文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫全國版試題第5章第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算（考題幫數(shù)學(xué)文）

第一講平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算題組1平面向量的概念及線性運(yùn)算1.[2015陜西,8,5分][文]對(duì)任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b| B.|ab|≤||a||b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(ab)=a2b22.[2014新課標(biāo)全國Ⅰ,6,5分][文]設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=()A.AD B.12AD C.BC 3.[2014浙江,9,5分][文]設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a,b的夾角.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t,|b+ta|的最小值為1.()A.若θ確定,則|a|唯一確定 B.若θ確定,則|b|唯一確定C.若|a|確定,則θ唯一確定D.若|b|確定,則θ唯一確定4.[2015新課標(biāo)全國Ⅰ,2,5分][文]已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量AC=(4,3),則向量BC=()A.(7,4) B.(7,4) C.(1,4) D.(1,4)5.[2015福建,7,5分][文]設(shè)a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實(shí)數(shù)k的值等于()A.32 B.53 C.536.[2014四川,7,5分]平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=()A.2 B.1 C.1 D.27.[2014北京,3,5分][文]已知向量a=(2,4),b=(1,1),則2ab=()A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)8.[2015新課標(biāo)全國Ⅱ,13,5分]設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=.

9.[2017全國卷Ⅲ,13,5分][文]已知向量a=(2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=.

10.[2016全國卷Ⅱ,13,5分][文]已知向量a=(m,4),b=(3,2),且a∥b,則m=.

11.[2015北京,13,5分]在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,則x=;y=.

題組2平面向量的基本定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算12.[2015江蘇,6,5分][文]已知向量a=(2,1),b=(1,2).若ma+nb=(9,8)(m,n∈R),則mn的值為.

13.[2014北京,10,5分]已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),則|λ|=.

14.[2013江蘇,10,5分][文]設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為A組基礎(chǔ)題1.[2018海南省八校聯(lián)考,4]設(shè)D為線段BC的中點(diǎn),且AB+AC=6AE,則()A.AD=2AE B.AD=3AEC.AD=2EA D.AD=3EA2.[2018河北石家莊二中模擬,5]已知點(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且BD=2DC,設(shè)AD=λAB+μAC,則λμ=()A.13 B.13 C.3 3.[2018湖南省永州市一模,3]已知a=(1,1),b=(1,0),c=(1,2),若a與mbc平行,則m=()A.1B.1 C.2 D.34.[2017陜西省六校高三第三次適應(yīng)性訓(xùn)練,13]已知平面向量a=(2,4),b=(1,k),且a∥b,則2a+b=.

5.[2017南昌市三模,14]已知向量a=(m,n),b=(1,2),若|a|=25,a=λb(λ<0),則mn=.

B組提升題6.[2018湘東五校聯(lián)考,10]已知圓心為O,半徑為1的圓上有不同的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,其中OA·OB=0,存在實(shí)數(shù)λ,μ滿足OC+λOA+μOB=0,則實(shí)數(shù)λ,μ的關(guān)系為()A.λ2+μ2=1 B.1λ+1μ=1 C.λμ=1 D.7.[2017長(zhǎng)春市第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè),6]在△ABC中,D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且AD=13AB+12AC,則SA.16 B.13 C.128.[2017太原市三模,6]在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),若AP=23AB+λAC,則|AP|的取值范圍為(A.[2,210+333] B.[2,83]C.[0,2139.[2018廣東七校聯(lián)考,14]設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,4),且a⊥c,b∥c,則|a+b|=.

10.[2018衡水金卷,13]已知在△ABC中,|BC|=|ABCB|,AB=(1,2),若邊AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t,2),則t=.

11.[2017鄭州市第三次質(zhì)量預(yù)測(cè),16]在△ABC中,∠A=π3,O為平面內(nèi)一點(diǎn),且|OA|=|OB|=|OC|,M為劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn),且OM=pOB+qOC,則p+q的取值范圍為答案1.B對(duì)于A選項(xiàng),設(shè)向量a,b的夾角為θ,因?yàn)閨a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,所以A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)楫?dāng)向量a,b反向時(shí),|ab|≥||a||b||,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),由向量的平方等于向量模的平方可知,C選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng),根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可推導(dǎo)出(a+b)·(ab)=a2b2,故D選項(xiàng)正確,綜上可知選B.2.AEB+FC=12(AB+CB)+12(AC+BC)=12(AB+AC)=3.B由于|b+ta|2=b2+2a·bt+a2t2,令f(t)=a2t2+2a·bt+b2,而t是任意實(shí)數(shù),所以可得f(t)的最小值為4a2b2-(2a·b)24a2=4a2b2-4a2b4.A設(shè)C(x,y),因?yàn)锳(0,1),AC=(4,3),所以x=-4,y-1=-3,解得x=-4,y=-2,所以C(4,2),又B(3,2),所以5.A因?yàn)閏=(1+k,2+k),b·c=0,所以1+k+2+k=0,解得k=32,故選A6.D解法一由已知得c=(m+4,2m+2),因?yàn)閏os<c,a>=c·a|c|·|a|,cos<c,b>=c·b|c|·|b|,所以c·a|c|·|a|=c·b|c|·|b|,又由已知得|b|=2|解法二易知c是以ma,b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線向量,因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角,所以該平行四邊形為菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.7.A因?yàn)閍=(2,4),b=(1,1),所以2ab=(2×2(1),2×41)=(5,7),故選A.8.12由于λa+b與a+2b平行,所以存在μ∈R,使得λa+b=μ(a+2b),即(λμ)a+(12μ)b=0,因?yàn)橄蛄縜,b不平行,所以λμ=0,12μ=0,解得λ=μ=19.2因?yàn)閍⊥b,所以a·b=2×3+3m=0,解得m=2.10.6由題意得2m12=0,所以m=6.11.1216由題中條件得MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(ABAC)=12AB112.3由向量a=(2,1),b=(1,2),得ma+nb=(2m+n,m2n)=(9,8),則2m+n=9,m-2n13.5因?yàn)閨a|=1,所以可令a=(cosθ,sinθ),因?yàn)棣薬+b=0,b≠0,所以λ≠0,所以λcosθ+2=0,λsinθ+1=0,即cosθ=-2λ,sinθ14.12DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=16AB+23AC,所以λ1=16A組基礎(chǔ)題1.D由D為線段BC的中點(diǎn),且AB+AC=6AE,得2AD=6AE,所以AD=3AE,即AD=3EA,故選D.2.D如圖D512所示,C是線段BD的中點(diǎn),圖D512則AD=AB+BD=AB+2BC=AB+2(ACAB)=AB+2AC.又AD=λAB+μAC,由平面向量基本定理可知,λ=1,μ=2,所以λμ=3.故選D.3.A∵a=(1,1),b=(1,0),c=(1,2),∴mbc=(m1,2),又∵a與mbc平行,∴1×2=(m1),解得m=1,故選A.4.(3,6)因?yàn)閍=(2,4),b=(1,k),且a∥b,所以2k+4=0,k=2,所以2a+b=(4,8)+(1,2)=(3,6).5.6∵a=(m,n),b=(1,2),∴由|a|=25,a=λb(λ<0),得m2+n2=20①,m<0,n>0,-2m-n=0②,聯(lián)立B組提升題6.A解法一取特殊點(diǎn),取C為優(yōu)弧AB的中點(diǎn),此時(shí)由平面向量基本定理易得λ=μ=22,只有A符合.故選A解法二依題意得|OA|=|OB|=|OC|=1,OC=λOA+μOB,兩邊平方得1=λ2+μ2.故選A.7.B由已知,得點(diǎn)D在△ABC中與AB平行的中位線上,且在靠近BC邊的三等分點(diǎn)處,從而有S△ABD=12S△ABC,S△ACD=13S△ABC,S△BCD=(11213)S△ABC=16S△ABC,所以S8.D解法一因?yàn)锳B=3,AC=2,∠BAC=60°,所以AB·AC=3,又AP=23AB+λAC,所以|AP|2=49AB2+4λ3AB·AC+λ2AC2=4λ2+4λ+4,因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),所以點(diǎn)P在線段DE上,其中D,E分別為AB,BC的三等分點(diǎn),如圖D513所示,所以0≤λ≤13,所以4≤|AP|2圖D513解法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AC所在直線為x軸,建立如圖D514所示的平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B=3,AC=2,∠BAC=60°,所以AB=(32,332),AC=(2,0),又AP=23AB+λAC,所以AP=(2λ+1,3),所以|AP|2=4λ2+4λ+4,因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),所以點(diǎn)P在線段DE上,其中D,E分別為AB,BC的三等分點(diǎn),所以0≤λ≤13,所以4≤|AP|2≤529,所以2≤圖D514解法三如圖D515,點(diǎn)D為線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),DE∥AC交BC于點(diǎn)E,因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),且AP=23AB+λAC,所以點(diǎn)P在線段DE上,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),|AP|最小,最小值為2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí),|AP|最大,因?yàn)锳B=3,AC=2,∠BAC=60°,所以AD=2,DE=23,∠ADE=120°,由余弦定理得AE=2133,所以|AP|的最大值為2133,所以2≤圖D5159.10由a⊥c,得a·c=2x4=0,解得x=2.由b∥c,得2y=4,即y=2,所以a=(2,1),b=(1,2),a+b=(3,1),|a+b|=32+(-10.1依題意,得|BC|=|AC|,故△ABC是以AB為底邊的等腰三角形,故CD⊥AB,所以CD·AB=(3t,1)·(1,2)=3t2=0,解得t=1.11.[1,2]解法一因?yàn)閨OA|=|OB|=|OC|,所以O(shè)為△ABC外接圓的圓心,且∠BOC=2π3.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖D516所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)圓的半徑為1,則B(1,0),C(12,32),設(shè)Msinθ)(0≤θ≤2π3),則OB=(1,0),OC=(12,32),由OM=pOB+qOC,得cosθ=p-q2,sinθ=32q,解得p=cosθ+13sinθ,q=23sinθ,所