高考數(shù)學一輪復習專練61圓錐曲線中的定值問題

六十一圓錐曲線中的定值問題(時間:45分鐘分值:60分)1.(10分)(2024·咸陽模擬)已知點F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,縱坐標為2的點N在C上,以F為圓心、NF為半徑的圓交y軸于D,E,|DE|=23.(1)求拋物線C的方程;(2)過(1,0)作直線l與拋物線C交于A,B,求kNA+kNB的值.【解析】(1)由題知,N點的橫坐標為2p所以|NF|=p2+2p,|OF|=所以|NF|2=|DF|2=|OF|2+|DE|22,所以p22+(所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)由(1)知N(1,2),設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my1,代入y2=4x,整理得y24my+4=0,所以Δ=(4m)24×4>0,即m2>1,所以y1+y2=4m,y1y2=4,所以kNA+kNB=y1-2x1-1+y2-22.(10分)(2024·鄭州模擬)在橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,其所有外切矩形的頂點在一個定圓Γ:x2+y2=a2+b2上,稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓C過P(1,22),(1)求橢圓C的方程;(2)過橢圓C的蒙日圓上一點M,作橢圓的一條切線,與蒙日圓交于另一點N,若kOM,kON存在,證明:kOM·kON為定值.【解析】(1)將P(1,22),Q(62,12)代入到x2a可得1a2+24b2=1所以橢圓C的方程為x22+y2(2)由題意可知,蒙日圓方程為x2+y2=3.若直線MN斜率不存在,則直線MN的方程為x=2或x=2.不妨取x=2,易得M(2,1),N(2,1),kOM=12=22,kON=-1所以kOM·kON=12若直線MN斜率存在,設直線MN的方程為y=kx+t.聯(lián)立y=kx+tx22+y2=1,化簡整理得(2據(jù)題意有Δ=16k2t24(4k2t24k2+2t22)=0,于是有t2=2k2+1.設M(x1,y1)(x1≠0),N(x2,y2)(x2≠0).y=kx+tx2+y2=3化簡整理得(kΔ1=4k2t24(k2+1)(t23)=4(3k2t2+3)=4(3k2+32k21)=4(k2+2)>0,x1+x2=2ktk2+1,x1x則kOM·kON=y1y2x1x2=(kx1+t=k2t2因為t2=2k2+1,所以kOM·kON=2k2+1-3綜上可知,kOM·kON為定值123.(10分)(2024·哈爾濱模擬)已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±34x,焦距為10,(1)求C的方程;(2)設點P是直線l:x=2上的任意一點,直線PA1,PA2分別交雙曲線C于點M,N,A2Q⊥MN,垂足為Q,求證:存在定點R,使得|QR|是定值.【解析】(1)依題意ba=342c=10c2(2)如圖:設Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN:yy0=x0-4y0即MN:y=x0-4y(記k=x0-4y0,m=(x0-4)x0+y02y0)代入9x216所以x1+x2=32km9-16k2,x又因為直線A1M:y=y1x1直線A2N:y=y2x2-4(x4),聯(lián)立得:13=y1x1+4?(16k2+3)x1x2+4(4km+3)(x1+x2)+16(m2+3)=0?(m2+9)(16k2+3)8km(4km+3)+(m2+3)(16k29)=0?24km6m2+16×12k2=0,即32k24kmm2=0?m=8k或m=4k(舍),所以x0-4y0·8=(所以Q點軌跡為以(6,0)為圓心,2為半徑的圓,所以R(6,0),|QR|=2.4.(10分)(2024·寧德模擬)在平面直角坐標系xOy中,圓F1:(x+2)2+y2=4,F2(2,0),P是圓F1上的一個動點,線段PF2的垂直平分線l與直線PF1交于點M.記點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點F2作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點H,求證:|AB|【解析】(1)如圖所示,連接MF2,根據(jù)題意,|MP|=|MF2|,則||MF2||MF1||=||MP||MF1||=|PF1|=2<|F1F2|=4,所以點M的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線,設雙曲線方程為x2a2y2b2其中2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b2=c2a2=41=3,故所求C的方程為x2y23(2)設直線AB的方程為y=k(x2),A(x1,y1),B(x2,y2),y=k(x-2)x2-y23=1,(3k所以x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,則y1+y2=k(x1所以AB中點為Q(2k2k當k=0時,Q(0,0),H(0,0),A(1,0),B(1,0),此時|AB||當k≠0時,則AB的垂直平分線的方程為y6kk2-3=1k(x2k2k2-3),令所以|F2H|=|28k2k又|AB|=1+k2|x1x2|=1+k2·于是得|AB||F綜上可得,|AB||5.(10分)(2023·濰坊模擬)已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,雙曲線C的右頂點A在圓O:x2+y2=3上,且(1)求雙曲線C的方程;(2)動直線l與雙曲線C恰有1個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M,N,設O為坐標原點.求證:△OMN的面積為定值.【解析】(1)不妨設F1(c,0),F2(c,0),因為A(a,0),從而AF1=(ca,0),AF2故由AF1·AF2=a2又因為a2+b2=c2,所以b=1,又因為A(a,0)在圓O:x2+y2=3上,所以a=3,所以雙曲線C的標準方程為x23y2(2)設直線l與x軸交于D點,雙曲線的漸近線方程為y=±33x由于動直線l與雙曲線C恰有1個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M,N,當動直線l的斜率不存在時,l:x=±3,|OD|=3,|MN|=2,S△OMN=12×3×2=3當動直線l的斜率存在時,且斜率k≠±33,不妨設直線l:y=kx+m故由y=kx+m,x23-y2=1消y得(1依題意,13k2≠0且m≠0,Δ=(6mk)24(13k2)(3m23)=0,化簡得3k2=m2+1,故由y=kx+my=同理可求,xN=m3所以|MN|=1+k2|xMxN|=又因為原點O到直線l:kxy+m=0的距離d=|m所以S△OMN=12|MN|d=3又因為3k2=m2+1,所以S△OMN=3m2|1-故△OMN的面積是定值,定值為3.6.(10分)(2024·大慶模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=(1)求橢圓C的方程;(2)已知經(jīng)過定點P(1,1)的直線l與橢圓相交于A,B兩點,且與直線y=34x相交于點Q,如果AQ=λAP,QB=μPB,那么λ+μ是否為定值?若是,請求出具體數(shù)值;若不是,請說明理由【解析】(1)由題意得b=3ca=12a2=b2+c2(2)當直線l的斜率不存在時,A(1,32B(1,32),Q(1,34),則AQ=(0,94),AP=(0,12),QB=(0,34),PB此時AQ=92AP,QB=310PB,λ+