A．23AB?C．AB+12【解題思路】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.【解答過程】依題意可得AM=1故選：D.5．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=4AD，CE=2ED.若A．λ+μ=5 B．λ?μ=1 C．λμ=6 D．λ【解題思路】將向量AE，CD看作基底，利用向量的加減法法則以及數(shù)乘的運算法則，得到BC=【解答過程】依題意，AB=4所以BC=又因為CE=2所以BC=?CD所以λ=?3，μ=?2，所以λ+μ=?5，λ?μ=?1，λμ=6，λμ故選：C．6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知e1?,e2?是兩個不共線的向量，若A．λμ=?2 B．λμ=?2 C．λμ【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，即可得到結(jié)果.【解答過程】依題意，設(shè)2e1→所以tμ=2,λ=t，所以λμ=2．故選：D.7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量e1，e2是平面上兩個不共線的單位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三點共線 B．A、B、D三點共線C．A、C、D三點共線 D．B、C、D三點共線【解題思路】根據(jù)向量a,b共線則【解答過程】對A，因為AB=e1+2e2，BC=?3e1+2e對B，因為AB=e1+2e2，DA=3e1?6e對C，因為AC=AB+BC=?2e1+4e2，對D，因為BC=?3e1+2e2，BD=?DA?AB=故選：C.8．（2024·全國·二模）點O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+OB+OC，則直線A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解題思路】根據(jù)向量的運算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.【解答過程】設(shè)BC的中點為點D，所以O(shè)B+則OP?若A,P,O,D四點共線時，即點O,P都在中線AD上，所以O(shè)P經(jīng)過三角形的重心，若A,P,O,D四點不共線時，AP//OD，且AP=2OD，連結(jié)AD,OP，交于點G，如圖，AGGD=APOD=2，即點G綜上可知，OP經(jīng)過△ABC的重心.故選：A.二、多選題9．（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）下列說法中正確的是（

）A．若a與b都是單位向量，則aB．零向量的長度為零，方向是任意的C．若a與b是平行向量，則aD．若a+b=0【解題思路】根據(jù)單位向量、零向量、相等向量和共線向量的定義判斷.【解答過程】單位向量a與b的方向不一定相同，故A錯；零向量的長度為零，方向任意，故B正確；若a∥b，若a+b=0或a?b故選：BD.10．（2024·遼寧·二模）△ABC的重心為點G，點O，P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+A．O,P,G三點共線 B．OPC．2OP=AP+BP+【解題思路】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷．【解答過程】OP=3OG因為點G為△ABC的重心，所以GA+GB+所以O(shè),P,G三點共線，故A正確，B錯誤；AP=(AO因為OP=所以(AO+BO因為OP=3所以點P的位置隨著點O位置的變化而變化，故點P不一定在△ABC的內(nèi)部，故D錯誤；故選：AC．11．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)與生活存在緊密聯(lián)系，很多生活中的模型多源于數(shù)學(xué)的靈感．已知某建筑物的底層玻璃采用正六邊形為主體，再以正六邊形的每條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造出六個正方形，如圖所示，則在該圖形中，下列說法正確的是（

）

A．GH=23C．GB=33【解題思路】由圖可得各向量關(guān)系與其模長間等量關(guān)系，即可得答案.【解答過程】A選項，由題知BCBD=13，故B選項，由題知CF=2DE，BE=C選項，GB=D選項，因為IC=IB+BC=3故IC=故選：ACD．三、填空題12．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，3BE→=ED→，．【解題思路】利用平面向量的線性運算.【解答過程】由平行四邊形ABCD,3BE可知BD=4BE，則整理得CE=則CE=?所以2λ+μ=?5故答案為：?513．（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列關(guān)于向量的命題，序號正確的是①③.①零向量平行于任意向量；②對于非零向量a,b，若a//③對于非零向量a,b，若a=±④對于非零向量a,b，若a//b，則【解題思路】根據(jù)平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據(jù)相等向量和相反向量的定義可判斷③.【解答過程】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；對于非零向量a,b，若a//b，則故a不一定等于±b對于非零向量a,b，若a=±b，則a與對于非零向量a,b，若a//b，則a和b是平行向量，也是共線向量，但故選：①③.14．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且DF=AF，點P在AB上，BP=2AP，點Q在△DEF內(nèi)(含邊界)一點，若PQ=λPD+PA，則λ的最大值為【解題思路】先利用向量線性運算得到AQ=λPD，作出輔助線，得到DP//AH，且【解答過程】PQ=λ取DE的中點H，連接AH，因為BD=DE，故BD=2HD，又BP=2AP，所以BPAB=BDBH=所以λ的最大值為32，此時點Q與點H故答案為：32四、解答題15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：(1)(AB(2)AB?(3)OA?【解題思路】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計算即得.【解答過程】（1）(AB+MB)+(?OB（2）AB?AD?（3）OA?16．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，E、F、G依次是正三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點.(1)在以A、B、C、E、F、G為起點或終點的向量中，找出與向量EF共線的向量；(2)在以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，找出與向量GF模相等的向量；(3)在以E、F、G為起點，以A、B、C為終點的向量中，找出與向量EG相等的向量.【解題思路】（1）由EF是△ABC的中位線，結(jié)合向量共線的概念得到與向量EF共線的向量；（2）由向量模相等的概念得到與向量GF模相等的向量；（3）由向量相等的概念得到與向量EG相等的