高考大題研究課九

高考大題研究課九圓錐曲線中的最值、范圍問題會(huì)用直線與圓錐曲線、函數(shù)、不等式的有關(guān)知識(shí)解決最值、范圍問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一最值問題例1[2024·河北秦皇島模擬]已知雙曲線x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是P，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是Q，(1)求雙曲線的方程；(2)若直線y＝kx＋1k(0<k<1)與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積最小值題后師說圓錐曲線中最值的求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決．(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等．鞏固訓(xùn)練1[2024·江西上饒模擬]已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的離心率e＝12，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)F(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F1分別作兩條互相垂直的直線l1，l2，且l1與橢圓交于不同兩點(diǎn)A，B，l2與直線x＝c交于點(diǎn)P，若AF1＝λF1B，且點(diǎn)Q滿足QA＝λQB，求|PQ題型二范圍問題例2[2024·河北滄州模擬]已知P為圓M：(x＋2)2＋y2＝16上任一點(diǎn)，N(2，0)，MQ＝λMP，λ∈(0，1)，且滿足(QP+QN)·PN(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；(2)直線l：y＝kx＋1與軌跡Γ相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，過AB的中點(diǎn)且斜率為－1k的直線與x軸交于點(diǎn)E，記μ＝ABDE，若k∈[12，2]，求題后師說解圓錐曲線中范圍問題的策略鞏固訓(xùn)練2[2024·吉林長(zhǎng)春模擬]已知拋物線x2＝2py(p>0)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(4，m)在拋物線上，|AF|＝5.(1)求拋物線方程；(2)過焦點(diǎn)F直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若MN最小值為4，且∠MAN是鈍角，求直線斜率范圍．高考大題研究課九圓錐曲線中的最值、范圍問題關(guān)鍵能力·題型剖析例1解析：設(shè)點(diǎn)P(a，0)，點(diǎn)Q(0，b)，則直線PQ的方程為xa+y與漸近線y＝bax聯(lián)立，得xa即直線PQ與雙曲線的一條漸近線交點(diǎn)為(a2，又直線PQ與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為(12，所以a2=12，b2=12，即a＝b解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1k代入x2－y2＝1得(1－k2)x2－2x－1k2－1＝則Δ＝4＋4(1－k2)(1k2＋1)＝41-k4+k2k2>0，x1＋x2|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2＝21+k211-點(diǎn)O到直線y＝kx＋1k的距離d＝1kk2+1S＝12|AB|d＝12×21+k2k2+1-令t＝k2－k4，所以S＝1+tt2＝1t2+1t，令s＝因?yàn)?<k<1，所以0<k2<1，由t＝－(k2－12)2＋14，得0<t≤14，由s＝1t，得s≥4，由S＝s2+s＝s+1即當(dāng)s＝4，t＝14，k2＝12，k＝22時(shí)此時(shí)滿足Δ>0，所以△OAB面積的最小值為25.鞏固訓(xùn)練1解析：由題意，2b2a=3，ca=12，a2-b解析：由(1)得F1(－1，0)，若直線l1的斜率為0，則l2為x＝－1與直線x＝1無交點(diǎn)，不滿足條件．設(shè)直線l1：x＝my－1，若m＝0，則λ＝1則不滿足QA＝λQB，所以m≠0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，由3x2+4y2=12，x=my-1，得：(3m2＋4)y2－6my－9＝0，y1＋y2＝因?yàn)锳F1即-1-x1，-y1=λx2+1，y2,x1-x0，所以λ＝－y1y2＝y(tǒng)1-y0y2-y0，解得y0＝2y1y2y1+直線l2：x＝－1my－1，聯(lián)立x=-1my-1，x=1，解得P(∴|PQ|＝52+-3m+2m2≥5，當(dāng)且僅當(dāng)m＝∴|PQ|的最小值為5.例2解析：如圖，由(QP+QN)·PN＝0，可得|QN|＝|QP因?yàn)閨MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，所以|NQ|＋|QM|＝4，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為x24解析：直線l的方程為y＝kx＋1(12≤k≤2)，聯(lián)立x24+得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，Δ＝(4k)2－4×(－2)×(2k2＋1)＝32k2＋8>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－4k2k2+1，x1x又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝22k2+1，可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(所以線段AB垂直平分線的方程為y－12k2+1＝－1k(令y＝0，可得E(－k2k2+1對(duì)于直線y＝kx＋1，令y＝0，可得D(－1k，0)所以|DE|＝|－k2k2+1－(－1k又|AB|＝1+＝1+k2-所以μ＝ABDE＝2k8k2令t＝k2＋1∈54，5，則y＝8(k2＋1)＋6k2+1－14＝8y′＝8－6t2，當(dāng)t∈54，5時(shí)，y′>0，所以y＝8t＋6t所以y∈45，1365，則μ鞏固訓(xùn)練2解析：由題意可得：2pm=16解得m=4p=2或故拋物線方程為x2＝4y或x2＝16y.解析：拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F(0，p2)，設(shè)l：y＝kx＋p2，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立方程y=kx+p2，x2=2py，消去y得x2－2則Δ＝4p2k2＋4p2＝4p2(k2＋1)>0，x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，可得|MN|＝1+k24p2k2+4p2＝2p(1＋k2)≥此時(shí)p＝2，則x2＝4y，l：y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(4，4)，F(xiàn)(0，1)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，若直線l：y＝kx＋1過點(diǎn)A(4，4)，則4＝4k＋1，解得k＝34若∠MAN是鈍角，則AM·AN<0，且A，M，N三點(diǎn)不共線，∵AM＝(x1－4，y1－4)，AN＝(x2－4，y2－4)，則AM·AN＝(x1－4)(x2－4)＋(y1－4)(y2－4)＝(