2025屆江西省南城縣二中高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

2025屆江西省南城縣二中高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知曲線(xiàn)，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為D.若，，為上任意一點(diǎn)，，為曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，則2．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論：①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類(lèi)多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿(mǎn)足，則該類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③3．把點(diǎn)隨機(jī)投入長(zhǎng)為，寬為的矩形內(nèi)，則點(diǎn)與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.4．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為95．原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.7．在中，，滿(mǎn)足條件的三角形的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無(wú)數(shù)多8．在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線(xiàn)段與互相平分，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的值有A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)9．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則角為A. B.C. D.10．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.111．已知函數(shù)，則（）A.0 B.1C.2 D.12．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C對(duì)任意， D.對(duì)任意，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則不等式的解集為_(kāi)__________.14．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.15．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿(mǎn)足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______16．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難人微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀(guān)點(diǎn)，可得方程的解是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）若，是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，，求證：為定值18．（12分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于游牧生活.其結(jié)構(gòu)如圖所示，上部分是側(cè)棱長(zhǎng)為3的正六棱錐，下部分是高為1的正六棱柱，分別為正六棱柱上底面與下底面的中心.（1）若長(zhǎng)為，把蒙古包的體積表示為的函數(shù)；（2）求蒙古包體積的最大值.19．（12分）已知雙曲線(xiàn)，直線(xiàn)l與交于P、Q兩點(diǎn)（1）若點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線(xiàn)方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線(xiàn)l的斜率等于1，且，求雙曲線(xiàn)的離心率20．（12分）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面有一個(gè)小孔（小孔的大小忽略不計(jì)）E，E點(diǎn)到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成的角的大小.21．（12分）已知橢圓的焦距為4，點(diǎn)在G上.（1）求橢圓G的方程；（2）過(guò)橢圓G右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓G交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線(xiàn)l的方程.22．（10分）已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)的性質(zhì)以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線(xiàn)，若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線(xiàn)，當(dāng)，則漸近線(xiàn)方程為，當(dāng)，則漸近線(xiàn)方程為，故C正確；若，，則是雙曲線(xiàn)，其焦點(diǎn)在軸上，由雙曲線(xiàn)的定義可知，，故D錯(cuò)誤；故選：D2、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個(gè)面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類(lèi)多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.3、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，由幾何概型面積型的公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】若點(diǎn)與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，所求概率.故選：A.4、C【解析】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，直接判斷；對(duì)于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對(duì)于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對(duì)于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱(chēng)命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對(duì)于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對(duì)于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）故D正確.故選：C5、C【解析】求出直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大，則可求出原點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值；【詳解】因?yàn)榭苫癁椋灾本€(xiàn)過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)，聯(lián)立可得所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大，最大距離即為，此時(shí)最大值為，故選：C.6、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對(duì)應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題7、B【解析】利用正弦定理得到，進(jìn)而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿(mǎn)足條件的有且只有一個(gè).故選：B8、C【解析】因?yàn)榫€(xiàn)段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線(xiàn)段C1D1上時(shí)，Q一定在線(xiàn)段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意若P在線(xiàn)段C1B1與線(xiàn)段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線(xiàn)段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線(xiàn)段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.9、A【解析】因?yàn)?，那么結(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.10、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為1，故選：D.11、C【解析】對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)即可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù),則，，故選C【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.12、D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】令則，∴在R上是減函數(shù)又等價(jià)于∴故不等式的解集是答案：點(diǎn)睛：本題考查用構(gòu)造函數(shù)的方法解不等式，即通過(guò)構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集，解題時(shí)要注意常見(jiàn)的函數(shù)類(lèi)型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)；（2）對(duì)于，可構(gòu)造函數(shù)14、##【解析】分析可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，，因?yàn)?，則，即，解得.故答案為：.15、a＞b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.16、【解析】根據(jù)題意，列方程計(jì)算即可【詳解】因?yàn)椋?，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，所以點(diǎn)在橢圓上，則，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程，根據(jù)拋物線(xiàn)定義和焦半徑公式得到，根據(jù)韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果；（2）代入點(diǎn)坐標(biāo)可得到參數(shù)的值，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立該直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程，，代入韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線(xiàn)的定義知，解得，拋物線(xiàn)的方程為【小問(wèn)2詳解】，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，，即，設(shè)，，，，直線(xiàn)的方程為，由，消去得，，，，即為定值18、（1），其中.（2）.【解析】（1）利用柱體和椎體體積公式求得的函數(shù)表達(dá)式.（2）利用導(dǎo)數(shù)求得體積的最大值.【小問(wèn)1詳解】正六邊形的邊長(zhǎng)（0），底面積，于是，其中.【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，蒙古包體積最大，且最大體積為.19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因?yàn)榍?，解得，可得雙曲線(xiàn)方程，進(jìn)而可得的漸近線(xiàn)方程（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，再由兩點(diǎn)之間距離公式得，解得，進(jìn)而由可求出，即可求得離心率.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，∴，又∵且，解得，∴雙曲線(xiàn)方程為，∴的漸近線(xiàn)方程為：；小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線(xiàn)的離心率或.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進(jìn)而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關(guān)系得出其夾角.【小問(wèn)1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側(cè)面與桌面所成角的為21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的方程；（2）設(shè)l的方程為，，，