專題4.6 解三角形（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題4.6解三角形【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】 4【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】 6【題型3正弦定理判定三角形解的個數(shù)】 7【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】 9【題型5和三角形面積有關(guān)的問題】 13【題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】 17【題型7距離、高度、角度測量問題】 20【題型8求解平面幾何問題】 23【題型9三角函數(shù)與解三角形的交匯問題】 271、三角恒等變換考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)掌握正弦定理、余弦定理及其變形

(2)理解三角形的面積公式并能應(yīng)用

(3)能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題(4)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題2022年新高考全國I卷、Ⅱ卷：第18題，12分2023年新課標(biāo)I卷、Ⅱ卷：第17題，10分2024年新課標(biāo)I卷、Ⅱ卷：第15題，13分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第12題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第11題，5分解三角形是高考的重點、熱點內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正弦定理、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，也會出現(xiàn)在解答題中，在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為較易題、中檔題.對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用；二是考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應(yīng)用，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合命題，需要學(xué)生靈活求解.【知識點1解三角形幾類問題的解題策略】1．正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.2．判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.3．對三角形解的個數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個值，一個大于，一個小于，考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時需進(jìn)行討論.4．與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.【知識點2測量問題的基本類型和解決思路】1．測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：類型簡圖計算方法A,B間不可達(dá)也不可視測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點A可視但不可達(dá)測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D與點A,B均可視不可達(dá)測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2．測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計算方法底部

可達(dá)測得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點B與C,D共線測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點B與C,D不共線測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3．測量角度問題的解決方案測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【知識點3解三角形的應(yīng)用的解題策略】1．平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.2．解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.【方法技巧與總結(jié)】1．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=-cosC；(3)；(4).2．三角形中的射影定理在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.3．在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，.【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】【例1】（2024·浙江紹興·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若2bcos(B+C)?acosC=ccosA，則A等于（

）A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】本題先根據(jù)誘導(dǎo)公式對條件式進(jìn)行化簡，再用余弦定理進(jìn)行邊角互化，即可得出答案.【解答過程】因為2bcosB+C?a即?2bcos如圖，過B點作BD⊥AC于D，可知acos，所以?2bcos所以cosA=?12，又A∈故選：D.【變式1-1】（2024·河南鄭州·三模）△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c．若b=7,c=6,cosB=15，則A．5 B．6 C．8 D．10【解題思路】直接由余弦定理的變形式解出即可.【解答過程】在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=化簡得：5a2?12a?65=0，解得：a=5故選：A.【變式1-2】（2024·江西九江·三模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知2c?a=2bcosA，則B=（A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】運用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.【解答過程】因為2c?a=2bcos由正弦定理，2因為A+B+C=π展開化簡2sin又B∈0,故選:B.【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB+π6=bsinA，若a=A．1 B．2 C．23 【解題思路】利用正弦定理和三角恒等變換的化簡計算可得B=π【解答過程】acos由正弦定理得sinA又A∈(0,π),sin即32得cosB=3sin又0<B<π，所以B=π6由余弦定理得b=a故選：A.【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】【例2】（2024·陜西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB=b，且a=ccosA．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】由正弦定理和sinA=sinB+C得到a=b，cos【解答過程】bcos即sinA=sinBa=c?sin因為B∈0,π，所以sinB≠0因為C∈0,π，所以故△ABC為等腰直角三角形.故選：D.【變式2-1】（23-24高一下·廣東廣州·期中）在△ABC中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若b2c2=tanA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角、切化弦，再結(jié)合二倍角公式求解即得.【解答過程】在△ABC中，由b2c2=tan整理得sinBcosB=sinC則0<2B<2π,0<2C<2π，因此2B=2C或2B+2C=π，即所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故選：C.【變式2-2】（2024·山東·二模）在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，設(shè)甲：b?c=a(cosC?cosB)，設(shè)乙：A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡命題甲，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【解答過程】在△ABC中，由正弦定理及b?c=a(cosC?cos即sin(A+C)?sin(A+B)=由正弦定理得ccosA?bcosA=0，則cosA=0或b=c因此甲：A=π2或乙：△ABC是直角三角形，當(dāng)角B或C是直角時，乙不能推甲，所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.故選：D.【變式2-3】（2023·甘肅酒泉·三模）在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a2b2=sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解題思路】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡已知等式可得a2?b【解答過程】由正弦定理，余弦定理及a2cos∴a2b則a2+∴a=b或a2故選：D.【題型3正弦定理判定三角形解的個數(shù)】【例3】（2024·福建·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知A=π6，a=2，若△ABC有兩解，則（A．2≤b<4 B．b≥4 C．2<b<4 D．0<b<2【解題思路】根據(jù)正弦定理及圖形關(guān)系得到bsin【解答過程】

如上圖所示，要使△ABC有兩解，則以B為圓心，2為半徑的圓與射線AC有兩個交點，△ABC有兩解的充要條件為bsinA<a<b，代入題設(shè)得故選：C.【變式3-1】（2023·貴州·模擬預(yù)測）△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，A=60°，a=3.若這個三角形有兩解，則b的取值范圍是（

A．3<b≤2 B．C．1<b<23 D．【解題思路】由正弦定理結(jié)合已知，可推得b=2sinB.進(jìn)而根據(jù)三角形解得個數(shù)推得【解答過程】由正弦定理asinA=要使△ABC有兩解，即B有兩解，則應(yīng)有A<B，且sinB<1所以32所以3<b<2故選：B．【變式3-2】（2023·浙江·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若B=π3,a=4，且該三角形有兩解，則bA．23,+∞C．0,4 D．3【解題思路】利用正弦定理推出b=23sinA，根據(jù)三角形有兩解，確定角【解答過程】由正弦定理得asinA=因為該三角形有兩解，故π3故sinA∈(32故選：B.【變式3-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知AB=x，BC=22，C=π4，若存在兩個這樣的三角形ABC，則xA．22,+∞ B．0,22 C．【解題思路】由正弦定理可得sinA=2x，分析可知關(guān)于A的方程：sin【解答過程】由正弦定理ABsinC=由題意可知：關(guān)于A的方程：sinA=2x在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線y=sinA，A∈0,

因為它們有兩個不同的交點，所以22<2故選：C.【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，點D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點，且點D在B，E之間，AE?AC?BD=AD?AB?CE．(1)求證：sin∠BAD=(2)若AB⊥AC，求證：AD【解題思路】（1）分別在△ABC，△ABD，△ACE中，利用正弦定理即可得證；（2）設(shè)∠BAD=∠CAE=α，則0<α<π4，∠DAE=π2?2α【解答過程】（1）如圖．在△ABC中，由正弦定理，得sinB在△ABD中，由正弦定理，得sin∠BAD=在△ACE中，由正弦定理，得sin∠CAE=所以sin∠BAD所以sin∠BAD=（2）因為AB⊥AC，所B+C=π2，所以由∠BAC=π2可知∠BAD，由（1）知，∠BAD=∠CAE．設(shè)∠BAD=∠CAE=α，則0<α<π4，由sin∠DAE=cos2α=1?2在△ABD中，由正弦定理，得ADBD在△ACE中，由正弦定理，得AECE所以AD【變式4-1】（2024·北京西城·二模）在△ABC中，23(1)求B的大?。?2)若3a+c=2b，證明：【解題思路】(1)利用降冪公式化簡已知條件，求出tanB即可求出B；(2)結(jié)合余弦定理和已知條件即可證明．【解答過程】（1）在△ABC中，∵23∴23∴3cos∴tanB=?∵B∈0,∴B=2（2）∵B=2π3由余弦定理得b2∵3a+c=2b，∴將②代入①，得34整理得(a?c)2=0，∴【變式4-2】（2024·廣東·二模）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．(1)證明：PBsin(2)若∠ABC=90°，AB=BC=1，求【解題思路】（1）由正弦定理得PBsinα=ABsin（2）由題意求得PB=sinα，繼而求得PC=2sinα【解答過程】（1）證明：在△ABP中，由正弦定理得PBsin即PBsin要證明PBsin∠ABC=ABsin在△ABP中，∠APB=π?α+∠ABP在△ABC中，∠ABC=α+∠ABP，所以∠APB=π?∠ABC，所以sin∠APB=所以PBsin（2）由（1）知PBsin∠ABC=ABsinα，又因為所以PB=sin由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以∠BCA=∠CAB=π則∠BCP=π所以在△PBC中，∠BPC=π?π由正弦定理得BCsin即1sin即PC=2由余弦定理得sin2由題意知sinα>0故解得sinα=所以PC=10【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在△ABC中，A<B<C，且tanA，tanB，(1)求A的大小；(2)設(shè)AC的中點為D，求證：BC=BD．【解題思路】(1)從角A入手，根據(jù)條件確定tanA>0，結(jié)合tanA為整數(shù)，通過假設(shè)法，得到tanA(2)首先利用角B和角C和的正切展開式，確定角B和角C滿足的等式，再結(jié)合tanB，tanC均為整數(shù)，確定tanB【解答過程】(1)因為A<B<C，所以A為銳角，則tanA>0若tanA?2,∵tanπ3=∴A?π又A<B<C,∴B,C都大于π3，與A+B+C=π∴tanA=1，即(2)證明：∵A=π又tanB+C即tanB由tanB,tanC得tanB=可得tanB=2,則sinB=設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由正弦定理asin可得b=又AC的中點為D,CD=10在△BCD中，由余弦定理，得BD∴BD=a，即證BC=BD．【題型5和三角形面積有關(guān)的問題】【例5】（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsin(1)求B；(2)若∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=2，a=3，求△ABC的面積．【解題思路】（1）先應(yīng)用正弦定理，再結(jié)合兩角和差公式計算求值即可；（2）先應(yīng)用角平分線表示面積求出a,c,最后應(yīng)用面積公式計算.【解答過程】（1）由正弦定理及2bsinA+π所以sinB整理，得3sin因為sinA≠0，所以3sinB?因為B∈(0,π),B?π（2）因為BD為∠ABC的平分線，所以S△ABC即12化簡，得ac=2a+c由a=3，得c=6，所以S=1【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，在平面內(nèi)，四邊形ABCD滿足B，D點在AC的兩側(cè)，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，設(shè)∠ABC=α.

(1)當(dāng)α=π3時，求(2)當(dāng)α變化時，求四邊形ABCD面積的最大值.【解題思路】（1）在△ABC中，由余弦定理可得AC的值；（2）由余弦定理可得AC2的表達(dá)式，進(jìn)而求出正三角形ACD的面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出四邊形ABCD的面積的表達(dá)式，由輔助角公式及【解答過程】（1）因為AB=1，BC=2，B=π由余弦定理可得：AC=A（2）由余弦定理可得AC因為△ACD為正三角形，所以S△ACDS△ABC所以S四邊形因為α∈0,π，所以所以sinα?所以S四邊形故當(dāng)α=5π6時，四邊形ABCD【變式5-2】（2024·四川攀枝花·三模）請在①2a?b=2ccosB，②3a△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，已知______．(1)求角C；(2)若b=4，點D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，△CDB的面積為233，求邊長【解題思路】（1）選①，利用余弦定理求解即得；選②，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦求解即得；選③，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式，結(jié)合輔助角公式計算即得.（2）利用三角形面積公式建立方程求解即得.【解答過程】（1）選①，由2a?b=2ccosB及余弦定理，得整理得a2+b而C∈0,π，所以選②由3accos3sinAsinCcos即tanC=3，又C∈0,選③，由3sinA+B=3?2cos2于是2sin(C+π6)=2所以C+π6=（2）在△ABC中，由點D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，得S△ABC即12absin又S△CDB=14a?CD=而a>0，解得a=2，所以邊長a=2．【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）記銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosA=3(1)求A.(2)求△ABC面積的取值范圍.【解題思路】（1）方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.（2）利用正弦定理得b=csinBsinC=3【解答過程】（1）方法一：由余弦定理，得b×b2+又2asinC=3，所以由正弦定理，得又△ABC為銳角三角形，所以A=π方法二：由題意知，bcos由正弦定理得sinB所以sinB所以sinB+A=2sin又因為sinC≠0，所以sinA=12，又因為（2）由正弦定理，得b=csinBsin因為△ABC為銳角三角形，所以0<C<π解得π3<C<π2，所以因為c=3，所以S△ABC=故△ABC面積的取值范圍為33【題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】【例6】（2024·江西·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c，且tanA=(1)若B=π6，求(2)若a=2，求b+c的取值范圍．【解題思路】（1）由tanA=cosB?sinC（2）利用正弦定理求出b,c，再根據(jù)A,B的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【解答過程】（1）因為tanA=cosB?即sinA即sinA所以sinA+C=cos而A,B∈(0,π)，所以B+A+B=所以A+2B=π2或又因為B=π6，所以所以C=2（2）由（1）得A+2B=π因為asin所以b=ac=a則b+c=2又由0<B<π0<π所以π4<B+π所以b+c∈2,+【變式6-1】（2024·安徽淮北·二模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知c?b=2c(1)試判斷△ABC的形狀；(2)若c=1，求△ABC周長的最大值.【解題思路】（1）根據(jù)題意，求得cosA=bc（2）由（1）和c=1，得到a=sinA,??b=cos【解答過程】（1）解：由c?b=2csin2A2，可得即12?cos又由余弦定理得b2+c2?所以△ABC是直角三角形（2）解：由（1）知，△ABC是直角三角形，且c=1，可得a=sin所以△ABC周長為1+sin因為A∈0,π2所以，當(dāng)A=π4時，即△ABC為等腰直角三角形，周長有最大值為【變式6-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin2(1)求角B的值．(2)求a+c2b【解題思路】（1）利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可得結(jié)果；（2）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換整理得a+c2b【解答過程】（1）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R．由正弦定理asinA=bsinB=因為sin2A?2sin整理得a2由余弦定理b2=a2+又因為B∈0,π2，則sinB>0，可得（2）由正弦定理可得a+c2b則a+c因為△ABC是銳角三角形，則0<A<π2A+則π3<A+π所以a+c2b的取值范圍是3【變式6-3】（2023·湖南長沙·一模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周長的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理得到a2+c（2）根據(jù)正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+cosA【解答過程】（1）sinA?sinB即a2由余弦定理得：cosB=因為B∈0,所以B=π（2）銳角△ABC中，a=2，B=π由正弦定理得：2sin故b=1則b+c==3因為銳角△ABC中，B=π則A∈0,π2解得：A∈π故tanA∈3,+則1tan故b+c∈1+3所以三角形周長的取值范圍是3+3【題型7距離、高度、角度測量問題】【例7】（2024·湖南·模擬預(yù)測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，A,C,D在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得CD=18m,AD=15m，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（3A．35.0m B．36.4m C．38.4m【解題思路】現(xiàn)從四棱錐C?ABED中提取兩個直角三角形△ECD和△BEF的邊角關(guān)系，進(jìn)而分別解出兩個三角形邊DE,BF的長，求出來雁塔AB的高度即可.【解答過程】過點E作EF⊥AB，交AB于點F，在直角三角形△ECD中，因為∠ECD=30°，所以DE=CD?tan在直角三角形△BEF中，因為∠BEF=60°，所以BF=EF?tan則AB=BF+AF=BF+ED=153故選：B.【變式7-1】（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2m，在C點測得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8A．20m B．21m C．22m【解題思路】利用正弦定理在△DBC中取得CB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定，可得答案.【解答過程】由題意可知，∠BCD=23°，∠CDB=30°，所以∠CBD=127°，又因CD=11.2m由正弦定理CDsin∠CBD=CBsin又因為∠ACB=72.4°，所以AB=BCtan故選:C.【變式7-2】（23-24高一下·浙江溫州·期中）如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，在B處測得C對于山坡的斜度為45°.若CD=50m，山坡與地平面的夾角為θ，則cosθA．22 B．32 C．2?1【解題思路】先求出∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理求出BC，在△BCD中，由正弦定理sin∠BDC【解答過程】因為∠CBD=45°，所以在△ABC中，由正弦定理得BCsin又sin15解得BC=100×在△BCD中，由正弦定理得506解得sin∠BDC=即sinθ+所以cosθ=故選：D.【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為103?3m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°A．60m B．303m C．20【解題思路】先在Rt△ABM中求得AM的長度，再在△ACM中利用正弦定理求得CM的長度，進(jìn)而在Rt【解答過程】sin15°=sin45°?30°由題意知：∠CAM=45°,∠AMC=105°，所以∠ACM=30°，在Rt△ABM中，AM=ABsin在△ACM中，由正弦定理得AMsin∠ACM所以CM=AM·sin∠CAM在Rt△DCM中，CD=CM·故選：A.【題型8求解平面幾何問題】【例8】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC,∠ADC=120°,AB=CD=2AD,△ACD的面積為32

(1)求sin∠CAB(2)證明：∠CAB=∠CAD．【解題思路】（1）設(shè)CD=2AD=2a,a>0，根據(jù)△ACD面積得到方程，求出a=1，在△ACD中，利用余弦定理求出AC=7，進(jìn)而求出BC，從而求出sin（2）在△ACD中，由正弦定理得sin∠CAD=217，結(jié)合（1）中sin【解答過程】（1）設(shè)CD=2AD=2a,a>0，因為△ACD的面積為32所以12×2a×a×sin所以AB=CD=2,AD=1．在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2所以AC=7在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=2，所以BC=所以sin∠CAB=（2）由（1）可得CD=2,AC=7在△ACD中，由正弦定理得CDsin所以sin∠CAD=CDsin由（1）可得sin∠CAB=217所以∠CAB=∠CAD．【變式8-1】（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠BAC=60°，△ABC的面積為103，D為BC的中點，DE⊥AC于點E,DF⊥AB于點F

(1)求△DEF的面積；(2)若AD=1292，求【解題思路】（1）由題意，可得∠FDE=120°，∴S△DEF=12DE?DF?sin120o=34DE?DF（2）延長AD到點Q，使AD=DQ，連接CQ，在△AQC中，利用余弦定理可得BC，在△ABC中由正弦定理可求得結(jié)果.【解答過程】（1）在四邊形AFDE中，∠BAC=60°，∠DFA=∠DEA=90故∠FDE=120°，故S△DEF作BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，

又D為BC的中點，則DE=1DF=1故S△DEF（2）設(shè)△ABC的三條邊BC，AC，AB分別為a，b，c，由S△ABC=1延長AD到點Q，使AD=DQ，連接CQ，則AQ=129，∠ABC=∠BCQ則在△AQC中，∠ACQ=120o，故由b2+c2+bc=129與bc=40b2+c由正弦定理得b+csin則sin∠ABC+【變式8-2】（2024·陜西西安·一模）已知平面四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，其中DC=(1)探究：△ABD是否為直角三角形；若是．請說明哪個角為直角，若不是，請給出相關(guān)理由；(2)記平面四邊形ABCD的面積為S，若DC=2，且恒有S<λ，求實數(shù)λ【解題思路】（1）先將等式中的正切化為正弦再化簡，結(jié)合三角形內(nèi)角和為π，將∠BAD轉(zhuǎn)化為π?∠ABD?∠ADB（2）由DC=13AB可知四邊形為梯形，將梯形的面積公式用∠ABD表示，根據(jù)【解答過程】（1）（1）因為sin∠BAD?則有sin∠BAD?在平面四邊形ABCD中，sin∠ABD≠0所以sin∠BAD=在△ABD中，∠BAD=π?∠ABD?∠ADB=cos即sin∠ABDcos∠ADB=0，所以cos△ABD為直角三角形，且∠ADB為直角.

（2）因為DC=13AB，且DC=2，可知AB不妨設(shè)梯形的高為?，則有?=AB?cos則S=1∠ABD∈0,π2，則sinS<λ恒成立，則λ>12.【變式8-3】（2023·山西呂梁·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分線交AD于點E，且BE=22

(1)求∠ABE及BD；(2)若∠BCD=60°，求△BCD周長的最大值．【解題思路】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，從而求出∠AEB的大小，從而求出∠ABE的大小，再根據(jù)BE是∠ABD的平分線可得△BDE是等腰三角形，從而可得DE長度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD；（2）設(shè)BC=m，CD=n．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的關(guān)系式，，再結(jié)合基本不等式即可求出m＋n的最大值，從而可求△BCD周長的最大值．【解答過程】（1）在△ABE中，由正弦定理得sin∠AEB=又∠AEB<∠A，則∠AEB=30°，于是∠ABE=180°?135°?30°=15°，∵BE為角平分線，∴∠DBE=15°，∴∠BDE=15°，∴BE=DE=22在△BDE中，根據(jù)余弦定理得B∴BD=23（2）設(shè)BC=m，CD=n．在△BCD中，由余弦定理得43即有m+n2=16+83∴m+n≤43當(dāng)且僅當(dāng)m=n=23∴△BCD周長的最大值為6+63【題型9三角函數(shù)與解三角形的交匯問題】【例9】（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=23(1)求函數(shù)y=log(2)已知銳角△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若fA2=0【解題思路】（1）先化簡f(x)，然后利用真數(shù)大于0可得sin2x?（2）先利用（1）可得A=π3，結(jié)合銳角三角形可得【解答過程】（1）f(x)=23sinx所以要使y=log只需2sin2x?π所以π6+2k所以函數(shù)y=log2f(x)由于0<2sin2x+π所以函數(shù)y=log2f(x)（2）由于fA2=2因為0<A<π2，所以?π6<A?由銳角△ABC可得0<B<π20<C=由正弦定理可得b+ca=sin因為π6<B<π2，所以所以b+ca【變式9-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=fx(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2?b【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡已知條件，然后利用整體代入法求得y=fx（2）利用余弦定理求得A，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得fB【解答過程】（1）f令?π2所以，單調(diào)減區(qū)間是?2（2）由a2b2+c由于0<A<π，所以A=在△ABC中，0<B<2πfB于是π6<B+π6<12≤?sin【變式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函數(shù)f(x)=2sin

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A)=3，b=2，且△ABC的面積為332【解題思路】（1）根據(jù)圖形求出最小正周期可求得ω=2，代入點5π12,2可求得（2）根據(jù)f(A)=3求得A=π3，根據(jù)面積求出c【解答過程】解：（1）據(jù)圖象可得3T4=5π由T=2πω=π由f5π12=2由?π2<φ<∴5π6+φ=∴f(x)=2sin（2）∵f(A)=2sin2A?π∵A∈(0,π2)∴2A?π3=由題意得△ABC的面積為12×2×c×sin由余弦定理得a2=b【變式9-3】（2024·北京·三模）已知函數(shù)f(x)=23sinωx(1)求ω的值；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為f(x)在0,π2上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求a?b的取值范圍.條件①：acosB+bcosA=2ccosC；條件②：【解題思路】利用三角恒等變換整理可得f(x)=2sin以2x+π6為整體，結(jié)合正弦函數(shù)最值可得c=3.若選條件①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得C=π3，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得a?b=23sinA?π3【解答過程】（1）由題意可知：f(x)=23因為函數(shù)f(x)的最小正周期為π，且ω>0，所以ω=2（2）由（1）可知：f(x)=2sin因為x∈0,π2可知當(dāng)2x+π6=π2，即x=若條件①：因為acos由正弦定理可得sinA又因為sinA可得sinC=2sinCcosC可得cosC=12由正弦定理可得asinA=則a?b=2=2=3因為△ABC銳角三角形，則0<A<π20<可得?π6<A?π所以a?b的取值范圍為?3若條件②；因為2asin由正弦定理可得：2sin則2sin因為A∈0,π2可得2sin即sinC=32，且C∈由正弦定理可得asinA=則a?b=2=2=3因為△ABC銳角三角形，則0<A<π20<可得?π6<A?π所以a?b的取值范圍為?3若選③：因為S=3a2整理得tanC=3，且C∈0,由正弦定理可得asinA=則a?b=2=2=3因為△ABC銳角三角形，則0<A<π20<可得?π6<A?π所以a?b的取值范圍為?3一、單選題1．（2024·江西贛州·二模）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=1，a2?1=cc?1，則AA．π3 B．2π3 C．π【解題思路】根據(jù)已知條件得b2+c2?a【解答過程】由a2?1=cc?1有a又因為b=1，上式可化為b2又余弦定理得cosA=b2又因為A∈0,π，所以故選：A.2．（2024·貴州六盤水·三模）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=π3，則A．73 B．213 C．2【解題思路】由余弦定理可得BC的值，再由正弦定理可得△ABC外接圓的半徑．【解答過程】因為AB=2，AC=3，∠A=π3，由余弦定理可得：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理可得：2R=BCsinA故選：B．3．（2024·北京海淀·二模）在△ABC中，AB=4,AC=5,cosC=34，則A．6或32 B．6 C．3+32【解題思路】根據(jù)余弦定理即可求解.【解答過程】由余弦定理可得cosC=故2CB2?15故選：A.4．（2024·寧夏銀川·三模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=4，sinC=14，若△ABC有兩解，則cA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由題意可得asin【解答過程】由題意可得asinC<c<a，即故選：A.5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若B=23π,b=6,aA．934 B．94 C．9【解題思路】利用余弦定理求得ac，進(jìn)而利用三角形的面積公式求得正確答案.【解答過程】由余弦定理得b2=a2+所以三角形ABC的面積為12故選：A.6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在100m高的樓頂A處，測得正西方向地面上B、C兩點B、C與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75°和15°，則B、CA．2002 B．2402 C．1803【解題思路】根據(jù)圖形，利用直角三角形求解即可.【解答過程】由題意，BC=而tan15°所以BC=100×23故選：D.7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)銳角△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且c=2,B=2C，則a+b的取值范圍為（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+22【解題思路】根據(jù)正弦定理，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，化簡后換元，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可.【解答過程】在△ABC中，由B=2C可得A=π由正弦定理asinπ又△ABC為銳角三角形，所以0<A=π?3C<π令t=cosC∈2因為y=4t2+2t?1所以1+2<y<2+3故選：C.8．（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2,∠B=2∠D=120°，記△ABC與△ACD的面積分別為S1,SA．2 B．3 C．1 D．3【解題思路】根據(jù)余弦定理得BC2?AC2=?2BC?4、【解答過程】在△ABC中，由余弦定理得cosB=即?12=在△ACD中，由余弦定理得cosD=即12=4+C又S1所以S2由②?①，得CD2?B得CD?BC=2，代入③得S2故選：B.二、多選題9．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且已知a=2，則（

）A．若A=45°，且△ABC有兩解，則bB．若A=45°，且b=4，則C．若c=3，且△ABC為鈍角三角形，則b的取值范圍是(D．若c=3，且△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是(【解題思路】根據(jù)正弦定理，判斷三角形的解的個數(shù)，即可判斷AB，根據(jù)余弦定理和三邊的關(guān)系，即可判斷CD.【解答過程】A選項：由正弦定理，2sin45°且b>a=2，則2<b<22選項B：bsinA=4×2C選項：①c為最大邊：32>22+②b為最大邊：b2>22+D選項：b2<22+故選；AD.10．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=2，△ABC的面積S=32ABA．A=30°B．△ABC的周長的最大值為6C．若bc=4，則△ABC為正三角形D．若AB邊上的中線長等于233【解題思路】根據(jù)條件對數(shù)量積進(jìn)行表示同時表示面積即可求出角A，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可判斷B，C，利用中線公式結(jié)合余弦定理與三角形面積公式計算即可判斷D．【解答過程】對于A，S=3即可得到tanA=3，又A∈0,對于B，由余弦定理a2利用基本不等式可知bc≤b+c所以b+c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，此時周長最大值為6，故B項正確．對于C，由B項可知當(dāng)bc=4時，b+c=4，則b=c=2=a，故△ABC為正三角形，故C項正確．對于D，設(shè)AB邊上的中線為CD，設(shè)AD=BD=t，在△ACD中，CD在△ABC中，a2聯(lián)立可解得t=b=2則S=1故選：BC.11．（2024·河北邯鄲·三模）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為34a2A．cosAcosB．若D為邊AC的中點，且BD=1，則△ABC的面積的最大值為3C．若△ABC是銳角三角形，則ac的取值范圍是D．若角B的平分線BE與邊AC相交于點E，且BE=3，則a+4c【解題思路】借助面積公式與余弦定理由題意可得B=π【解答過程】由題意知S=12ac由余弦定理知a2+c2?b2對A，cos=3∵A∈0,2π3，∴cosAcos對B，∵D為邊AC的中點，∴2BD則4=a∴ac≤43，當(dāng)且僅當(dāng)∴S對于C，ac∵△ABC是銳角三角形，∴π∴tanC∈3對于D，由題意得S△ABE即12整理得a+c=ac，即1a∴a+4c=(a+4c)1當(dāng)且僅當(dāng)a=2c時，等號成立，故D錯誤．故選：ABC.三、填空題12．（2024·新疆·三模）在△ABC中，3sinA=2sinC，cosB=1【解題思路】根據(jù)正弦定理及余弦定理可得b=c，再由誘導(dǎo)公式及二倍角正弦公式求解.【解答過程】由正弦定理，3sin所以由cosB=a2所以b=c，所以B=C，所以sinA=故答案為：4213．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）海寶塔位于銀川市興慶區(qū)，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內(nèi)有木梯可盤旋登至頂層，極目遠(yuǎn)眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學(xué)（身高173cm）在點A處測得塔頂D的仰角為45°，然后沿點A向塔的正前方走了38m到達(dá)點B處，此時測得塔頂D的仰角為75°，據(jù)此可估計海寶塔的高度約為53.6

【解題思路】如圖，由三角形的外角和可得∠ADB=30°，進(jìn)而求出BD，設(shè)DG=AG=xm，利用勾股定理求出DG，即可求出【解答過程】如圖，設(shè)海寶塔塔底中心為點C，AB與CD交于點G，過點B作BH⊥AD于點H，則∠AGD=90

由題意知，AE=BF=CG=1.73m，∠DAG=45所以∠ADG=90?∠DAG=45°=∠DAG在Rt△ABH中，BH=AB又∠DBG是△ABD的外角，即有∠DBG=∠DAG+∠ADB，所以∠ADB=∠DBG?∠DAG=30在Rt△BDH中，BD=2BH=382m，設(shè)DG=AG=xm，則在Rt△BDG中，由勾股定理得B即(x?38)2+x2=(382所以DG=x≈51.908m，所以CD=DG+CG≈51.908+1.73≈53.6m，即海寶塔的高度為53.6m.故答案為：53.6.14．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=3,AC=2BC,AD=DC,∠ADC=90°，則四邊形ABCD面積的最大值為10【解題思路】設(shè)BC=x(1<x<3),∠ACB=θ，利用余弦定理求出cosθ，進(jìn)而可求出sinθ，再根據(jù)【解答過程】設(shè)BC=x(1<x<3),∠ACB=θ,θ∈(0,π則AC=2x,AD=CD=2而cosθ=則sinθ=所以SABCD令x2?5=4cos則S=5+5sinφ+β≤10當(dāng)且僅當(dāng)cosφ=此時x2=41所以四邊形ABCD面積的最大值為10.故答案為：10.四、解答題15．（2024·云南·模擬預(yù)