廣東省珠海市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題含解析

廣東省珠海市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是（）A.①④ B.②③C.①② D.③④2．已知x，y是實數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.3．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或4．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點E為中點，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B.C.2 D.7．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D8．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件9．已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.10．已知雙曲線C：的右焦點為，一條漸近線被圓截得的弦長為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.11．已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A. B.C. D.12．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________14．已知點，，其中，若線段的中點坐標(biāo)為，則直線的方程為________15．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微”.事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，可得方程的解是__________.16．若拋物線上一點到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點是的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點)是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知A（-3，0），B（3，0），四邊形AMBN的對角線交于點D（1，0），kMA與kMB的等比中項為，直線AM，NB相交于點P.（1）求點M的軌跡C的方程；（2）若點N也在C上，點P是否在定直線上?如果是，求出該直線，如果不是，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且（1）求證：時，；（2）已知a，b，p，q為正實數(shù)，滿足，比較與的大小關(guān)系.20．（12分）（1）已知雙曲線的離心率為2，求E的漸近線方程；（2）已知F是拋物線的焦點，是C上一點，且，求C的方程.21．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)的前項和，求的值.22．（10分）已知橢圓的左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標(biāo)原點；（2）設(shè)點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對①②③④分析m、n的正負(fù)，即可得到答案.【詳解】對于①：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，矛盾.故①錯誤；對于②：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：異號，符合要求.故②成立；對于③：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，符合要求.故③成立；對于④：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，矛盾.故④錯誤；故選：B2、D【解析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的幾何意義是圓上一點與點連線的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與點A連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時斜率最大.此時，，，所以的最大值為.故選：D3、A【解析】確定對應(yīng)二次方程的解，根據(jù)三個二次的關(guān)系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A4、B【解析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.5、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因為，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C6、D【解析】由題意可證平面，取BD的中點F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積【詳解】如圖，∵，點為的中點，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設(shè)，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積故選：7、A【解析】由已知，分別表示出選項對應(yīng)的向量，然后利用平面向量共線定理進(jìn)行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.8、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B9、C【解析】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長為，則，故，.點睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.10、A【解析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長建立關(guān)系即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離為，因為弦長為，圓半徑為，所以，即，因為，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.11、C【解析】，故，即，故漸近線方程為.【考點】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.12、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：設(shè)為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分離參數(shù)法得到能成立,構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由得.設(shè)，則存在,使得成立，即能成立，所以能成立,所以.又令,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上，t(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=2時,t有最小值，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.14、【解析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)直線的兩點式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.15、【解析】根據(jù)題意，列方程計算即可【詳解】因為，所以，可轉(zhuǎn)化為點到點和點的距離之和為，所以點在橢圓上，則，解得.故答案為：16、【解析】先由拋物線的方程求出準(zhǔn)線的方程，然后根據(jù)點到準(zhǔn)線的距離可求，進(jìn)而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，點到其準(zhǔn)線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點，由三角形中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，可用表示出點坐標(biāo)；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點，連接，四邊形為平行四邊形，為中點，又為中點，，平面，平面，平面；（2）平面，，兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，設(shè)，且，則，，即，設(shè)平面的法向量，又，，則，令，則，，；設(shè)平面的一個法向量，又，，則，令，則，，；，解得：或，二面角的余弦值為，二面角為銳二面角，不滿足題意，舍去，即.在線段上存在點，時，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中的線面平行關(guān)系的證明、存在性問題的求解；求解存在性問題的關(guān)鍵是能夠利用共線向量的方式將所求點坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而利用二面角的向量求法構(gòu)造方程；易錯點是忽略二面角的范圍，造成參數(shù)值求解錯誤.18、（1）；（2）點P在定直線x=9上.理由見解析.【解析】(1)設(shè)點，根據(jù)兩點坐標(biāo)距離公式和等比數(shù)列的等比中項的應(yīng)用列出方程，整理方程即可；(2)設(shè)直線MN方程為：，點，聯(lián)立雙曲線方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理寫出，利用兩點坐標(biāo)和直線的點斜式方程寫出直線PA、PB，聯(lián)立方程組，解方程組即可.【小問1詳解】設(shè)點，則，又，所以，整理，得，即軌跡M的方程C為：；【小問2詳解】點P在定直線上.由(1)知，曲線C方程為：，直線MN過點D(1,0)若直線MN斜率不存在，則，得，不符合題意；設(shè)直線MN方程為：，點，則，消去x，得，有，，，，所以直線PA方程為：，直線PB方程為：，所以點P的坐標(biāo)為方程組的解，有，即，整理，得，解得，即點P在定直線上.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性求出其最大值，即可證出；（2）由（1）知：，再變形即可得出小問1詳解】因為，∴在上單調(diào)遞減，又因，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.【小問2詳解】由（1）知：，兩邊同乘以a得：，∴，即.20、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得漸近線方程；（2）利用點在拋物線上及其拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】（1）∵E的離心率，∴，即，解得，故E的漸近線方程為.（2）∵是C上一點，∴①，由拋物線的定義可知②，兩式聯(lián)立可得，解得則C的方程為.21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列前項和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，數(shù)列的通項為；（2）數(shù)列的前項和，由，化簡得，即，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求解，考查等差數(shù)列的前項和公式，常用的方法就是利用首項和公差建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標(biāo)原點（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進(jìn)而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可