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北京市石景山區(qū)市級(jí)名校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件:①當(dāng)時(shí),;②的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;③,都有.則、、的大小關(guān)系是()A. B.C. D.2.已知l,m是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,且,則()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則3.已知為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn),以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體,是底面圓上的弦,為等邊三角形,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.4.已知命題,;命題,,那么下列命題為假命題的是()A. B.C. D.5.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.如圖1所示,拋物面天線是指由拋物面(拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面)反射器和位于其焦點(diǎn)上的照射器(饋源,通常采用喇叭天線)組成的單反射面型天線,廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等,具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面,,兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,是拋物線的焦點(diǎn),是饋源的方向角,記為.焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離與口徑的比為拋物面天線的焦徑比,它直接影響天線的效率與信噪比等.若饋源方向角滿足,則該拋物面天線的焦徑比為()A. B.C. D.27.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為()A.99 B.131C.139 D.1418.直線y=kx+3與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點(diǎn),若,則k的取值范圍是()A. B.(-∞,]∪[0,+∞)C. D.9.變量,之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):3456713111087已知變量與呈線性相關(guān)關(guān)系,且回歸方程為,則的值是()A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.310.在棱長(zhǎng)為1的正四面體中,點(diǎn)滿足,點(diǎn)滿足,當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí),的值是()A. B.C. D.11.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,則點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為()A.1 B.2C.3 D.412.函數(shù),則的值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量、滿足,,且,則與的夾角為_(kāi)__________.14.函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.15.在1和9之間插入三個(gè)數(shù),使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則中間三個(gè)數(shù)的積等于________.16.已知橢圓與坐標(biāo)軸依次交于A,B,C,D四點(diǎn),則四邊形ABCD面積為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中,,且,,構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和18.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,若焦距為4,點(diǎn)P是橢圓上與左、右頂點(diǎn)不重合的點(diǎn),且的面積最大值.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、,且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的方程.19.(12分)在棱長(zhǎng)為的正方體中,、分別為線段、的中點(diǎn).(1)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;(2)求直線到平面的距離.20.(12分)已知函數(shù).(1)證明:;(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)圓與軸的交點(diǎn)分別為,且與直線,都相切(1)求圓的方程;(2)圓上是否存在點(diǎn)滿足?若存在,求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)設(shè)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值(要列表);(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù),結(jié)合已知條件可得出,,,利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù),由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則,故,,又因?yàn)?,都有,所以,,所以,,,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,且不恒為零,故函數(shù)在上為減函數(shù),因?yàn)椋瑒t,故.故選:A.2、B【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析選項(xiàng)A,C,D,由平面與平面垂直的判定定理判定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A.由,,直線l,m可能相交、平行,異面,故不正確.選項(xiàng)B.由,,則,故正確.選項(xiàng)C.由,,直線l,m可能相交、平行,異面,故不正確.選項(xiàng)D.由,,則可能相交,可能平行,故不正確.故選:B3、B【解析】設(shè),過(guò)點(diǎn)作的平行線,與平行的半徑交于點(diǎn),找出異面直線與所成角,然后通過(guò)解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設(shè),過(guò)點(diǎn)作的平行線,與平行的半徑交于點(diǎn),則,,所以為異面直線與所成的角,在三角形中,,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計(jì)算,一般通過(guò)平移直線的方法找到異面直線所成的角,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4、B【解析】由題設(shè)命題的描述判斷、的真假,再判斷其復(fù)合命題的真假即可.【詳解】對(duì)于命題,僅當(dāng)時(shí),故為假命題;對(duì)于命題,由且開(kāi)口向上,故為真命題;所以為真命題,為假命題,綜上,為真,為假,為真,為真.故選:B5、A【解析】由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷是否能推出,反過(guò)來(lái)判斷時(shí),是否能推出.【詳解】當(dāng)時(shí),利用正弦函數(shù)的單調(diào)性知;當(dāng)時(shí),或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查判斷充分必要條件,三角函數(shù)性質(zhì),意在考查基本判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解析】建立平面直角坐標(biāo)系,利用題設(shè)條件得到得點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程化簡(jiǎn)即可求解【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的方程為()在中,則所以則所以,所以將代入拋物線方程中得所以或即或(舍)當(dāng)時(shí),故選:B7、D【解析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義,找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為,根據(jù)所給定義,用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列,得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列,即得到了一個(gè)等差數(shù)列,如圖:由圖可得,則.故選:D8、A【解析】圓心為,半徑為2,圓心到直線的距離為,解不等式得k的取值范圍考點(diǎn):直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題9、D【解析】將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程后求解【詳解】,,將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程,得故選:D10、A【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M,N的位置,再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因,則,即,而,則共面,點(diǎn)M在平面內(nèi),又,即,于是得點(diǎn)N在直線上,棱長(zhǎng)為1的正四面體中,當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí),點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影,即正的中心,因此,,當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí),點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影,即正邊AC的中點(diǎn),,而,,所以.故選:A11、A【解析】由雙曲線方程可寫(xiě)出右焦點(diǎn)坐標(biāo),再寫(xiě)一漸近線方程,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,不妨取一條漸近線為,故點(diǎn)F到漸近線的距離為,故選:A12、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),代入求值即可.【詳解】函數(shù),故,所以,故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式即可計(jì)算.【詳解】,,.故答案為:﹒14、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并且通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到原函數(shù)的極值,因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于,即可得到答案.【詳解】解:由題意可得:函數(shù),所以,令,則或,令,則,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值,當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值,,因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),,所以或,解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為:15、27【解析】設(shè)公比為,利用已知條件求出,然后根據(jù)通項(xiàng)公式可求得答案【詳解】設(shè)公比為,插入的三個(gè)數(shù)分別為,因?yàn)?,所以,得,所以,故答案為?716、【解析】根據(jù)橢圓的方程,求得頂點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合菱形的面積公式,即可求解.【詳解】由題意,橢圓,可得,可得,所以橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,此時(shí)構(gòu)成的四邊形為菱形,則面積為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,利用基本量代換列方程組求出的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出的首項(xiàng)和公比,即可求出的通項(xiàng)公式;(2)利用分組求和法直接求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由已知得:,即,又,解得或(舍去),所以.,又,,,;【小問(wèn)2詳解】,.18、(1)(2)或【解析】(1)根據(jù)焦距求出,利用面積最大值,得到求出,從而得到,求出橢圓方程;(2)分直線斜率存在和斜率不存在,結(jié)合題干條件得到,進(jìn)而求出直線方程.【小問(wèn)1詳解】∵∴,又的面積最大值,則,所以,從而,,故橢圓的方程為:;【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),代入③整理得,設(shè)、,則,所以,點(diǎn)到直線的距離因?yàn)椋?,又由,得,所以?而,,即,解得:,此時(shí);②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,直線交橢圓于點(diǎn)、.也有,經(jīng)檢驗(yàn),上述直線均滿足,綜上:直線的方程為或.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中,有關(guān)向量的題目,要結(jié)合條件選擇不同的方法,一般思路有轉(zhuǎn)化為三角形面積,或者線段的比,或者由向量得到共線等.19、(1);(2).【解析】(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值;(2)證明出平面,利用空間向量法可求得直線到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】解:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則、、、、,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,可得,易知平面的一個(gè)法向量為,,因此,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【小問(wèn)2詳解】解:,則,所以,,因?yàn)槠矫?,所以,平面,,所以,直線到平面的距離為.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)令,求導(dǎo)得到函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,故,得到證明.(2),討論和兩種情況,計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到,解得答案.【詳解】(1)令,有,令可得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,,故有.(2)由①當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為,沒(méi)有增區(qū)間;②當(dāng)時(shí),令可得,此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),必須且,可得,此時(shí),又由,當(dāng)時(shí),由(1)有,取時(shí),顯然有,當(dāng)時(shí),故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、(1)(2)存在,或【解析】(1)由題意,設(shè)圓心,由圓與兩直線相切,可得圓心到兩直線的距離都等于圓的半徑,進(jìn)而可求,然后求出半徑即可得答案;(2)假設(shè)圓上存在點(diǎn)滿足,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn),再聯(lián)立圓的方程即可求解.【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)閳A與軸的交點(diǎn)分別為,,所以圓心在弦的垂直平分線上,設(shè)圓心,又圓與直線,都相切,所以,解得,所以圓心,半徑,所以圓的方程為;【小問(wèn)2詳解】解:假設(shè)圓上存在點(diǎn)滿足,則,即①,又,即②,聯(lián)立①②可得或,所以存在點(diǎn)或滿足.22、(1)增區(qū)間,,減區(qū)間,極大值,極小
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