18.2.2.2 菱形的判定-八年級數(shù)學下學期同步訓練(人教版)（解析版）

§18.2.2.2菱形的判定知識導(dǎo)航菱形的判定類別判定方法符號語言圖形邊有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形在中，，是菱形四條邊相等的四邊形是菱形在四邊形中，∵∴四邊形是菱形對角線對角線互相垂直的平行四邊形是菱形在中，是菱形重難點突破重點1利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行判定如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點，且DE=BF，AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．變式1-1如圖，在?ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形．【詳解】∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE為菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出OE=OF是解題關(guān)鍵．變式1-2已知：如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB、CD的延長線分別相交于點E、F．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）當EF與AC滿足什么關(guān)系時，以A、E、C、F為頂點的四邊形是菱形？并給出證明．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AECF，進一步即可證明△BOE≌△DOF；（2）若四邊形為菱形，則對角線互相垂直，因此可添加條件：EF⊥AC，再根據(jù)（1）的結(jié)論和題目條件證明OA=OC，OE=OF，根據(jù)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，∵AECF，∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，在△BOE與△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．證明：∵△BOE≌△DOF，∴OE=OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形得判定等知識，證明定理的綜合運用能力是解決問題的關(guān)鍵．重點點撥：用判定方法“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．重點2重點點撥：用判定方法“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．如圖，在平行四邊形中，，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接.求證：四邊形是菱形；【分析】由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四邊形AEBD是平行四邊形，再根據(jù)BD=AD可得結(jié)論；【詳解】∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵是的中點，∴∴在與中，∵，∴四邊形是平行四邊形∵，∴四邊形是菱形【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．變式2如圖，在ABCD中，E是對角線BD上的一點，過點C作CF∥DB，且CF＝DE，連接AE，BF，EF（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，則四邊形ABFE是什么特殊四邊形？說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CF∥DB，∴∠BCF=∠DBC，∴∠ADB=∠BCF在△ADE與△BCF中∴△ADE≌△BCF（SAS）．（2）四邊形ABFE是菱形理由：∵CF∥DB，且CF=DE，∴四邊形CFED是平行四邊形，∴CD=EF，CD∥EF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴四邊形ABFE是平行四邊形．∵△ADE≌△BCF，∴∠AED=∠BFC．∵∠AED+∠AEB=180°，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴四邊形ABFE是菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，牢記平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及菱形的判定知識點是解題的關(guān)鍵．重點點撥：重點點撥：菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．重點3利用四條邊相等的四邊形是菱形進行判定如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF，（1）證明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，試證明四邊形ABCD是菱形．【分析】由AB=AD，CB=CD結(jié)合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再證△ABF≌△ADF即可得到∠AFB=∠AFD，結(jié)合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC結(jié)合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD結(jié)合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四邊形ABCD是菱形.【詳解】（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形．【點睛】本題主要考查了特殊平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用，準確運用全等三角形的性質(zhì)及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．變式3如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF.(1)求證：△AED≌△CFD；(2)求證：四邊形AECF是菱形．【分析】(1)由作圖知PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”證得兩三角形全等即可；(2)根據(jù)(1)中全等得到AE＝CF.然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC＝EA，F(xiàn)C＝FA.從而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四邊相等的四邊形是菱形”判定四邊形AECF為菱形．【詳解】(1)由作圖知PQ為線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED在△AED與△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAC＝∠FCA，,∠AED＝∠CFD，,AD＝CD，))∴△AED≌△CFD(AAS)∵△AED≌△CFD∴AE＝CF∵EF為線段AC的垂直平分線∴EC＝EA，F(xiàn)C＝FA∴EC＝EA＝FC＝FA∴四邊形AECF為菱形．【點睛】判定一個四邊形是菱形把握以下兩起點：(1)以四邊形為起點進行判定；(2)以平行四邊形為起點進行判定．重點點撥：在無法確定一個四邊形是平行四邊形的情況下，要證明該四邊形是菱形，可考慮利用“四條邊相等的四邊形是菱形”進行證明.重點點撥：在無法確定一個四邊形是平行四邊形的情況下，要證明該四邊形是菱形，可考慮利用“四條邊相等的四邊形是菱形”進行證明.如圖，矩形中，，，點、分別在、上，且.（1）求證：四邊形是菱形；（2）求線段的長．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，，求得，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論；（2）過作于，得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵在矩形中，，，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：過作于，則四邊形是矩形，∴，，∴，∴.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式4如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面積．【分析】（1）可先證得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可證得四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可求得AD=CD，可證得結(jié)論；（2）將菱形ADCF的面積轉(zhuǎn)換成△ABC的面積，再用S△ABC=AB?AC，結(jié)合條件可求得答案．【詳解】（1）證明：∵E是AD的中點，

∴AE＝DE．

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE．在△AEF和△DEB中∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB．∵D是BC的中點，∴BD=CD=AF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵∠BAC＝90°，

∴AD＝CD＝BC．∴四邊形ADCF是菱形；(2)解：設(shè)AF到CD的距離為h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝．【點睛】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．難點點撥：難點點撥：利用菱形的性質(zhì)和判定解決問題，一般是先判定一個四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)解決其他問題.判定一個四邊形是菱形的思路：提升訓練如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，添加下列條件不能判定四邊形ABCD是矩形的是（

）A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2【答案】A【分析】根據(jù)菱形和矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)逐項判斷即可得．【詳解】解：A、由對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可知，添加能判定是菱形，不一定是矩形，則此項符合題意；B、由有一個角是直角的平行四邊形是矩形可知，添加能判定是矩形，則此項不符題意；C、由對角線相等的平行四邊形是矩形可知，添加能判定是矩形，則此項不符題意；D、，，四邊形是平行四邊形，，，是矩形，即添加能判定是矩形，則此項不符題意；故選：A．【點睛】本題考查了菱形和矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定方法是解題關(guān)鍵．順次連接矩形的各邊中點，所得的四邊形一定是（

）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形【答案】B【分析】題中給出的條件是中點，所以利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形．【詳解】解：連接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四邊形EFGH為菱形．故選：B．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法有：有一組鄰邊相等的平行四邊形稱為菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解．【詳解】∵E是AC中點，∵EF∥BC，交AB于點F，∴EF是△ABC的中位線，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周長是4×6=24，故選A．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)及菱形的周長公式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F，若BF=12，AB=10，則AE的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】先證明四邊形ABEF是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可得出四邊形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的長．【詳解】如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分線交BC于點E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，∴OA==8，∴AE=2OA=16．故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形ABEF是菱形是解決問題的關(guān)鍵．如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E、F，連接BF交AC于點M，連接DE，BO．若，．則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②四邊形DEBF為菱形；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】證明△OFB≌△CFB，可判斷結(jié)論①正確；利用菱形的定義，可判斷結(jié)論②正確；根據(jù)OC=OB，斜邊大于直角邊，可判斷結(jié)論③錯誤；根據(jù)30度角的性質(zhì)，可判斷AB=2BM，故結(jié)論④是錯誤的；證NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面積公式計算判斷，結(jié)論⑤正確.【詳解】連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O為AC中點，∴BD也過O點，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF與△CBF關(guān)于直線BF對稱，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正確，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，F(xiàn)C=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四邊形EBFD是菱形，∴結(jié)論②正確；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，∴③錯誤，在直角三角形AMB中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM，∴④錯誤，設(shè)ED與AC的交點為N，設(shè)AE=OE=2x，則NE=x，BE=4x，∴AB=6x，∴BM=3x，∴==3:2，結(jié)論⑤正確.故選C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，全等三角形，直角三角形30°角的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握，靈活運用是解題的關(guān)鍵.如圖，將兩張對邊平行且相等的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD_________菱形（是，或不是）．【答案】是【分析】如圖（見解析），先根據(jù)“兩張對邊平行且相等的紙條”得出，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得．【詳解】如圖，過點B作，交DA延長線于點E，過點D作，交BA延長線于點F由題意得：四邊形ABCD是平行四邊形在和中，平行四邊形ABCD是菱形故答案為：是．【點睛】本題考查了平行四邊形與菱形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行四邊形與菱形的判定是解題關(guān)鍵．已知四邊形是矩形，點是矩形的邊上的點，且．若，，則的長是___．【答案】或【分析】根據(jù)，則在的中垂線上，作的中垂線交于交于，所以：如圖的都符合題意，先證明四邊形是菱形，再利用菱形的性質(zhì)與勾股定理可得答案．【詳解】，在的中垂線上，作的中垂線交于交于，所以：如圖的都符合題意，矩形四邊形是菱形，，，，設(shè)則的長為：或【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．如圖平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點，下列結(jié)論：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正確的有_____．【答案】①③⑤⑥【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得證明△BOC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥AC，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得GE＝AB，由三角形中位線得EF＝CD，進而得到EG＝EF，可判斷①；證明四邊形AGEF是菱形可判斷②③⑥；④易證BE⊥AE，四邊形BEFG是平行四邊形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，則∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，沒有條件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判斷④；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷⑤．【詳解】①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中點，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G為AB中點，∴EG＝AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF＝CD，∴EG＝EF，故①正確；②連接AF，Rt△AEB中，G是AB的中點，∴EG＝AB＝AG，∵EG＝EF，∴AG＝EF，∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF//CD，∵AB//CD，∴AG//EF，∴四邊形AGEF是菱形，∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，故②錯誤，③⑥正確；③∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF//DC，∵DC//AB，∴EF//AB，∴∠EFG＝∠AGF，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∴∠EGF＝∠AGF，∴GF平分∠AGE，故③正確；④由①知：BE⊥AE，由②、③得：EF//AB，EF＝CD＝AB＝BG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∵EG＝EF，∴要使EF⊥GE，則∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，沒有條件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④錯誤；⑤∵AD//BC，∴∠ADB＝∠CBD＝2∠CBE，∴故⑤正確；本題正確的有：①③⑤⑥．故答案為：①③⑤⑥．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊