2019高三數(shù)學(xué)理北師大版一輪教師用書第7章第2節(jié)　空間圖形的基本關(guān)系與公理

第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理[考綱](教師用書獨(dú)具)1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第108頁(yè))[基礎(chǔ)知識(shí)填充]1．空間圖形的公理(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(2)公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線．(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推理3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．(5)等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．2．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線aα3.異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[知識(shí)拓展]1．唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．2．異面直線的判定定理經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線．[基本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線．()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．()(4)若直線a不平行于平面α，且aeq\o(?,/)α，則α內(nèi)的所有直線與a異面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)如圖7-2-1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()圖7-2-1A．30°B．45°C．60°D．90°C[連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線A[A不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過(guò)推理論證；B，C，D是平面的基本性質(zhì)公理．]4．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，aeq\o(?,/)α，aeq\o(?,/)β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面D[依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．]5．(2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由題意知aα，bβ，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而α，β有公共點(diǎn)，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A．](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第109頁(yè))平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用如圖7-2-2，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：圖7-2-2(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[證明](1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[規(guī)律方法]1.證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法1直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面.2納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).3輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.2.證明點(diǎn)共線問(wèn)題的常用方法1基本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.2納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.3.證明三線共點(diǎn)問(wèn)題常用的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上.[跟蹤訓(xùn)練]如圖7-2-3，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.圖7-2-3(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四面共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．[證明](1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．]空間兩直線的位置關(guān)系(1)(2018·東北三省三校二聯(lián))α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)．若meq\o(?,/)α，nα，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140224】A．垂直 B．相交C．異面 D．平行(2)(2017·河北邯鄲調(diào)研)如圖7-2-4，在三棱錐S-ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是()圖7-2-4A．相交B．平行C．異面D．以上都有可能(1)D(2)B[(1)由于A∈m，A∈α，meq\o(?,/)α，則有m與α相交，而nα，那么m，n的位置關(guān)系只可能是相交(包括垂直)或異面，不可能平行，故選D.(2)連接SG1并延長(zhǎng)交AB于M，連接SG2并延長(zhǎng)交AC于N，連接MN(圖略)．由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝eq\f(2,3)SN，∴在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，因此可得G1C2∥BC，即直線G1G2與BC的位置關(guān)系是平行．故選B.][規(guī)律方法][跟蹤訓(xùn)練]如圖7-2-5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：圖7-2-5①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論的序號(hào)為________．③④[直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯(cuò)誤．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．]異面直線所成的角(1)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(3),3)(2)(2018·南京、欽州第二次適應(yīng)性考試)已知底面是邊長(zhǎng)為2的正方形的四棱錐P-ABCD中，四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都為4，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AD與CE所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)(1)C(2)A[(1)法一：將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如圖(1)所示，連接AD1，B1D1，BD.(1)由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝eq\r(3)，所以B1D1＝eq\r(3).又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ，所以cosθ＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋AD\o\al(2,1)－B1D\o\al(2,1),2×AB1×AD1)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).故選C．法二：以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示．(2)由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，eq\r(3)，1)，則eq\o(BC1,\\s\up7(→))＝(1,0，－1)，eq\o(AB1,\\s\up7(→))(1，－eq\r(3)，－1)．所以cos〈eq\o(AB1,\\s\up7(→))，eq\o(BC1,\\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up7(→))·\o(BC1,\s\up7(→)),|\o(AB1,\s\up7(→))|·|\o(BC1,\s\up7(→))|)＝eq\f(2,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為eq\f(\r(10),5).故選C．(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD∥BC，則異面直線AD和CE所成角為BC和CE所成角，即∠BCE.在△PBC中，PB＝PC＝4，BC＝2，所以由余弦定理得cos∠PBC＝eq\f(PB2＋BC2－PC2,2PB·BC)＝eq\f(1,4)，則在△BCE中，CE2＝BE2＋BC2－2BE·BCcos∠PBC＝4＋4－8cos∠PBC＝6，故cos∠BCE＝eq\f(CE2＋BC2－BE2,2BC·CE)＝eq\f(6＋4－4,4\r(6))＝eq\f(\r(6),4)，故選A．][規(guī)律方法]求異面直線所成角的兩種方法1平移法①作：通過(guò)作平行線得到相交直線.②證：證明所作角為異面直線所成的角或其補(bǔ)角.③求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它