四邊形二（江蘇專用）初中數(shù)學

第二步大題得高分

考點26四邊形(2)

真題回顧

1.(2020?山東日照市?中考真題)如圖，中，ZC=90°,以4ff為邊在45上

方作正方形ZE應，過點〃作〃匠L宙交⑦的延長線于點E連接版

(1)求證：XAB微l\BDF;

(2)P,〃分別為47,班?上的動點，連接4MPN,若。戶=5,AC=9,求4M的最

小值.

【答案】(1)見解析；(2)14

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=AB,ZDBA=90°,進而得出/DBF=NCAB,因為

ZC=ZDFB=90°.根據(jù)AAS即可證得結論；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根

據(jù)垂線段最短，作DPi_LAC,交BE于點Ni,垂足為Pi，則AN+PN的最小值等于DPi=FC=14.

【詳解】

(1)證明：；Rt△力以7中，NC=90°,DFLCB,

1

:./C=/DFB=9G.

,二四邊形/夕"是正方形，

:?BD=AB,NDBA=90°,

,：ZDBF+ZABC=90°,ZCAB-}-ZABC=90°,

:?/DBF=4CAB,

:?△ABSXBDF(44S)；

(2)解：、：△ABC^XBDF、

***DF=BC=5,BF—AC=9,

：?FC=BF+BC=9+5=14.

如圖，連接"V,

:砥是正方形頂點/與頂點〃的對稱軸，

：.AN=DN.

如使得“陰■&V最小，只需久N、?在一條直線上,

由于點P、7V分別是ZC和6￡上的動點，

作。A_L/C,交BE干點、Ni，垂足為A，

所以，4V+/W的最小值等于。尸i=R；=14.

【點睛】

2

本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，熟練掌握正方

形的性質(zhì)是解題關鍵.

2.(2020?遼寧朝陽市?中考真題)如圖，在R/OABC中，ZBAC=9(f,AB=AC,M

是ZC邊上的一點，連接8",作于點尸，過點。作2c的垂線交4P的延長線于

點E.

(1)如圖1,求證：AM=CEt

(2)如圖2,以為鄰邊作DAA/BG,連接必交8c于點從連接4V,求丁的

AN

值；

(3)如圖3,若“是47的中點，以為鄰邊作DAGMB,連接GE交回于點M,

NCGE

連接⑷V,經(jīng)探窕發(fā)現(xiàn)壬=g1,請直接寫出匕的值.

BC8AN

【答案】(1)見解析；(2)—=2；(3)益二

AN5

【分析】

(1)通過證與4CAE全等可以證得AM=CE；

(2)過點E作EF1CE交BC于F,通過證明△ABG與4ACE全等，證得AG=AE,通過

△GBNHEFN證得GN=EN,最后由直角三角形的性質(zhì)證得結論；

3

(3)延長GM交BC丁點F,連接AF,在RraAFC中，由勾股定理求出AN的長,在RfAAEG

中，求出EG的長即可得到答案.

(1)證明

AP±BM,ZAPB=90°

：.ZABP+ZBAP=9(f

vZBAP+ZC4E=90°

4CAE=4ABP

CE±AC,ZBAM=ZACE=90°

vAB=AC,：aABM^JCAE(ASA)

：.CE=AM

上。

EE

圖1圖2

(2)過點￡作色的垂線交5c于點F

"EC=90°

vAB^AC,ABAC=90°

4

,-.ZACB=ZABC=45°

ZACE=90°,NFCE=45°

:.NCFE=NFCE=4S

:.CE=EF,4EFN=13S

：.四邊形AMBG是平行四邊形

AM=BG,ZABG=NBAC=90’

ZGBN=ZABG+ZABC=135°

/.ZGBN=ZEFN

由(1)得口ABMgDCAE

AM=CE,;.BG=CE=EF

?/NBNG=ZFNE

：GGBN^]EFN(AAS)

：.GN=EN

-AG//BM

NGAE=ZBPE=90",.'.AN=、GE.

2

.卒=2.

AN

(3)如圖，延長GM交BC于F,連接AF

5

A

圖3

在口ABMG中，AB//GM,AABM^AMGA.

ZAMG=ABAC=90°,

NGMC=NACE=90°,

GF/ICE,

AM=MC,

BF=CF,

?/AB=AC,

：.AF1BC,AF=-BC,

CN1

-=

Bc8-,設CN=x,則BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

.?.在RfAAFN中，AN=VAF2+FN2=5X，

在Rf/XABM中，AB=—BC=—x8x=，AM=」A8=2缶,

222

BM=弋AB?+AM?

：.AG=BM=2MX，

由（1）知LMBW石。石，

6

???ACAE^/XMGA

AE=AG,

在R?AAEG中，EG=y/AE2+AG2=GAG=QX2而X=4&-

.GE4&4石

-------------.

,'AN5X5

【點評】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理等知識，解題的關鍵是正確作出輔助線，尋找全等三角形解決問題，屬于壓軸題.

模擬預測

3.(2021?溫州外國語學校九年級其他模擬)已知拋物線/:，=-/+陵經(jīng)過點(4,0),點

A,點〃均在拋物線上，且A8//X軸.

(1)求b的值和拋物線的頂點坐標.

(2)在第一象限內(nèi)作一個矩形A8CD,點C,。落在x軸上.將拋物線/平移，使拋物線

頂點落在矩形ABCO內(nèi)部(包括頂點)，新拋物線與y軸交點為(。?,若43=2,請求出

c的取值范圍.

【答案】(1)6=4,(2,4)；(2)-9<c<2

【分析】

7

(1)把點(4,0)代入尸-*+灰，利用待定系數(shù)法即可求得解析式，然后把解析式化成

頂點式即可求得頂點坐標；

(2)根據(jù)題意求得/、8的坐標，即可求得〃的坐標，根據(jù)4〃的坐標即可求得拋物線

的解析式，令*=0,與夕軸的交點，求得c的值，根據(jù)圖象即可求得符合題意的c的取值.

【詳解】

解：(1)?.?拋物線/：片-*+6*經(jīng)過點(4,0),

.,.-16+46=0,

b=4,

：.拋物線/為：尸-*+4x,

'：y=~x2+4x=~(x~2)2+4,

，頂點坐標為(2,4)；

(2)設48點的橫坐標為x/,xz,

?.?對稱軸x=2,

.?.xi+為=4,

":AB=2,

??X\2,

fx.+=4fx.=3

由《一寸解得?,

(再-x2=2=1

把x=l代入尸一N+4x得尸3,

：.A(3,3),B(1,3),

：.D(3,0),

當拋物線頂點移到點笈時，則片一(x-l)2+3,

8

令A=0,則尸2,

c=2,

當拋物線頂點移到點。時，則片-(x-3)2,

令戶0,則片-9,

：.c=-9,

...-9WW2.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩

形的性質(zhì)，求得/、5的坐標是解題的關鍵.

4.(2021?江蘇南通市?九年級其他模擬)如圖，在矩形4反。中，AB=2BC,F、G分別

為AB、〃。邊上的動點，連接GF,沿仍將四邊形4也?翻折至四邊形EFGP,點E落在BC

上，EP交Q于點H,連接力￡交GF于點O.

(1)寫出斯與之間的位置關系是;______,

(2)求證：AE=2GF

3

(3)連接6P,若sin/a/=『，求密的長.

【答案】(1)AELGF,(2)證明見解析，(3)1.

9

【分析】

(1)由折疊性質(zhì)得，AAOF=AEOF,進而得4?J_GK

(2)過G作了用，證明△力即可求解；

(3)過。作PKLS于點&得/功汨=/0氏三NCGP,借助已知函數(shù)值，得出砥與5尸

的關系，在RtAABE中,由勾股定理列出方程求得各邊長度，再根據(jù)(2)得出力62廂，

進而求得5E和8c的長即可.

【詳解】

解:(1)由折疊性質(zhì)可知，AAOF=ZEOF,

VZAOF+ZEOF=1QO°,

:.NAOF=/EOF=90°,

：.AELGFx

(2)如圖1,過點G作G"_L/8于點用，則四邊形為矩形，

：.AD=GM,NMFG+NMGF=90.

由（1）得GF±AE,

〈NMFG+/E4O=90°,

:.ZBAE=/MGF.

:.NB=NFMG=90".

10

:.XABE?t\GMF,

.AE_AB_AB

~GF~~GM~~AD

：.AE=2GF,

(3)如圖2,過點尸作尸《1仇7,交8c的延長線于點《由折疊的性質(zhì)可知

NFEP=NFAD=/D=NEPG=90",

NCGP+NG〃P=90°.

ZPEC+ZEHC=9Q°且ZGHP=ZEHC,

：.NPEC=4CGP.

'：ZBEF+ZBFE=ZBEF+ZPEC三90°,

ZBFE=ZPEC=ZCGP.

3

?/sinZCGP=-

5

RF3

sinNBFE=——=-

EF5

設BE=3x,則EF=AF=Sx,

.BF=dEF?-BE?=4x

：.AB=9x.

11

'：AE=2GF,GF=?，

：.AE=2y[\^,

在Rt/XABE中,由勾股定理得AB^+SP=AE2,g|J81^+9^=40,

22

解得x=彳或x=-二(舍去)

33

?*.AB=9x=6fBE=3x=2,

YAB=2BC,

：.BC=3,

:.EC=BC-BE=3?2=\；

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，難度較

大，關鍵在于構造直角三角形充分利用相似三角形和解宜角三角形的知識以及勾股定理、方

程思想解決問題.

5.(2021?湖北武漢市?九年級其他模擬)如圖，P是正方形ABCD邊BC上一個動點,線

段4E與4D關于直線4P對稱，連接班并延長交直線4P于點E連接成

圖(1)圖(2)圖⑶

(1)如圖(1),ZBAP=20°,直接寫出N4陽的大小;

(2)如圖(2),求證：BE=五CF；

12

(3)如圖(3),連接出G是磔1的中點，AB=1,若點尸從點8運動到點C,直接寫出

點G的運動路徑長.

兀

【答案】(1)45°,(2)證明見解析，(3)

4

【分析】

(1)連接。尸，作ANVEF,垂足分別為“、N,證四邊形//WW是正方形即可；

(2)連接/C,作4V_L七五，垂足為M證444尸s△胡"，列比例式即可；

(3)連接ZC,取Z61中點。，連接。G,根據(jù)中位線性質(zhì)確定G點運動軌跡，再根據(jù)弧長公

式計算即可.

【詳解】

解：(1)連接〃區(qū)作ANLEF,垂足分別為用、N,

???線段AE與力。關于直線力P對稱，

：.ADFA=AEFA,

：.AM=AN,

"：AD=AB,

：.RtLAM哈RtAANB,

：.NMAD=NNAB,

■:/MAD+NMAB=90°,

：,NNAB+/MAB=NMAN=90°,

四邊形ZMW是正方形，

.*.//郎=45°；

13

(2)連接力C,作力垂足為M

一ACAFr-

由(1)可知，——=——=，2,/CAB=/W5°,

ABAN

:./CAF=4BAN,

:.XCAFsXBAN、

三="=應，

BNAN

：.BN=—FC,

2

?:AB=AE,

:?BE=2BN,

:?BE=6FG

14

(3)連接力C,取/C中點。連接。G

?"是砥的中點，

11

??.0G=—AE=—，

22

...點G在以。為圓心，；為半徑的圓上，

當點夕與C重合時，G與6c中點重合，當點。與5重合時，G與84中點重合,

點G運動的路徑是以千為半徑，圓心角為90°的弧長，

訓，久iz-I90兀x—

路彳仝長為：2-

180-4

【點睛】

15

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)，解

題關鍵是恰當?shù)淖鬏o助線，構造全等三角形和相似三角形,通過線段相等或成比例解決問題.

6.(2021?浙江溫州市?九年級其他模擬)如圖，口。是矩形ABC。的外接圓，NA3C的

平分線分別交AC,口O,CO的延長線于點E,￡G,過點尸作口。的切線產(chǎn)”，交CG于

點H.

(1)證明：FH//AC.

(2)若tanNB4c=3,OE=2,求產(chǎn)”的長.

Q

【答案】(1)證明見解析；(2)

【分析】

(1)連結。尸，首先根據(jù)切線的性質(zhì)得出NOEH=90。，然后利用矩形的性質(zhì)，角平分線

的定義及圓周角定理得出NCO尸=90°,進而通過同旁內(nèi)角互補兩直線平行即可證明；

(2)作”/_LAC于點/,作ELJ.AB于點L,則有=O/,然后設EL=8A=3。，

則AL=a,通過勾股定理求出AE,AB的長度，然后通過平行線分線段成比例得出

AIAP

—=—,進而求出a的值，則答案可解.

ABAC

【詳解】

解：(1)連結。尸，如圖，

16

D

是切線，

ZOFH=90。.

在矩形ABC。中，NA8C=90。，

???8G平分NA5C,

：.ZCBG=-ZABC=45°,

2

ZC(9F=2ZCBG=90°,

.-.ZCOF+ZOFH=180°,

HF//AC.

(2)如圖，作H/J.AC于點/,作反_LAB于點Z,則四邊形尸。出是矩形,

小

???HF=O1.

17

tanABAC=—=3,ZABG=45°,

AL

設EL=BL=3a,AL=a.

AE-yflOci,AB-Ail>

BCHLE,

.AL_AE

-AC'

a_VlOa

"4a-AC

AC=4y/10a,AO=2715a.

：.OE=y/10a=2,。=半，OC=OF=HI=2回a=4,

14

：.IC=-H1=-.

33

48

..FH=OI=OC-IC=4——=-.

33

【點睛】

本題主要考查圓的綜合，掌握平行線的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例是關

鍵.

7.（2021?杭州育才中學九年級二模）如圖，點。為正方形Z8CO的中心.DE=AG,連結

EG,過點。作OF±EG交Z〃于點F.

18

(1)連結卻，△瓦加的周長與Z〃的長有怎樣的數(shù)量關系，并證明；

(2)連結0E,求NECK的度數(shù)；

(3)若ZKCE=m,OF：OE=n,求證：m=ri2-.

【答案】(1)4EDF的周長與AD的長相等，證明見解析；(2)45°：(3)證明見解析.

【分析】

(1)連結OD、OG、CA,則CA必過點0且可得OE=OG,從而得到OF垂直平分EG,所以

FE=FG,最終可得4EDF的周長等于AD的長；

(2)由(1)可得NEOG=/EOD+NDOG=/AOG+DOG=90°,所以可得NEOF=45°；

qAFq(c2

(3)先判斷出△AOFs^CEO,再由=乙叱?=上二可以得到解答.

SCEOCESCEO\OE)

【詳解】

解：(1)4EDF的周長與AD的長相等，理由如下：

如圖，連結OD、OG、CA,則CA必過點0,

19

??,點0為正方形ABCD的中心，

.\OD=OA,ZOAG=ZODE,

又DE=AG,

AAOED^AOGA,

.'.OE=OG,

VOF±EG,

???0F是EG的垂直平分線，

/.FE=FG,

.\AEDF的周長=DF+EF+ED=DF+FG+AG=AD；

(2)VOD1OA,

AZDOA=90°,

由(1)可得△OEDgZXOGA,

AZEOD=ZGOA,

AZEOG=ZEOD+ZDOG=ZAOG+DOG=90°,

???△OEG為等腰三角形，OF±EG,

20

???/EOF」/EOG=45。；

2

(3)VZE0F=45°,

AZCOE4-AOF=135°

VZOAF=45°,

???NAFO+NAOF=135°,

.\ZCOE=ZAFO,

???AAOF^ACEO,

???O到AF與CE的距離相等，

S/KAOF：SACEO=AF：CE=m,

?\m=n2.

【點睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，相似三角

形和全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關鍵是角度的計算.

8.（2021?廣西南寧市?三美學校九年級一模）在矩形Z8CO中，AB=12,P是邊4ff上

一點，把兩7沿直線27折疊，頂點5的對應點是點G,過點8作的LCG垂足為￡且

在40上，BE交PC千氤F.

21

(1)如圖1,若點E是力〃的中點，求ZA的長；

(2)如圖2,①求證：BP=BF；

②若4g25,且AE>DE,求sinNP，方的值；

③當明班=108時，求在的值.

【答案】(1)24；(2)①見解析；②《：③9

【分析】

(1)先判斷出/力=/。=90°,力四。C再判斷出力可證明△力￡旌得到

BE=CE,從而判定是等腰直角三角形，得到/月旗=//5￡三45°,貝U可得力氏力以

即可得到AD-.

(2)①利用折疊的性質(zhì)，得出NPGG=NP反三90°,NBPC=NGPC,進而判斷出

/G2三/。陽即可得出結論；②判斷出△力5Ks△〃員;得出比例式建立方程求解即可得出

>4^=16,DE=9,再判斷出△"■△GCP,進而求出5尸和尸C,即可得出結論；③判斷出

△GEFsMEAB,得出BE,E抬AB?GF,即可得出結論.

【詳解】

解：(1)在矩形力比。中，ZA=ZD=90a,AB=DC,

???￡是中點，

：.AE=DE,

在△力￡5和中，

AB=DC

"NA=NO=90。，

AE=DE

:*△AEB^XDEC(S4S),

：.BE=CE,

22

,:BELCG,即N8EG=90°,

是等腰直角三角形，/EBC=ZECB=4S：

■:ADHBC,

:?/AEB=/CED=/ABE=45°,

：.AE=AB=12,

：.AD=24；

(2)①在矩形力比0,NABC=90°,

,:/\BPC沿27折疊得到△G27,

:?/PGC=/PBC=9G,NBPC=/GPC,

,/BELCG,

:?BE〃PG,

:?/GPF=/PFB,

:?/BPF=/BFP,

：.BP=BF\

②當為P=25時，

■:ZBEC=93,

:?NAEB+/CED=90°,

u：ZAEB+ZABE=90°,

：?4CED=/ABE,

???N/=NP=9(T,

:,XABEs叢DEC,

23

.AB_DE

??第一五’

設AE=x,

DE=25-x,

.1225-x

..—=---------，

x12

或416,

■:AE>DE,

???力6=16,DE=9,

???CE=y/cD2+DE2=15,BE=^AB2+AE2=20,

由折疊得，BP=PG,

：.BP=BF=PG,

'：BE//PG,

:.△ECFSXGCP,

.EFCE

"7G-CG'

設BP=BF=PG=y,

20—y_15

2525

解得：y=—y經(jīng)檢驗：尸是原方程的解，

22

24

在”中,心祈正孝

25

PB^2J5

：.s加NPCB=—=―+=—；

PC2565

2

③如圖，連接網(wǎng)；,

":BE"PG,

:"GPF=/PFB,

：.4BPF=/BFP,

:.BP=BF；

'/BP=PG,

?"BPG尸是菱形,

???BP//GF,

：.4GFE=/ABE,

:.XGEFSMEAB、

EFAB

/.---=----,

GFBE

:?BE*EF=AB*GF,

■:BE/EHG8,力612,

:?GF=9,

25

:.BP=GF=9.

【點睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想解決問題是解本題的關鍵.

9.（2021?九龍坡區(qū)?重慶市育才中學）如圖，拋物線尸萩+Zw+c（aWO）與x軸交于

點4夕（點Z在點3的左邊），與y軸交于點C,點2、C的坐標分別為（-3,0）、（0,

2）,對稱軸為直線k-2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點〃與點C關于拋物線的對稱軸對稱，連接ZC,過點〃作以“47交拋物線

于點E,交y軸于點點尸是直線47下方拋物線上的一動點，連接打交2C于點G,連

接EG,求△廝G的面積的最大值以及取得最大值時點尸的坐標；

（3）在（2）的條件下，點尸為平面內(nèi)一點，在拋物線上是否存在一點Q,是以點P、Q、

尺。為頂點的四邊形為矩形，如果存在，直接寫出點尸的坐標，如果不存在，說明理由.

7Q1531Q96I

【答案】（1）y=~rx2+2；（2）見石陽最大為7,8一彳，一不）；（3）穴—7，—）

?19157

文——，一）.

1050

【分析】

（1）將ac的坐標代入函數(shù)式，再結合對稱軸公式利用待定系數(shù)法求解即可；

26

(2)根據(jù)待定系數(shù)法求出直線力C、直線。E的表達式，再根據(jù)三角形面積之間的關系表示

出△￡7子■的面積，從而得到當△。石尸的面積最大時△￡7心的面積最大，求出△，石戶面積的最

大值進行計算即可；

28

(3)設-m2+-m+2),RXP,y?,分三種情況：①以6為對角線，②以&為

對角線，③以。為對角線，分別計算可得問題的答案.

【詳解】

解：(1)將“、C的坐標(-3,0)、(0,2)代入函數(shù)式且對稱軸為尸一2,

9a-3h+c-0

c=2

2

a--

3

Q

解得：＜。,

c=2

9Q

，拋物線的解析式為：y=jx2+|x+2；

2

(2)由點4C的坐標(-3,0)、(0,2)可知，直線力。為：y=-x+2f

9：DE//AC,

?'?koE-kAC，

._2

kpE=—,

???〃與C關于片=-2對稱，

，久一4,2),

27

214

.二直線〃￡為：y=-x-i---,

33

214

y=—xd--

33X=1

聯(lián)立：〈。Q，解得：,x=—4舍去，

x=-42

y——xH—x+22

33

.?.￡的橫坐標為1,

代入可得，y=：+2+2=學，

333

16

...醺1,y),

連接DC,作在"J_x軸，交DE千K,

'：DE//AC,

SixDEG-S^DEC,

21414

將尸。代入y=尸+丁得：y=—<

333

14

了），

.20

??SaDEC—5kDCM+5AECM=>

._20

??SCDEG-，

28

..20

?SAEFG=SdDEF-S&DEG=SQDEF--7?

3

/.當△。牙1的面積最大時，△￡/石1的面積最大,

以、，228c214

設廠為(&—t+-t+2),K(t,—t+-)-

1528、5,2、2125

=2

SQDEF=S/sDFK+Sf,EFKy(XLX")(yK-yr)=-|--t+

333J丁+PF'

3125

二當尸=-一時，三角形。E廠面積最大，最大為一丁，此時△￡?右面積的最大值為:

212

1252015

1234

3115

，當尺一不，一77）時，8￡?跖最大為二

224

（3）假設存在,

31

2）,用一5，且以尸、。、F、C為頂點的四邊形為矩形,

283

???設?)，—m2+—zn+2),P(xp,yp),則加#0,——,

.…:峪=上。,直線QC：kOQ

m2+m+2—2

3328,

0-(-j)3%-m+—

33

28c1

—m2+一相+2+—)q

直線QF-.kQF=3----J——2=w加+：,

m+-33

2

Xc+XF=Xp+XQ

①矩形以CF為對角線，貝|J：,%+%=為+為，

QC1QF

:.kQc*kQ產(chǎn)一\,

29

3

——=Xp+m

,cl28c

??<2—=yH2—m+—"t+2,

2，p33

(18、(25、,

—m+—x-m-^—=-1

ll33j(33)

.'.4/n24-26/77+49=0,

vA=262-4X4X49=-108<0-

...無解，此時不存在；

%+X。=Xp+XF

②以C。為對角線，則：,九+%=外+力，

CFA.QF

?**kcF*kQF=1>

，3

m=xp

228/

33勺2

5f25、

—x—m+—=--1

3U3)

17

.?%i=-----，

5

■19

Xn------

xc+xp-xQ+xF

③以C尸為對角線，貝I：

CF1QC

30

.**kcF*kQc=1,

3

xp=m——

28cl

2+%—m2+—m+2——,

332

528、

—X—m+—=—1

333>

49

/.m=----

10

32

Xp

5

61

?二石

.J—%

525J

點尸坐標為,(卜歷19，丸157|、3261)

綜上,或

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，矩形的判定等知識，熟練掌握函數(shù)圖象上點的坐標特征和

二次函數(shù)的性質(zhì)，理解坐標與圖形的性質(zhì)，會解一元二次方程，會運用分類討論的思想解決

問題是解題的關鍵.

10.(2021?江蘇南通市?九年級其他模擬)如圖，在矩形4成。中，AB=2,BC=2yf3>

點E在射線以上，在RtAEFG中,NEF0Q°,Z.FEG=30°,EG=4,斜邊EG始終經(jīng)

過點5,連接密

(1)如圖1,若點E與點力重合，請找出圖中除矩形以外的平行四邊形，并加以證

明；

(2)如圖2,若點尸在線段回上，求班1的長；

31

(3)如圖3,連接出若點尸在線段慮上，求。E的長.請寫出求解的思路(可以不得

出寸算結果).

【答案】(1)四邊形CO6G是平行四邊形，證明見解析；(2)BE=T2-46；(3)見解

析

【分析】

(1)證明求得點C、F、G三點共線，因為CD〃BG,鳧CD=BG,即可證

明四邊形5GC。是平行四邊形；

(2)證明△EWs△向vp,得到々=」求出PF,根據(jù)aG班s/iGEP,得到＜=—

EFFMGPGE

即可算出BE長;

12

(3)先求N4出=30°；證明明，得出8。=0乂而；CP=i,'；證明

y/a+4

12

CPBC2百

△BPCSRDPE,得出——=—,列出方程得出方程

EPDE丁

即可求出的長.

【詳解】

32

(1)四邊形以是平行四邊形

如圖1,連接/C

證明：在收△力以7中，tanZCAB=^>

：.ZCAB^60°

：.4GAF=/CAF

"：AG=AC=4,ZGAF=ZCAf,AF=AF,

：.l\AGF^XACF、

：.ZAfC=ZAFG=90°,

：.AAFC+AAFG=1^,

...點C、F、G三點共線

VCD//BG,且Q=8G,

四邊形6GC。是平行四邊形

(2)如圖2,延長GF交力〃于點P,過點。作PNLBC于點、N,過點"作6c于點M

在AtAEMF中,MF=2應

■:NEFG=NEFM+NMFG=90°,NEPN=NEPF+NFPN=9G,

33

,:ED〃BC

：.ZEPF=ZPFC=ZMFG

：?/EFM=/FPN

：、XEMFS[\FNP

?PFPN

^~EF~~FM'

:,PF=^

'：EDUBC

：.2GBF=/GEP、AGFB=AGPE

:?l\GBFsAGEP

GFBG

.?-----=-----，

GPGE

:.BE=12-45/6

（3）如圖3,連接BD與仍相交于點P

12

先求/55=30°；再證明得出8。=少義以；Cki、:；

V?2+4

CPBC

再證明△BPCs△DPE,得fl；—=——

EPDE

12

2G

得出方程二J"。一

A/774--4?_a

Ja2+4

計算結果是6+jn

【點睛】

34

此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四