15-求解幾何問題的代數(shù)法

求解幾何問題的代數(shù)法所謂代數(shù)法，就是將兒何命題中的有關(guān)線段、角度、面積等元素間的相互關(guān)系表示成相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式，然后應(yīng)用代數(shù)恒等變形或解方程等知識來給出幾何證明的一種方法．代數(shù)法包括：面積法、三角法、復(fù)數(shù)法、解析法、向量法等。1面積法面積很早就成為人們認識幾何圖形性質(zhì)和證明幾何命題的工具.在求解平面幾何問題的時候，根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或面積比表示有關(guān)幾何量或其比，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系，并通過圖形面積的等積變換對所論問題來進行求解的方法，我們稱之為面積法.所謂面積法，就是運用圖形的面積關(guān)系，建立一個或幾個關(guān)于面積的方程或不等式，通過推理或演算，解決問題的一種方法．這種方法對研究等底、等高或同底、同高圖形的性質(zhì)特別有效．常用面積公式面積比定理2三角法所謂三角法，就是將幾何命題中的邊、角等元素之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)關(guān)系，然后應(yīng)用三角恒等變形或解三角方程等知識來給出幾何證明的一種方法．3復(fù)數(shù)法平面上的點Z(x,y)可以用復(fù)數(shù)z=x+yi來表示，平面上的點集可以與復(fù)數(shù)集構(gòu)成一一對應(yīng)。根據(jù)復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，平面上某些圖形的幾何關(guān)系可以通過復(fù)數(shù)關(guān)系式來刻畫，而一些平面幾何問題就可以通過一系列復(fù)數(shù)運算導(dǎo)出所需的結(jié)果。這種運用復(fù)數(shù)知識來求解問題的方法稱為復(fù)數(shù)法.平面上的點集與平面上從原點出發(fā)的向量集(位置向量集)也可以構(gòu)成一一對應(yīng)。復(fù)數(shù)運算與向量運算的幾何意義既有相同的地方，又有不同之處。復(fù)數(shù)的加、減法的幾何表示就是向量的加、減法；用一個實數(shù)去乘復(fù)數(shù)的幾何表示相當于數(shù)乘向量的運算.復(fù)數(shù)乘法的幾何表示不同于向量的一般乘法(數(shù)量積或向量積)，它表示為向量的拉伸與旋轉(zhuǎn)的合成。利用上述特點，一方面很多時候利用向量知識能求解的幾何問題，用復(fù)數(shù)法也可以解出.另一方面，有時復(fù)數(shù)在解決某些幾何問題（如旋轉(zhuǎn)問題）時，比向量更顯得方便.4解析法所謂解析法，就是經(jīng)過建立坐標系，設(shè)定所論圖形上有關(guān)點的坐標和曲線的方程后，將幾何間題轉(zhuǎn)化為代數(shù)間題，然后應(yīng)用代數(shù)知識進行求解或求證，再賦予幾何意義，從而獲得幾何證明的一種方法。應(yīng)用解析法證題主要有三個步驟：第一步，選取恰當?shù)淖鴺讼?，以便于確定關(guān)鍵點的坐標和曲線的方程，并易于計算為原則，例如，可選取圖形的對稱軸，相交直線或某一特殊直線為坐標軸，可選定線段的端點、中點、中心對稱圖形的對稱中心或某一特殊點為原點。第二步，設(shè)定點的坐標和曲線的方程為盡可能地減少參數(shù)，常將所論圖形在坐標軸上或沿坐標軸方向上的兩條邊長取為單位長，或單位長的倍數(shù)．第三步，進行計算與推理．對此，除明確有關(guān)概念，熟知有關(guān)公式和方程外，還應(yīng)注意利用所論圖形的幾何性質(zhì)，注意利用置換關(guān)系，求出點的坐標和曲線的方程，注意將所論問題中的已知與求證作適當轉(zhuǎn)化，注意所論問題中有關(guān)線段、角度等的方向．5向量法向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，它廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中.向量在立體幾何中應(yīng)用更為直接，是因為立體幾何中的兩類主要問題:幾何元素間的位置關(guān)系和度量關(guān)系幾乎都可以通過向量運算來解決.與一個非零向量共線(平行)的向量的充要條件、平面向量的分解定理、空間向量的分解定理，這三個逐步深入的定理是應(yīng)用向量解決問題的理論基礎(chǔ).在中學(xué)階段，可以根據(jù)不同的教學(xué)目標采用證明或者直接用向量圖加以說明的方法使學(xué)生理解.此時學(xué)生對空間結(jié)構(gòu)能有初步的認識，了解直線上的向量可以由一個非零向量生成，平面上的向量可以由兩個不共線的向量生成，空間中的向量可以由三個不共面的向量生成，建立基的概念.將向量應(yīng)用到立體幾何教學(xué)中，不但使有關(guān)問題處理得簡潔漂亮，而且反復(fù)的應(yīng)用，還使學(xué)生熟悉了向量的線性運算和內(nèi)積運算，更重要的是學(xué)會了運用空間結(jié)構(gòu)解決問題的思維方法，即:將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運算問題.這與綜合法(主要是把空間圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面圖形關(guān)系)相比，顯然是更高的數(shù)學(xué)思維方式，它抓住了空間的主要特征和內(nèi)在規(guī)律，使“紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序”.我們曾在平面幾何的向量法解題中指出:向量法的特點是形數(shù)結(jié)合，運算有章可循，既有綜合法的靈巧，又有坐標法的方便，能把綜合法與坐標法有機地結(jié)合在一起.在立體幾何中更體現(xiàn)出這種特點.它克服了在某些立體幾何問題中運用綜合法論證常需要添置若干輔助線(輔助圖)而顯得不易捉摸的缺點，同時向量公式不依賴于坐標系.因而在很多情形下向量法求解立體幾何問題具有一定的優(yōu)越性.由于在位置關(guān)系中，線面的垂直和平行的研究占有重要地位，直線與直線、直線與平面、平面與平面互相垂直或平行的判定定理和性質(zhì)定理的運用是學(xué)習(xí)的重點，也是學(xué)習(xí)的難點;在度量問題中，角和距離的計算是基礎(chǔ)，面積、體積的計算是通過求有關(guān)的角和距離來得到的，立體幾何中角和距離的計算也是難點.因此，求解這兩大難點的問題，往往要采用各種各樣的方法，還常常添作一些輔助圖，須運用綜合的思路.或者說，立體幾何中很多問題的求解不可忽視運用綜合法.向量知識在處理立體幾何問題中的重要應(yīng)用主要是通過向量的各種運算來體現(xiàn)的.這一節(jié)，我們重點來看一看向量的內(nèi)積與外積在處理立體幾何問題中的一些應(yīng)用與應(yīng)用方法.向量的內(nèi)積空間向量的數(shù)量積與兩向量所成的角緊密聯(lián)系在一起，因此，在討論空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系時，?？蛇\用向量的數(shù)量積運算來處理.在討論空間二直線共面或異面時，因均可歸結(jié)為共面的情形處理，因而也可運用向量的數(shù)量積運算來處理.這樣處理，可以把幾何論證代數(shù)化.立體幾何中的一些垂直問題，運用向量的空間結(jié)構(gòu)特點及數(shù)量積來處理非常方便.以向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中求角度、距離等問題，可以減少輔助線的添加，還可避開一些較復(fù)雜的空間圖形，降低了解題難度，且思路明確，易于下手，過程程序化，易于接受.利用數(shù)量積，建立平面方程是很方便的.向量的外積兩向量的向量積與兩向量的模構(gòu)成的平行四邊形面積緊密聯(lián)系在一起，從而運用向量積可以處理立體幾何的有關(guān)面積問題.同時，還可得到:利用空間向量的向量積，建立空間直線的方程是方便的把向量作為工具來研究與求解有關(guān)數(shù)學(xué)問題的方法稱之為向量方法。向量法的特點是形數(shù)結(jié)合、運算有法可循，因此向量法既有綜合法的靈巧，又有坐標法的方便，能把綜合法與坐標法有機地結(jié)合在一起.因而平面幾何問題如用向量法來研究與求解，往往用計算代替演繹論證而顯得明快、簡捷和容易入手，它克服了幾何綜合論證中常常要添置若干輔助線而顯得不易捉摸的缺點，同時又因為向量公式不依賴于坐標系，故向量法求解平面幾何問題較之于坐標法也具有一定的優(yōu)越性.除運用向量運算法則與性質(zhì)外，運用向量法還常用到如下一系列公式:用向量法求解平面幾何問題通常需要按以下步驟進行:首先是建立恰當?shù)南蛄孔鴺讼?，然后將問題中的條件、結(jié)論翻譯成向量關(guān)系式，其次是設(shè)置好“媒介向量”.很多時候條件中的向量關(guān)系式與結(jié)論中的向量關(guān)系式常常有距離.例如，結(jié)論中出現(xiàn)的某些向量，條件中沒有，這就需要在圖形中選擇出若干已知向量以這些向量為基礎(chǔ)，將結(jié)論中出現(xiàn)的那些向量表示出來，以溝通已知和未知的關(guān)系，但媒介向量的個數(shù)選取要恰當，少了不能達到證題目的，多了會使問題復(fù)雜化而不利于證題.最后是化簡或證明向量關(guān)系式，從作為條件的向量關(guān)系出發(fā)應(yīng)用向量性質(zhì)，結(jié)合有關(guān)代數(shù)、幾何知識，推得表示結(jié)論的向量關(guān)系式.線面平行、垂直關(guān)系的對偶性約定：把兩條重合直線看成平行直線的特殊情形；把兩個重合平面看成平行平面的特殊情形；把直線在平面內(nèi)看成直線與平面平行的特殊情形；“直線在平面上”也說成“平面在直線上”。在立體幾何中，有關(guān)直線與平面的平行與垂直的命題存在下列規(guī)律:

把命題中某一(些)直線(平面)換以平面(直線)，同時把與這一(些)直線(平面)有關(guān)的平行(垂直)關(guān)系換以垂直(平行)關(guān)系，所得的命題與原命題同真?zhèn)?單對偶命題，雙對偶命題，三對偶命題，…有時為了保證對偶命題有意義，必須同時調(diào)換一個命題中的多個元素及其相應(yīng)的關(guān)系。例如，若是平面換直線，則“在平面上的直線”必須相應(yīng)地換成“在直線上的平面”，反之亦然.例1下列四個命題是同真的.命題l通過空間一點能作且僅能作一條直線與已知直線平行.命題2通過空間一點能作且僅能作一個平面與已知直線垂直.命題3通過空間一點能作且僅能作一個平面與已知平面平行.命題4通過空間一點能作且僅能作一條直線與已知平面垂直.例2下列六個命題是同真的命題1若直線a和直線b不平行，則不存在直線c，使得c//a,c//b.命題2若平面α和直線b不垂直，則不存在直線c

，使得c⊥α,c//b.命題3若平面α和平面β不平行，則不存在直線c，使得c⊥α,c⊥β.命題4若平面α和平面β不平行，則不存在平面γ，使得γ//α,γ

//β.命題5若直線a和平面β不平行，則不存在平面γ，使得γ⊥a,γ

//β.命題6若直線a

和直線b不平行，則不存在平面γ，使得γ⊥a,γ⊥b.例3下列四個命題是同真的:命題1若直線a平行于平面β上的一條直線b，則a//β.命題2若直線a垂直于直線b上的一個平面β，則a⊥b.命題3若平面α平行于直線b上的一個平面β

，則α//b.命題4若平面α垂直于平面β上的一條直線b，則α⊥β.注意，在這組對偶命題中，在把某一直線換成平面時，若存在結(jié)合關(guān)系，必須把這一直線結(jié)合在一起的平面同時換成與平面結(jié)合在一起的直線.把平面換成直線時也一樣.例4三對偶命題：命題1若一個平面M平行于兩條相交直線p,q，則平行于這兩條直線上的平面N.命題2若一個平面M垂直于兩個相交平面P,Q，則垂直于在這兩個平面上的直線(即交線)n.例5三對偶命題：命題1若兩條直線都和第三條直線平行，則互相平行.命題2若兩個平面都和第三個平面平行，則互相平行.對偶規(guī)律的理論解釋：同一個向量等式，不同的幾何解釋。對于向量等式

(a1,a2,a3)=k(b1,b2,b3)(k≠0)，(1)當(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)均是直線的方向向量或均是平面的法向量時，它是兩直線或兩平面平行(包括重合意義下的平行)的充要條件;當(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)之一為直線的方向向量，另一為平面的法向量時，它是直線與平面垂直的充要條件.對于向量等式

(a1,a2,a3)·(b1,b2,b3)=0，(2)當(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)均是直線的方向向量或均是平面的法向量時，它是兩直線或兩平面垂直的充要條件;當(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)之一為直線的方向向量，另一為平面的法向量時，它是直線與平面平行的充要條件.這樣，在等式(1)或(2)中，對其中任一向量給以不同的幾何解釋，相應(yīng)地便得出