湖北省名師聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

湖北省名師聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為拋物線焦點(diǎn)，直線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則（）A.3 B.4C.2 D.不能確定2．如圖，是函數(shù)的部分圖象，且關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B.C. D.3．已知不等式的解集為，關(guān)于x的不等式的解集為B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.4．給出如下四個(gè)命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準(zhǔn)線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④5．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．在數(shù)列中，若，則稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列7．從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.9．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.10．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.11．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是________14．將參加冬季越野跑的名選手編號(hào)為：，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，把編號(hào)分為組后，第一組的到這個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽得的號(hào)碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數(shù)為__________15．已知空間向量，則使成立的x的值為___________16．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在長方形ABCD中，AD=2AB=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使二面角A-BE-F的余弦值為？若存在，找出點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由.18．（12分）拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（1）若，求直線AB的斜率；（2）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值19．（12分）從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，______；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和注：作答前請(qǐng)先指明所選條件，如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分20．（12分）如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，（1）證明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.21．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式22．（10分）如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由拋物線方程求出準(zhǔn)線方程，由題意可得，由拋物線的定義可得，即可求解.【詳解】由可得，準(zhǔn)線為，設(shè)，由拋物線的定義可得，因?yàn)檫^點(diǎn)作于，可得，所以，故選：A.2、C【解析】先根據(jù)條件確定為函數(shù)的極大值點(diǎn)，得到的值，再根據(jù)圖像的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)幾何意義得到和的正負(fù)即可判斷.【詳解】根據(jù)題意得，為函數(shù)部分函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線斜率為銳角，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線斜率為鈍角，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以.即.故選：C.3、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因?yàn)?，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，?dāng)時(shí)，，故故選：B4、A【解析】對(duì)選項(xiàng)①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)②，求出橢圓離心率即可判斷②錯(cuò)誤，對(duì)③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對(duì)④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯(cuò)誤?！驹斀狻繉?duì)于①選項(xiàng)，，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③選項(xiàng)，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故③正確；對(duì)于④選項(xiàng)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程是，故④錯(cuò)誤.故選：A5、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C6、B【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進(jìn)行判斷即可【詳解】選項(xiàng)A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項(xiàng)B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項(xiàng)D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B7、D【解析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D8、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對(duì)應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題9、D【解析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.10、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進(jìn)而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.11、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A12、C【解析】計(jì)算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.14、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號(hào)碼為，共15、##【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)x的值.【詳解】由題設(shè)，，可得.故答案為：.16、【解析】首先判定點(diǎn)在曲線上，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案.【詳解】由題意可知點(diǎn)在曲線上，而，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程：，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）點(diǎn)F為線段AC的中點(diǎn)【解析】（1）由平面幾何知識(shí)證得CE⊥BE，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)可得證；（2）取BE的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在線段AC上存在點(diǎn)F，設(shè)=λ，運(yùn)用二面角的向量求解方法可求得，可得點(diǎn)F的位置.【小問1詳解】證明：因?yàn)樵陂L方形ABCD中，AD=2AB=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以BE=CE=2，又BC=2，所以，所以CE⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE.又AB⊥AE，，所以AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.【小問2詳解】解：存在點(diǎn)F，F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn).由（1）得△ABE和△BEC均為等腰直角三角形，取BE的中點(diǎn)O，則，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以面，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，取平面ABE的一個(gè)法向量為.假設(shè)在線段AC上存在點(diǎn)F，使二面角A-BE-F的余弦值為.則A（0，0，1），B（1，0，0），C（-1，2，0），E（-1，0，0），=（1，0，1），=（-1，2，-1），設(shè)=λ，則+λ=（1-λ，2λ，1-λ），又=（2，0，0），設(shè)平面BEF的法向量為，可得，即得，可取y=1，得，所以，解得λ=，即當(dāng)點(diǎn)F為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，二面角A-BE-F的余弦值為.18、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，依題意F（1,0），設(shè)直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設(shè)直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得．設(shè)，，所以，．①因?yàn)?，所以．②?lián)立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因?yàn)?，所以?dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率19、（1）條件選擇見解析，，（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，選①由求解；選②由求解；選③由求解；則，由，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式求解；（2）易知，再利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，選①得，則，選②得，則，選③得，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則，所以是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以【小問2詳解】因?yàn)椋詳?shù)列的前n項(xiàng)和①②①-②得∴，則20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到、，即可得到平面，再根據(jù)，即可得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可得到點(diǎn)，，的坐標(biāo)，最后利用空間向量法求出二面角的余弦值；小問1詳解】證明：連接DE因?yàn)椋褼為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)椋褼為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，且，所以平面因?yàn)椋云矫鍮DE，所以【小問2詳解】解：由（1）可知因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE兩兩垂直以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)．則，，．從而，設(shè)平面BCE的法向量為，則令，得平面ABC的一個(gè)法向量為設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則21、（1），；（2），【解析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則通項(xiàng)公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關(guān)系，然后采用累加法求解出的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當(dāng)時(shí)也滿足，所以，22、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線的為，把